Mișcare circulară

Reprezentarea bidimensională a unei mișcări circulare. Suntem reprezentați cu s abscisa curbiliniară, cu R raza cercului și cu v viteza instantanee a punctului.

Mișcarea circulară este una dintre mișcările simple studiate de fizică și cinematică și constă dintr-o mișcare a unui punct material de -a lungul unei circumferințe .

Mișcarea circulară își asumă importanța datorită faptului că viteza și accelerația variază în funcție de schimbarea direcției de mișcare. Această modificare poate fi ușor măsurată folosind măsurători unghiulare pentru care ecuațiile mișcării, introduse cu mișcare rectilinie , trebuie revizuite și refăcute cu măsurători unghiulare. Linia care trece prin centrul circumferinței și perpendicular pe aceasta se numește axa de rotație . Pentru a simplifica analiza acestui tip de mișcare, de fapt, considerăm că observatorul se plasează pe axa de rotație. Acest lucru este posibil datorită izotropiei și omogenității spațiului .

Mișcare în coordonate carteziene, polare și duble polare

Cel mai convenabil mod de a analiza mișcarea circulară utilizează coordonatele polare . De fapt, în cazul particular al mișcării care are loc pe o circumferință de rază R , mișcarea în coordonate polare este determinată de coordonatele:

\rho (t)=R\quad {\mbox{e}}\quad \theta (t),

{\ displaystyle \ rho (t) = R \ quad {\ mbox {e}} \ quad \ theta (t),}

\ rho (t) = R \ quad \ mbox {e} \ quad \ theta (t),

în timp ce în coordonatele carteziene avem:

{\begin{cases}x(t)=R\cdot \cos \theta (t)\\y(t)=R\cdot \operatorname {sen} \theta (t)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (t) = R \ cdot \ cos \ theta (t) \\ y (t) = R \ cdot \ operatorname {sen} \ theta (t) \ end {cases}} }

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (t) = R \ cdot \ cos \ theta (t) \\ y (t) = R \ cdot \ operatorname {sen} \ theta (t) \ end {cases}} }

care satisfac următoarea identitate (în orice moment):

x^{2}+y^{2}=R^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}}

Reprezentarea tridimensională a unei mișcări circulare

În mișcare circulară, pot fi definite două tipuri diferite de viteză: viteza unghiulară și viteza tangențială .

Pentru a le descrie, considerăm vectorul deplasării unghiulare infinitezimale în spațiul tridimensional

\mathrm {d} {\vec {\theta }}={\hat {\mathbf {z} }}\cdot \mathrm {d} \theta

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} = {\ hat {\ mathbf {z}}} \ cdot \ mathrm {d} \ theta}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} = {\ hat {\ mathbf {z}}} \ cdot \ mathrm {d} \ theta}

unde este ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ este un vector unitate dispus de-a lungul axei de rotație e $d\theta$ ${\ displaystyle d \ theta}$ $d \ theta$ variația infinitesimală a variabilei unghiulare $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Să fie acum ${\vec {R}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec {R} (t)$ vectorul de poziție al punctului P în orice moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , apoi deplasarea liniară $d{\vec {R}}(t)$ ${\ displaystyle d {\ vec {R}} (t)}$ $d \ vec {R} (t)$ (adică variația infinitesimală a ${\vec {R}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec {R} (t)$ ) a punctului P pe arcul circumferinței în intervalul de timp (infinitesimal) $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ va fi legat de deplasarea unghiulară $d{\vec {\theta }}$ ${\ displaystyle d {\ vec {\ theta}}}$ $d \ vec {\ theta}$ din produsul vector :

\mathrm {d} {\vec {R}}(t)=\mathrm {d} {\vec {\theta }}\times {\vec {R}}(t)

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) = \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) = \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)}

.

