Mișcare browniană

Mișcare browniană a particulelor solide în apă

Termenul mișcare browniană se referă la mișcarea dezordonată a particulelor suficient de mici (având un diametru de ordinul unui micrometru ) pentru a fi supuse unei forțe gravitaționale neglijabile, prezentă în fluide sau suspensii fluide sau gazoase (de exemplu fum), ^{[1 ]} și observabil la microscop . Fenomenul a fost descoperit la începutul secolului al XIX-lea de botanistul scoțian Robert Brown ^[1] și modelat în 1905 de către fizicianul teoretic german Albert Einstein . ^[1] ^[2]

Termenul este folosit pentru a indica atât fenomenul natural, cât și reprezentarea sa matematică, care poate descrie cursul în timp al unei clase foarte mari de fenomene aleatorii . O categorie importantă de fenomene care poate fi reprezentată cu instrumentele matematice ale mișcării browniene este constituită de tendința piețelor financiare , după cum a demonstrat încă din 1900 matematicianul francez Louis Bachelier , în lucrarea sa Théorie de la spéculation . ^[3]

fundal

Albert Einstein a interpretat corect mișcarea browniană în annus mirabilis (1905)

Deși o primă observare a fenomenului a avut loc deja în 1785 de către Jan Ingenhousz , termenul „mișcare browniană” derivă din numele lui Robert Brown, care l-a observat în 1827 în timp ce studia particulele de polen de Clarkia pulchella în apă la microscop : el a observat că boabele de polen erau în mișcare continuă și că în fiecare clipă această mișcare a avut loc în direcții aleatorii.

După ce a constatat că mișcarea nu se datorează curenților sau evaporării apei, Brown a crezut că aceste particule erau „vii”, asemănătoare cu spermatozoizii . Apoi și-a verificat teoria efectuând același experiment cu o plantă moartă, cu mici fragmente de lemn fosil și cu fragmente de sticlă, în timp ce a observat același fenomen. Aceasta a însemnat că mișcarea particulelor nu trebuie atribuită niciunei „forțe de viață”, dar Brown nu a putut oferi nicio altă explicație pentru acest fenomen.

La sfârșitul sec. XIX, chimistul francez Leon Gouy a formulat pentru prima dată ipoteza că mișcarea observată de Brown s-a datorat agitației termice a atomilor constitutivi ai materiei, dar nu a dezvoltat o teorie verificabilă a fenomenului. ^[4] În 1905 Albert Einstein a publicat „ Über die von der molekularkinetischen Theorie der Bewegung von Wärme geforderte in ruhenden suspendierten Flüssigkeiten Teilchen ” ^[5] , unul dintre articolele produse în timpul lui annus mirabilis ; în ea, Einstein a oferit o explicație fizică a mișcării browniene, atribuind cauza coliziunilor granulelor de polen cu moleculele de apă, la rândul lor deplasate prin agitație termică . El a putut, de asemenea, să ofere o descriere cantitativă a fenomenului, care putea fi verificată experimental. Acest articol a fost urmat, în următorii trei ani, de alte contribuții pe același subiect. ^[6]

Prima verificare experimentală a rezultatelor lui Einstein se datorează lui JB Perrin , care pentru acest lucru și pentru alte rezultate, a obținut Premiul Nobel în 1926 . Perrin este, de asemenea, responsabil pentru cartea Les atomes („Atomi”, 1913), foarte cunoscută la acea vreme, care a ajutat la susținerea și răspândirea noii teorii privind structura atomică a materiei , demonstrată, printre altele, prin mișcarea browniană. .

Din punct de vedere teoretic, opera lui Einstein a fost dezvoltată în continuare de M. Smoluchowski și P. Langevin . Contribuțiile lor se află la originea noului câmp al proceselor stochastice și al ecuațiilor diferențiale stochastice , care extind instrumentele matematice dezvoltate inițial pentru mișcarea browniană la reprezentarea unei vaste clase de fenomene, de interes nu numai pentru fizică, ci și pentru chimie. , teoria telecomunicațiilor și finanțelor .

Printre evoluțiile matematice ale tratamentului mișcărilor browniene în urma operei lui Einstein , este deosebit de cunoscută cea propusă de N. Wiener în 1923 , cunoscută sub numele de procesul Wiener . ^[7]

Introducere

Când un fluid se află în echilibru termodinamic, s-ar putea crede că moleculele care îl compun sunt în mod esențial staționare sau că, în orice caz, vibrează în jurul poziției lor de echilibru datorită efectului temperaturii . Cu toate acestea, dacă observăm mișcarea unui astfel de fluid, de exemplu prin dispersarea particulelor de culoare foarte deschise și observarea mișcării lor, observăm că acestea sunt orice altceva decât în repaus. Ceea ce se observă este că fiecare particulă urmează o mișcare dezordonată a cărei natură pare a fi independentă de natura particulei în sine.

Acest lucru se datorează faptului că particula în cauză suferă un număr mare de evenimente de coliziune cu moleculele fluidului în care este scufundată.

Cu cât particulele sunt mai mici, cu atât mișcarea browniană este mai rapidă. Această mișcare contracarează forța gravitațională și face soluțiile coloidale stabile. Această caracteristică face posibilă evaluarea dacă o suspensie de particule are sau nu un caracter coloidal : de fapt, pe măsură ce mărimea particulelor crește, dispersia coloidală se va apropia din ce în ce mai mult de o suspensie în care rezultă coliziunile cu dispersia faza va fi aproape zero, prezentând o mișcare browniană aproape zero (ceea ce se întâmplă în fluidul non-newtonian ).

Tratamentul matematic al mișcării browniene

Exemplu de traiectorie urmată de o particulă în mișcare browniană

Să luăm în considerare o particulă de masă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ scufundat într-un fluid, la echilibru termodinamic, la o temperatură $T. .$ ${\ displaystyle T.}$ ${\ displaystyle T.}$ Această particulă va fi supusă:

la forța de frecare vâscoasă ${\bar {F}}=-\lambda {\bar {v}}$ ${\ displaystyle {\ bar {F}} = - \ lambda {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {F}} = - \ lambda {\ bar {v}}}$ , unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este coeficientul de frecare vâscos e ${\bar {v}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}}}$ este viteza particulei în sine
la forță ${\bar {f}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ rezultată din coliziunile cu moleculele care alcătuiesc fluidul.

În ceea ce privește forța aleatorie ${\bar {f}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ putem face următoarele ipoteze:

Izotropie : forța nu are direcții privilegiate și, prin urmare, valoarea sa medie este zero: $\left\langle {\bar {f}}(t)\right\rangle =0$ ${\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {f}} (t) \ right \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {f}} (t) \ right \ rangle = 0}$ .
Scorelare : forța fluctuează continuu și în fiecare moment nu este corelată cu valoarea sa într-un moment anterior și, prin urmare, $\left\langle {\bar {f}}(t){\bar {f}}(t')\right\rangle =\Lambda \delta (t-t')$ ${\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {f}} (t) {\ bar {f}} (t ') \ right \ rangle = \ Lambda \ delta (t-t')}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {f}} (t) {\ bar {f}} (t ') \ right \ rangle = \ Lambda \ delta (t-t')}$ .
Normalitate : Forța este rezultatul unui număr foarte mare de evenimente reciproc independente. Presupunând că varianța distribuției probabilității fiecăruia dintre aceste evenimente este finită, putem aplica teorema limită centrală . La rândul său, această teoremă ne permite să presupunem că forța este distribuită Gaussian .

Prima ecuație cardinală a dinamicii ia forma

{\frac {\operatorname {d} {\bar {v}}(t)}{\operatorname {d} t}}=-{\frac {\lambda }{m}}{\bar {v}}(t)+{\frac {{\bar {f}}(t)}{m}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {v}} (t)} {\ operatorname {d} t}} = - {\ frac {\ lambda} {m}} {\ bar {v }} (t) + {\ frac {{\ bar {f}} (t)} {m}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {v}} (t)} {\ operatorname {d} t}} = - {\ frac {\ lambda} {m}} {\ bar {v }} (t) + {\ frac {{\ bar {f}} (t)} {m}}}

care are ca soluție

{\bar {v}}(t)=e^{-{\frac {\lambda }{m}}t}\left[\int _{0}^{t}{\frac {1}{m}}e^{{\frac {\lambda }{m}}t'}{\bar {f}}(t')\operatorname {d} t'+{\bar {v}}(0)\right]