Direcția și direcția sunt corecte pentru regula mâinii drepte, așa cum se vede în figura din lateral. Modulul este dat de (amintiți-vă că unghiul este infinitesimal):

|\mathrm {d} {\vec {R}}(t)|=|\mathrm {d} {\vec {\theta }}|\cdot |{\vec {R}}(t)|\cdot \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {d} \theta \cdot R

{\ displaystyle | \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) | = | \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} | \ cdot | {\ vec {R}} (t) | \ cdot \ operatorname {sen} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {d} \ theta \ cdot R}

{\ displaystyle | \ mathrm {d} {\ vec {R}} (t) | = | \ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} | \ cdot | {\ vec {R}} (t) | \ cdot \ operatorname {sen} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {d} \ theta \ cdot R}

care corespunde, prin definiție, fiind $d\theta$ ${\ displaystyle d \ theta}$ $d \ theta$ exprimat în radiani , la arcul de circumferință subtendu de unghiul $d\theta$ ${\ displaystyle d \ theta}$ $d \ theta$ .

Viteza unghiulară este definită ca derivată, în raport cu timpul, a vectorului de deplasare unghiulară și este de obicei denotată de litera greacă $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ (omega):

{\vec {\omega }}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\theta }}}{\mathrm {d} t}}={\hat {\mathbf {z} }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ hat {\ mathbf { z}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ omega}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ hat {\ mathbf { z}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

(amintindu-mi asta ${\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ este constantă) și este o măsură a ratei de schimbare a unghiului format de vectorul de poziție , este măsurată în radiani pe secundă $\left[{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}} \ right]}$ $\ left [\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}} \ right]$ și are aceeași direcție ca vectorul de deplasare unghiulară.

Viteza liniară (sau tangențială) se obține prin derivarea vectorului de poziție în raport cu timpul ${\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec R$ :

{\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

și este legată de viteza unghiulară prin următoarea relație (pentru informații suplimentare vezi și derivatul unui vector ):

{\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\theta }}\times {\vec {R}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\theta }}}{\mathrm {d} t}}\times {\vec {R}}(t)={\vec {\omega }}\times {\vec {R}}(t)\,.

{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) = {\ vec {\ omega }} \ times {\ vec {R}} (t) \,.}

{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}} \ times {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) = {\ vec {\ omega }} \ times {\ vec {R}} (t) \,.}

Rețineți că constanța vitezei unghiulare implică constanța modulului vitezei.

Dacă executăm produsul scalar al celor doi vectori ${\vec {R}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec R (t)$ Și ${\vec {v}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}$ $\ vec v (t)$ zero este obținut pentru fiecare moment de timp t , iar acest lucru arată că viteza tangențială este întotdeauna ortogonală cu raza vectorială ${\vec {R}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} (t)}$ $\ vec R (t)$ .

În plus față de acestea, viteza areolară poate fi introdusă, definită ca derivată, în raport cu timpul, a zonei măturate de raza vectorială ${\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec {R}$ :

${\dot {\mathbf {A} }}={\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}\,{\vec {v}}\times {\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {dA} {dt}} = {\ frac {1} {2}} \, {\ vec {v}} \ times {\ vec {R}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {dA} {dt}} = {\ frac {1} {2}} \, {\ vec {v}} \ times {\ vec {R}}}$

se măsoară în metri pătrați pe secundă $\left[{\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {m} ^ {2}} {\ mathrm {s}}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {m} ^ {2}} {\ mathrm {s}}} \ right]}$ și are aceeași direcție și aceeași direcție ca viteza unghiulară.

Accelerare

Schema de accelerare

Prin derivarea expresiei vectorului vitezei tangențiale în raport cu timpul, obținem accelerația; care are o componentă paralelă cu viteza (responsabilă de variația modulului său) și o componentă normală (sau radială): acestea sunt respectiv accelerația tangențială și accelerația centripetă :

{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}(t)\right]={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times {\vec {R}}(t)+{\vec {\omega }}\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec { R}} (t) \ right] = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) + {\ vec {\ omega}} \ times {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec { R}} (t) \ right] = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} \ times {\ vec {R}} (t) + {\ vec {\ omega}} \ times {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {R}} (t)} {\ mathrm {d} t}}}

Prima fracție se numește accelerație unghiulară de obicei notată cu ${\vec {\dot {\omega }}}_{(t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ dot {\ omega}}} _ {(t)}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ dot {\ omega}}} _ {(t)}}$ , ${\vec {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}}}$ $\ vec {\ alpha}$ sau ${\vec {\varpi }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ varpi}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ varpi}}}$ .

Se măsoară în radiani peste al doilea pătrat $\left[{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s} ^ {2}}} \ right]}$ $\ left [\ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s} ^ {2}} \ right]$ , oferă variația vitezei unghiulare și are aceeași direcție ca aceasta.

Dezvoltând relația anterioară obținem (lăsând deoparte dependențele de timp):

{\vec {a}}(t)={\vec {\varpi }}\times {\vec {R}}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {R}}\right)={\vec {\varpi }}\times {\vec {R}}-\omega ^{2}{\vec {R}}={\vec {a}}_{\tau }+{\vec {a}}_{n}

{\ displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} + {\ vec {\ omega}} \ times \ left ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} \ right) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} - \ omega ^ {2} {\ vec {R}} = {\ vec {a}} _ {\ tau} + {\ vec {a}} _ {n}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} (t) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} + {\ vec {\ omega}} \ times \ left ({\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {R}} \ right) = {\ vec {\ varpi}} \ times {\ vec {R}} - \ omega ^ {2} {\ vec {R}} = {\ vec {a}} _ {\ tau} + {\ vec {a}} _ {n}}

unde puteți vedea clar componenta tangențială care reprezintă variația modulului de viteză liniară și componenta normală sau centripetă care reprezintă variația direcției de viteză liniară, întotdeauna direcționată spre centrul circumferinței.

Prin urmare, putem concluziona că accelerația are o componentă radială a modulului:

|{\vec {a_{n}}}|=\omega ^{2}R={v^{2} \over R}

{\ displaystyle | {\ vec {a_ {n}}} | = \ omega ^ {2} R = {v ^ {2} \ peste R}}

| \ vec {a_n} | = \ omega ^ 2 R = {v ^ 2 \ peste R}

și un șosea de centură modul:

|{\vec {a_{\tau }}}|=R\,{\ddot {\theta }}\,.

{\ displaystyle | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = R \, {\ ddot {\ theta}} \,.}

| \ vec {a_ \ tau} | = R \, \ ddot \ theta \,.

Poate fi util în acest moment să se introducă curbura definită ca $k={\frac {1}{R}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {1} {R}}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {1} {R}}}$ , măsurat în $m^{-1}$ ${\ displaystyle m ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle m ^ {- 1}}$ . Inserându-l în formulele de accelerație avem:

|{\vec {a_{n}}}|=v^{2}k={\omega ^{2} \over k}\qquad

{\ displaystyle | {\ vec {a_ {n}}} | = v ^ {2} k = {\ omega ^ {2} \ over k} \ qquad}

{\ displaystyle | {\ vec {a_ {n}}} | = v ^ {2} k = {\ omega ^ {2} \ over k} \ qquad}

Și

\qquad |{\vec {a_{\tau }}}|={\frac {\ddot {\theta }}{k}}.

{\ displaystyle \ qquad | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = {\ frac {\ ddot {\ theta}} {k}}.}

{\ displaystyle \ qquad | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = {\ frac {\ ddot {\ theta}} {k}}.}

Din aceasta se poate deduce că pe măsură ce curbura crește și, prin urmare, pe măsură ce raza scade, prevalează componenta normală a accelerației, restricționând traiectoria. Viceversa, pe măsură ce raza crește, cu reducerea consecventă a curburii, prevalează componenta tangențială care duce la o lărgire a traiectoriei.

Din acest motiv mișcarea rectilinie poate fi citită ca o mișcare circulară cu accelerație normală zero.