{\ displaystyle {\ bar {v}} (t) = e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} \ left [\ int _ {0} ^ {t} {\ frac {1} {m}} e ^ {{\ frac {\ lambda} {m}} t '} {\ bar {f}} (t') \ operatorname {d} t '+ {\ bar {v}} (0) \ dreapta]}

{\ displaystyle {\ bar {v}} (t) = e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} \ left [\ int _ {0} ^ {t} {\ frac {1} {m}} e ^ {{\ frac {\ lambda} {m}} t '} {\ bar {f}} (t') \ operatorname {d} t '+ {\ bar {v}} (0) \ dreapta]}

prin urmare

\left\langle {\bar {v}}(t)\right\rangle ={\bar {v}}(0)e^{-{\frac {\lambda }{m}}t}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {v}} (t) \ right \ rangle = {\ bar {v}} (0) și ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {v}} (t) \ right \ rangle = {\ bar {v}} (0) și ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t}}

.

Integrând din nou viteza obținem că deplasarea este dată de

{\bar {r}}(t)={\bar {r}}(0)+\int _{0}^{t}e^{-{\frac {\lambda }{m}}t'}\left[\int _{0}^{t'}{\frac {1}{m}}e^{{\frac {\lambda }{m}}t''}{\bar {f}}(t'')\operatorname {d} t''+{\bar {v}}(0)\right]\operatorname {d} t'

{\ displaystyle {\ bar {r}} (t) = {\ bar {r}} (0) + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t '} \ left [\ int _ {0} ^ {t'} {\ frac {1} {m}} e ^ {{\ frac {\ lambda} {m}} t ''} {\ bar {f }} (t '') \ operatorname {d} t '' + {\ bar {v}} (0) \ right] \ operatorname {d} t '}

{\ displaystyle {\ bar {r}} (t) = {\ bar {r}} (0) + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t '} \ left [\ int _ {0} ^ {t'} {\ frac {1} {m}} e ^ {{\ frac {\ lambda} {m}} t ''} {\ bar {f }} (t '') \ operatorname {d} t '' + {\ bar {v}} (0) \ right] \ operatorname {d} t '}

și, prin urmare, luând media asupra forței aleatorii $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ , in caz ${\bar {v}}(0)=0$ ${\ displaystyle {\ bar {v}} (0) = 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {v}} (0) = 0}$ ,

\left\langle {\bar {r}}^{2}(t)\right\rangle ={\bar {r}}^{2}(0){\frac {m^{2}}{\lambda ^{2}}}\left(e^{-{\frac {\lambda }{m}}t}-1\right)^{2}+{\frac {\Lambda }{\lambda ^{2}}}t+{\frac {2\Lambda m}{\lambda ^{3}}}\left(e^{-{\frac {\lambda }{m}}t}-{\frac {1}{4}}e^{-2{\frac {\lambda }{m}}t}-{\frac {3}{4}}\right)

{\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ right \ rangle = {\ bar {r}} ^ {2} (0) {\ frac {m ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}} \ left (e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} -1 \ right) ^ {2} + {\ frac {\ Lambda} {\ lambda ^ {2}}} t + {\ frac {2 \ Lambda m} {\ lambda ^ {3}}} \ left (e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} - {\ frac { 1} {4}} și ^ {- 2 {\ frac {\ lambda} {m}} t} - {\ frac {3} {4}} \ right)}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ right \ rangle = {\ bar {r}} ^ {2} (0) {\ frac {m ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}} \ left (e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} -1 \ right) ^ {2} + {\ frac {\ Lambda} {\ lambda ^ {2}}} t + {\ frac {2 \ Lambda m} {\ lambda ^ {3}}} \ left (e ^ {- {\ frac {\ lambda} {m}} t} - {\ frac { 1} {4}} și ^ {- 2 {\ frac {\ lambda} {m}} t} - {\ frac {3} {4}} \ right)}