În mod similar, derivând viteza areolară, se obține accelerația areolară , măsurată în metri pătrați pe secunde pătrate. $\left[{\frac {m^{2}}{s^{2}}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {m ^ {2}} {s ^ {2}}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {m ^ {2}} {s ^ {2}}} \ right]}$ :

${\ddot {\mathbf {A} }}={\frac {\mathrm {d} {\dot {\mathbf {A} }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{\tau }\times {\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac { 1} {2}} {\ vec {a}} _ {\ tau} \ times {\ vec {R}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac { 1} {2}} {\ vec {a}} _ {\ tau} \ times {\ vec {R}}}$

Mișcare circulară uniformă

Dacă mișcarea circulară este uniformă înseamnă că vectorul vitezei unghiulare este constant, adică există o viteză liniară constantă în modul.

Prin integrarea ${\vec {\omega }}(t)\cdot dt=d{\vec {\theta }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} (t) \ cdot dt = d {\ vec {\ theta}}}$ $\ vec {\ omega} (t) \ cdot dt = d \ vec {\ theta}$ între cele două instanțe, inițialul $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ corespunzător unui unghi inițial $\theta _{0}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta_0$ și un alt colț $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ :

\theta (t)=\theta _{0}+\omega t

{\ displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} + \ omega t}

\ theta (t) = \ theta_0 + \ omega t

fiind $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ viteza unghiulară constantă.

Rezultă (din ecuațiile văzute în secțiunea anterioară) că viteza tangențială are un modul constant egal cu:

v(t)={\mathrm {d} R(t) \over \mathrm {d} t}=R\omega

{\ displaystyle v (t) = {\ mathrm {d} R (t) \ over \ mathrm {d} t} = R \ omega}

{\ displaystyle v (t) = {\ mathrm {d} R (t) \ over \ mathrm {d} t} = R \ omega}

și întrucât variază vectorial doar în direcție, rezultă că $|{\vec {a_{\tau }}}|=0$ ${\ displaystyle | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = 0}$ ${\ displaystyle | {\ vec {a _ {\ tau}}} | = 0}$ , prin urmare accelerația are doar o componentă radială, numită accelerare centripetă :

{\vec {a}}_{n}=-\omega ^{2}R\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=-{\frac {v^{2}}{R}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {n} = - \ omega ^ {2} R \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = - {\ frac {v ^ {2}} {R }} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {n} = - \ omega ^ {2} R \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} = - {\ frac {v ^ {2}} {R }} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}}}

Viteza areolară este, de asemenea, constantă:

{\dot {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}R^{2}{\vec {\omega }}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ omega}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ omega}}}

Mișcare circulară uniform accelerată

Mișcarea circulară uniform accelerată este cea mai generală mișcare cu accelerație constantă în mărime și înclinare față de viteză. În special, aceasta înseamnă că accelerația unghiulară este constantă. Prin integrarea accelerației unghiulare $\varpi \cdot dt=d\omega$ ${\ displaystyle \ varpi \ cdot dt = d \ omega}$ ${\ displaystyle \ varpi \ cdot dt = d \ omega}$ între două momente de timp $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ corespunzând celor două viteze unghiulare inițiale și finale $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ Și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ :

$\int _{t_{0}}^{t}\varpi \cdot \mathrm {d} t=\int _{\omega _{0}}^{\omega }\mathrm {d} \omega _{(t)}\,\Rightarrow \,\omega _{(t)}=\omega _{0}+\varpi t$ ${\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot \ mathrm {d} t = \ int _ {\ omega _ {0}} ^ {\ omega} \ mathrm {d} \ omega _ {(t)} \, \ Rightarrow \, \ omega _ {(t)} = \ omega _ {0} + \ varpi t}$ ${\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot \ mathrm {d} t = \ int _ {\ omega _ {0}} ^ {\ omega} \ mathrm {d} \ omega _ {(t)} \, \ Rightarrow \, \ omega _ {(t)} = \ omega _ {0} + \ varpi t}$

Integrarea relației $d\theta =\omega \cdot dt$ ${\ displaystyle d \ theta = \ omega \ cdot dt}$ $d \ theta = \ omega \ cdot dt$ între două momente de timp inițial și final $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și înlocuirea a $\omega _{(t)}$ ${\ displaystyle \ omega _ {(t)}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {(t)}}$ valoarea găsită mai sus, putem obține deplasarea unghiulară $\theta (t)$ ${\ displaystyle \ theta (t)}$ $\ theta (t)$ :

${\begin{aligned}\int _{\theta _{0}}^{\theta }\mathrm {d} \theta &=\int _{t_{0}}^{t}\omega _{(t)}\cdot \mathrm {d} t\\&=\int _{t_{0}}^{t}(\omega _{0}+\varpi \cdot t)\cdot \mathrm {d} t\\&=\int _{t_{0}}^{t}\omega _{0}\cdot \mathrm {d} t+\int _{t_{0}}^{t}\varpi \cdot t\cdot \mathrm {d} t\\&\Rightarrow \theta _{(t)}=\theta _{0}+\omega _{0}\cdot t+{\frac {1}{2}}\varpi \cdot t^{2}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} \ mathrm {d} \ theta & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {(t)} \ cdot \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} (\ omega _ {0} + \ varpi \ cdot t) \ cdot \ mathrm {d } t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {0} \ cdot \ mathrm {d} t + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot t \ cdot \ mathrm {d} t \\ & \ Rightarrow \ theta _ {(t)} = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} \ cdot t + {\ frac {1} {2} } \ varpi \ cdot t ^ {2} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} \ mathrm {d} \ theta & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {(t)} \ cdot \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} (\ omega _ {0} + \ varpi \ cdot t) \ cdot \ mathrm {d } t \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ omega _ {0} \ cdot \ mathrm {d} t + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ varpi \ cdot t \ cdot \ mathrm {d} t \\ & \ Rightarrow \ theta _ {(t)} = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} \ cdot t + {\ frac {1} {2} } \ varpi \ cdot t ^ {2} \ end {align}}}$

Accelerația areolară este, de asemenea, constantă:

${\ddot {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}R^{2}{\vec {\varpi }}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ varpi}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} {\ vec {\ varpi}}}$

Reprezentarea vectorilor de poziție, viteză și accelerație

Pentru o reprezentare vectorială a mărimilor cinematice legate de mișcarea circulară, este adecvat să se introducă versorul tangent și normal în traiectorie, care sunt definite după cum urmează (versorul normal punctează spre interior):

{\hat {\tau }}={\begin{pmatrix}-\operatorname {sen} \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {\ tau}} = {\ begin {pmatrix} - \ operatorname {sen} \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ tau}} = {\ begin {pmatrix} - \ operatorname {sen} \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}

{\hat {n}}={\begin{pmatrix}-\cos \theta \\-\operatorname {sen} \theta \end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {n}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {n}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}}}

Luând în considerare regulile de derivare , derivatele acestor versori în ceea ce privește timpul sunt date de

{\frac {\operatorname {d} {\hat {\tau }}}{\operatorname {d} t}}={\begin{pmatrix}-\cos \theta \\-\operatorname {sen} \theta \end{pmatrix}}={\dot {\theta }}{\hat {n}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {\ tau}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}} = {\ dot {\ theta}} {\ hat {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {\ tau}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} - \ cos \ theta \\ - \ operatorname {sen} \ theta \ end {pmatrix}} = {\ dot {\ theta}} {\ hat {n}}}

{\frac {\operatorname {d} {\hat {n}}}{\operatorname {d} t}}={\begin{pmatrix}\operatorname {sen} \theta \\-\cos \theta \end{pmatrix}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\tau }}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {n}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} \ operatorname {sen} \ theta \\ - \ cos \ theta \ end {pmatrix}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ hat {n}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ begin {pmatrix} \ operatorname {sen} \ theta \\ - \ cos \ theta \ end {pmatrix}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

Apoi putem exprima vectorii de poziție, viteză și accelerație folosind versorii ${\hat {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ tau}}}$ $\ hat \ tau$ Și ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ :

Locație . Vectorul de poziție este întotdeauna direcționat radial :