Pentru o lungă perioadă de timp ( $t\gg {\frac {m}{\lambda }}$ ${\ displaystyle t \ gg {\ frac {m} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle t \ gg {\ frac {m} {\ lambda}}}$ ) această ecuație simplifică la

\left\langle {\bar {r}}^{2}(t)\right\rangle \cong {\frac {\Lambda }{\lambda ^{2}}}t=2Dt

{\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ right \ rangle \ cong {\ frac {\ Lambda} {\ lambda ^ {2}}} t = 2Dt}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ right \ rangle \ cong {\ frac {\ Lambda} {\ lambda ^ {2}}} t = 2Dt}

unde constanta definită de

D={\frac {1}{2}}~\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {\left\langle {\bar {r}}^{2}(t)\right\rangle }{t}}

{\ displaystyle D = {\ frac {1} {2}} ~ \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ left \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ right \ rangle} {t}}}

{\ displaystyle D = {\ frac {1} {2}} ~ \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ left \ langle {\ bar {r}} ^ {2} (t) \ right \ rangle} {t}}}

se numește difuzivitate a materiei .

Ecuația de difuzie

Același subiect în detaliu: relația Einstein-Smoluchowski .

Macroscopic, o particulă supusă unei mișcări browniene suferă, într-un timp infinitesimal $\delta t$ ${\ displaystyle \ delta t}$ $\ delta t$ , un schimb, o tură $\delta {\bar {r}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ bar {r}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ bar {r}}}$ distribuit ca ungaussian cu medie și varianță zero $2D\delta t$ ${\ displaystyle 2D \ delta t}$ ${\ displaystyle 2D \ delta t}$ . O metodă de analiză a acestei mișcări este studierea modului în care evoluează distribuția probabilității $\rho ({\bar {r}},t)$ ${\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t)}$ ${\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t)}$ pentru a găsi particula în poziție ${\bar {r}}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}}}$ în același timp $t+\delta t$ ${\ displaystyle t + \ delta t}$ ${\ displaystyle t + \ delta t}$ .

Acest lucru poate fi rescris ca probabilitatea ca particula să fie în ${\bar {r}}\,'$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} \, '}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} \, '}$ la un moment t înmulțit cu probabilitatea condițională că, în intervalul de timp $\delta t$ ${\ displaystyle \ delta t}$ $\ delta t$ , particula sa mutat de la ${\bar {r}}\,'$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} \, '}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} \, '}$ la ${\bar {r}}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}}}$ , integrat pe toate ${\bar {r}}\,'$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} \, '}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}} \, '}$

\rho ({\bar {r}},t+\delta t)=\int \rho ({\bar {r}}\,',t)\cdot P(\delta {\bar {r}},\delta t|{\bar {r}}\,',t)\cdot \operatorname {d} {\bar {r}}\,'

{\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t) = \ int \ rho ({\ bar {r}} \, ', t) \ cdot P (\ delta {\ bar {r }}, \ delta t | {\ bar {r}} \, ', t) \ cdot \ operatorname {d} {\ bar {r}} \,'}

{\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t) = \ int \ rho ({\ bar {r}} \, ', t) \ cdot P (\ delta {\ bar {r }}, \ delta t | {\ bar {r}} \, ', t) \ cdot \ operatorname {d} {\ bar {r}} \,'}

unde probabilitatea condițională, așa cum sa menționat mai sus, poate fi scrisă ca

P(\delta {\bar {r}},\delta t|{\bar {r}}\,',t)={\frac {1}{(4\pi D\delta t)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {|\delta {\bar {r}}|^{2}}{4D\delta t}}}\Rightarrow \rho ({\bar {r}},t+\delta t)=\int \rho ({\bar {r}}\,',t)\cdot {\frac {1}{(4\pi D\delta t)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {|\delta {\bar {r}}|^{2}}{4D\delta t}}}\cdot \operatorname {d} {\bar {r}}

{\ displaystyle P (\ delta {\ bar {r}}, \ delta t | {\ bar {r}} \, ', t) = {\ frac {1} {(4 \ pi D \ delta t) ^ {\ frac {3} {2}}}} e ^ {- {\ frac {| \ delta {\ bar {r}} | ^ {2}} {4D \ delta t}}} \ Rightarrow \ rho ({ \ bar {r}}, t + \ delta t) = \ int \ rho ({\ bar {r}} \, ', t) \ cdot {\ frac {1} {(4 \ pi D \ delta t) ^ {\ frac {3} {2}}}} e ^ {- {\ frac {| \ delta {\ bar {r}} | ^ {2}} {4D \ delta t}}} \ cdot \ operatorname { d} {\ bar {r}}}

{\ displaystyle P (\ delta {\ bar {r}}, \ delta t | {\ bar {r}} \, ', t) = {\ frac {1} {(4 \ pi D \ delta t) ^ {\ frac {3} {2}}}} e ^ {- {\ frac {| \ delta {\ bar {r}} | ^ {2}} {4D \ delta t}}} \ Rightarrow \ rho ({ \ bar {r}}, t + \ delta t) = \ int \ rho ({\ bar {r}} \, ', t) \ cdot {\ frac {1} {(4 \ pi D \ delta t) ^ {\ frac {3} {2}}}} e ^ {- {\ frac {| \ delta {\ bar {r}} | ^ {2}} {4D \ delta t}}} \ cdot \ operatorname { d} {\ bar {r}}}

pentru $\delta t$ ${\ displaystyle \ delta t}$ $\ delta t$ mic si el $\delta {\bar {r}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ bar {r}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ bar {r}}}$ va fi mic și, prin urmare, putem realiza o dezvoltare a seriei Taylor

\rho ({\bar {r}},t+\delta t)=\rho ({\bar {r}},t)+D\delta t\nabla ^{2}\rho ({\bar {r}},t)\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ({\bar {r}},t)=D\nabla ^{2}\rho ({\bar {r}},t)

{\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t) = \ rho ({\ bar {r}}, t) + D \ delta t \ nabla ^ {2} \ rho ({\ bar {r}}, t) \ Rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho ({\ bar {r}}, t) = D \ nabla ^ {2} \ rho ({\ bar {r}}, t)}

{\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t) = \ rho ({\ bar {r}}, t) + D \ delta t \ nabla ^ {2} \ rho ({\ bar {r}}, t) \ Rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho ({\ bar {r}}, t) = D \ nabla ^ {2} \ rho ({\ bar {r}}, t)}

care este binecunoscuta ecuație de difuzie .

Ecuația Fokker-Planck

Același subiect în detaliu: ecuația Fokker-Planck .

Dacă introducem o forță externă (generată de un potențial U ) la care este supusă particula

{\bar {F}}=-\nabla U

{\ displaystyle {\ bar {F}} = - \ nabla U}

{\ displaystyle {\ bar {F}} = - \ nabla U}

putem crede că, în absența forței aleatorii, particula ar atinge o anumită viteză limită

v_{lim}={\frac {\bar {F}}{\lambda }}

{\ displaystyle v_ {lim} = {\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}}}

{\ displaystyle v_ {lim} = {\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}}}

datorită frecării vâscoase. Prin urmare, putem scrie că:

\left\langle \delta {\bar {r}}\right\rangle =v_{lim}\delta t\cong {\frac {\bar {F}}{\lambda }}\delta t

{\ displaystyle \ left \ langle \ delta {\ bar {r}} \ right \ rangle = v_ {lim} \ delta t \ cong {\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}} \ delta t}

{\ displaystyle \ left \ langle \ delta {\ bar {r}} \ right \ rangle = v_ {lim} \ delta t \ cong {\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}} \ delta t}

\left\langle \delta r_{i}\delta r_{j}\right\rangle \cong 2D\delta _{ij}\delta t

{\ displaystyle \ left \ langle \ delta r_ {i} \ delta r_ {j} \ right \ rangle \ cong 2D \ delta _ {ij} \ delta t}

{\ displaystyle \ left \ langle \ delta r_ {i} \ delta r_ {j} \ right \ rangle \ cong 2D \ delta _ {ij} \ delta t}

.

Prin includerea acestor termeni în dezvoltarea $\rho ({\bar {r}},t+\delta t)$ ${\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t)}$ ${\ displaystyle \ rho ({\ bar {r}}, t + \ delta t)}$ primesti

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \left({\frac {\bar {F}}{\lambda }}\rho -D\nabla \rho \right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}} \ rho -D \ nabla \ rho \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ bar {F}} {\ lambda}} \ rho -D \ nabla \ rho \ dreapta)}

care este generalizarea ecuației de difuzie în cazul forțelor externe diferite de zero și este cunoscută sub numele de ecuația Fokker-Planck.

Bachelier și reprezentarea matematică a piețelor financiare

Matematicianul francez Louis Bachelier în teza sa de doctorat din 1900 privind „ Théorie de la spéculation ” a dezvoltat o teorie, bazată pe o abordare statistică , cu scopul de a ține cont de tendința prețurilor valorilor mobiliare la Bursa de Valori din Paris . Instrumentele matematice folosite de el sunt foarte asemănătoare cu cele folosite de Einstein în analiza mișcării browniene și împărtășesc ipotezele fundamentale: că variațiile cantității în cauză (prețurile valorilor mobiliare în acest caz, deplasările în cea a particulele) sunt independente de cele anterioare și că distribuția probabilității acestor variații este gaussiană. Pentru această lucrare, care reprezintă prima reprezentare matematică a tendinței în timp a fenomenelor economico-financiare, Bachelier este considerat părintele finanțelor matematice ^[8] ; în onoarea sa, William Feller a propus să indice procesul Wiener drept procesul Bachelier - Wiener.

În urma tezei lui Bachelier din 1900, metoda sa a căzut în desuetudine pentru o lungă perioadă de timp și nu a fost dezvoltată în continuare cu referire specifică la piețele financiare. Abia din anii 1960, susținătorii ipotezei eficienței pieței (conform cărora prețul unui activ întruchipează toată istoria trecută) au folosit matematica Bachelier, în cea mai actualizată versiune reprezentată de procesul Wiener, pentru a reprezenta tendința prețului titlurilor de valoare. pe o piață financiară . De atunci această abordare a devenit definitiv parte a instrumentelor teoriei finanțelor cu binecunoscuta lucrare a lui Black și Scholes din 1973 , care din ipoteza variațiilor „ browniene ” a prețurilor titlurilor financiare derivă o formulă pentru estimarea tendinței în timpul prețurilor produselor financiare derivate . Termenul cel mai folosit astăzi pentru a indica această reprezentare matematică se referă la conceptul de „mers aleatoriu”, sau mers aleatoriu .

Astăzi, în timp ce matematica mișcării browniene utilizate în mod obișnuit în fizică se bazează pe calculul stochastic al lui Stratonovic, în finanțe se utilizează în principal calculul stochastic al lui Ito și Malliavin . Aplicațiile numerice în stabilirea prețurilor produselor financiare recurg adesea la metodele de simulare Monte Carlo .

În cele din urmă, trebuie menționat faptul că, în ultimele decenii, mulți autori (printre ei, B. Mandelbrot și N. Taleb ) au evidențiat limitările modelului teoretic Bachelier și dificultățile sale în reprezentarea corectă a piețelor financiare, în principal din cauza ipotezelor sale deja menționate ( independența variațiilor de preț față de tendința lor trecută și distribuția lor gaussiană).

Notă

^ ^a ^b ^c ( EN ) Thermopedia, „Brownian Motion”
^ Albert Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen , în Annalen der Physik .
^ ( FR ) L. Bachelier,Théorie de la spéculation , în Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure , vol. 17, 1900, pp. 21–86, DOI : 10.24033 / asens.476 . Adus pe 29 mai 2019 .
^ R. Maiocchi, „Cazul mișcării browniene”, abstract
^ în italiană : Cu privire la teoria molecular-cinetică a mișcării datorită căldurii particulelor suspendate în lichide în repaus
^ " Zur theorie der Brownschen bewegung ", 1906; „ Theoretische bemerkung über die Brownsche bewegun ”, 1907; „ Teorii elementare der Brownschen bewegung ”, 1908.
^ Despre aspectele istorice ale dezvoltării teoriei mișcării browniene, vezi articolul: Leon Cohen, The history of noise, IEEE Transactions on signal processing, noiembrie 2005 (de pe pagina principală a prof. A. Vulpiani de la Universitatea din Roma La Sapienza)
^ B. Mandelbrot, R. Hudson: " Tulburarea piețelor. O viziune fractală asupra riscului, ruinei și profitabilității ", Einaudi, 2005, ISBN 88-06-16961-0 ; Cod poștal. III

Bibliografie

Lucrările originale ale lui Einstein au fost republicate de mai multe ori în traducere în engleză, de exemplu în:
- Investigații asupra teoriei mișcării browniene , Editura BN, 2011, ISBN 978-1607962854 . sau
- Investigații asupra teoriei mișcării browniene (Dover Books on Physics) , Dover Publications, 1956, ISBN 978-0486603049 .
Jean Baptiste Perrin, Les Atomes (1913) (disponibil în traducere în engleză la https://archive.org/details/atomsper00perruoft )
Richard Feynman , The physics of Feynman , Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol I, cap. 41: Mișcare browniană
Note despre mecanica statistică , Luca Peliti , Bollati Boringhieri (2003).
T. Hida, Brownian Motion , Springer, 1980.
I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus , Springer, 1998.
Revuz D., M. Yor, Continuing Martingales and Brownian Motion , Springer, 1991.
Black, F. și Scholes, M. (1973), Prețul opțiunilor și pasivelor corporative, Journal of Political Economy , 81 (30), 637-654.
Mark Haw, Middle World: The Restless Heart of Matter and Life , Macmillan (noiembrie 2006) - În lumea de mijloc: mișcarea browniană dintre materie și viață , Zanichelli (2008).
Gershenfeld, N. (1999). Natura modelării matematice.
Resnick, S. (1992). Aventuri în procese stochastice. Birkhauser.

Elemente conexe

Haos molecular
Coloid
Efectul Tyndall
Modelul Black-Scholes-Merton , o aplicație în finanțe matematice
Procesul Wiener
Mers aleatoriu
Mișcare browniană geometrică
Procesul Markov

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu mișcare browniană

linkuri externe

( EN ) mișcare browniană , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( RO ) IUPAC Gold Book, „Mișcare browniană” , pe goldbook.iupac.org .
( EN ) Edward Nelson, The Dynamical Theories of Brownian Motion (1967) (pentru a descărca articolul în format .pdf)
( EN ) Robert Brown, Observații microscopice ale moleculelor active (1827) : articol original despre observațiile lui Brown (format .pdf)

Controlul autorității	Tezaur BNCF 49394 · LCCN (EN) sh85017266 · GND (DE) 4128328-4 · BNF (FR) cb11979550d (data) · NDL (EN, JA) 00.560.924

Portalul de biologie	Portalul chimiei
Portalul de fizică	Portalul de matematică

[thermo-1] ( EN ) Thermopedia, „Brownian Motion”

[2] Albert Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen , în Annalen der Physik .

[3] ( FR ) L. Bachelier,Théorie de la spéculation , în Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure , vol. 17, 1900, pp. 21–86, DOI : 10.24033 / asens.476 . Adus pe 29 mai 2019 .

[4] R. Maiocchi, „Cazul mișcării browniene”, abstract

[5] în italiană : Cu privire la teoria molecular-cinetică a mișcării datorită căldurii particulelor suspendate în lichide în repaus

[6] " Zur theorie der Brownschen bewegung ", 1906; „ Theoretische bemerkung über die Brownsche bewegun ”, 1907; „ Teorii elementare der Brownschen bewegung ”, 1908.

[7] Despre aspectele istorice ale dezvoltării teoriei mișcării browniene, vezi articolul: Leon Cohen, The history of noise, IEEE Transactions on signal processing, noiembrie 2005 (de pe pagina principală a prof. A. Vulpiani de la Universitatea din Roma La Sapienza)

[8] B. Mandelbrot, R. Hudson: " Tulburarea piețelor. O viziune fractală asupra riscului, ruinei și profitabilității ", Einaudi, 2005, ISBN 88-06-16961-0 ; Cod poștal. III

[1 ]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]