{\vec {r}}=-R{\hat {n}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} = - R {\ hat {n}}}

\ vec r = -R \ hat n

Viteza . Vectorul vitezei este întotdeauna direcționat tangențial (derivata lui R față de timp este zero)

{\vec {v}}={\frac {\operatorname {d} {\vec {r}}}{\operatorname {d} t}}=R{\dot {\theta }}{\hat {\tau }}

{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ vec {r}}} {\ operatorname {d} t}} = R {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ vec {r}}} {\ operatorname {d} t}} = R {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ tau}}}

Viteza radială este deci zero

\Rightarrow v_{\rho }={\dot {\rho }}=0

{\ displaystyle \ Rightarrow v _ {\ rho} = {\ dot {\ rho}} = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow v _ {\ rho} = {\ dot {\ rho}} = 0}

Viteza tangențială este:

v_{\theta }=R{\dot {\theta }}

{\ displaystyle v _ {\ theta} = R {\ dot {\ theta}}}

{\ displaystyle v _ {\ theta} = R {\ dot {\ theta}}}

Viteza unghiulară este:

{\dot {\theta }}=\omega

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ omega}

\ dot \ theta = \ omega

Viteza areolară este:

{\dot {A}}={\frac {1}{2}}R^{2}\omega

{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ omega}

{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ omega}

Accelerarea . Vectorul de accelerație are o tangentă și o componentă normală:

{\vec {a}}={\frac {\operatorname {d} {\vec {v}}}{\operatorname {d} t}}=R\,{\ddot {\theta }}\,{\hat {\tau }}+R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\hat {n}}

{\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ vec {v}}} {\ operatorname {d} t}} = R \, {\ ddot {\ theta}} \ , {\ hat {\ tau}} + R \, {\ dot {\ theta}} ^ {2} \, {\ hat {n}}}

\ vec a = \ frac {\ operatorname d \ vec v} {\ operatorname d t} = R \, \ ddot \ theta \, \ hat \ tau + R \, \ dot \ theta ^ 2 \, \ hat n

Accelerarea radială, numită accelerare centripetă este:

a_{\rho }=R\,{\dot {\theta }}^{2}

{\ displaystyle a _ {\ rho} = R \, {\ dot {\ theta}} ^ {2}}

a_ \ rho = R \, \ dot \ theta ^ 2

Accelerarea transversală, numită accelerare tangențială este:

a_{\theta }=R\,{\ddot {\theta }}

{\ displaystyle a _ {\ theta} = R \, {\ ddot {\ theta}}}

a_ \ theta = R \, \ ddot \ theta

Accelerația unghiulară este:

{\ddot {\theta }}=\varpi

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = \ varpi}

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = \ varpi}

Accelerarea areolară sau areală este:

{\ddot {A}}={\frac {1}{2}}R^{2}\varpi

{\ displaystyle {\ ddot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ varpi}

{\ displaystyle {\ ddot {A}} = {\ frac {1} {2}} R ^ {2} \ varpi}

În mișcare circulară uniformă, accelerația tangențială este zero.

În cele din urmă, componentele vectorului viteză pot fi scrise în coordonate carteziene:

{\begin{cases}{\dot {x}}=-R{\dot {\theta }}\operatorname {sen} \theta =-{\dot {\theta }}y\\{\dot {y}}=R{\dot {\theta }}\cos \theta ={\dot {\theta }}x\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = - R {\ dot {\ theta}} \ operatorname {sen} \ theta = - {\ dot {\ theta}} y \\ {\ dot {y}} = R {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta = {\ dot {\ theta}} x \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} = - R {\ dot {\ theta}} \ operatorname {sen} \ theta = - {\ dot {\ theta}} y \\ {\ dot {y}} = R {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta = {\ dot {\ theta}} x \ end {cases}}}

A introdus vectorul vitezei unghiulare , modulul ${\dot {\theta }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}$ ${\ dot \ theta}$ , cu o direcție perpendiculară pe planul de mișcare și cu o direcție astfel încât să vadă corpul rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic,