Benzi Mobius

O fâșie de hârtie Mobius

În matematică , mai precis în topologie , banda Möbius este un exemplu de un non- orientabilă suprafață și o suprafață a decis . Își ia numele de la matematicianul german August Ferdinand Möbius ( 1790 - 1868 ), care a fost primul care a luat în considerare posibilitatea construirii unor figuri topologice neorientabile. Spre deosebire de ceea ce se crede uneori, simbolul matematic ∞ al infinitului nu se referă la panglică; introducerea sa este atribuită matematicianului englez John Wallis ( 1616 - 1703 ).

Descriere informală

Suprafețele obișnuite, adică suprafețele pe care în viața de zi cu zi suntem obișnuiți să le observăm, au întotdeauna două fețe, deci este întotdeauna posibil să se urmărească în mod ideal una fără a ajunge vreodată la cealaltă, dacă nu dacă traversează o linie de demarcație formată dintr-o margine ( numită „margine”) sau prin străpungerea suprafeței: gândiți-vă de exemplu la sferă , tor sau cilindru . Pentru aceste suprafețe este posibil să se stabilească în mod convențional o latură „superioară” sau „inferioară” sau „internă” sau „externă”. Cu toate acestea, în cazul benzii Möbius, acest principiu lipsește: există doar o parte și o margine. După finalizarea unei bucle, vă aflați pe partea opusă. Doar după ce am acoperit două dintre ele ne găsim pe partea inițială. Așadar, ai putea merge de la o suprafață la „spate” fără a trece centura și fără a sări peste margine, ci pur și simplu mergând mult timp.

O bandă Möbius poate fi făcută pornind de la o bandă dreptunghiulară și unind laturile sale scurte după ce a dat una dintre ele o jumătate de rotație (180 °). În acest moment, dacă urmăriți banda cu un creion, începând dintr-un punct aleatoriu, veți observa că urma se desfășoară pe întreaga suprafață a benzii, care este, prin urmare, unică. Fiind o suprafață reglată, pentru fiecare punct de pe centură trece cel puțin o linie dreaptă care se află pe suprafața centurii. Planul , cilindrul și conul și altele sunt suprafețe reglate, în timp ce sfera , elipsoidul și multe altele nu sunt suprafețe reglate. În construcție, o bandă Möbius se obține prin gofrare pe partea scurtă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ jumătăți de răsucire, cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ciudat (în banda „clasică” Möbius, $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ ). Cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ chiar, se obține o figură topologică diferită, de această dată orientabilă, numită inel , echivalentă cu o coroană circulară .

Prin tăierea panglicii în jumătate paralelă cu marginea, se obține o altă panglică, cu o răsucire completă, două margini și două suprafețe diferite, deci orientabile. Interesant este că cele două margini separate de foarfece rămân doar o margine, astfel încât figura este complet tăiată în jumătate, dar rămâne atașată; prin tăierea din nou a doua în jumătate, se obțin două panglici cu răsucire completă, una în interiorul celeilalte. Prin tăierea benzii la o treime din lățimea sa, puteți face două rotații cu foarfeca și veți obține două benzi legate, o jumătate din dimensiunea celeilalte, unde cea mică este încă o bandă Möbius, cu jumătate de răsucire, în timp ce cea mare unul are o răsucire întreagă.

Geometrie

Reprezentarea grafică a benzii Möbius

O posibilă reprezentare a benzii Möbius este suprafața din $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ având următoarele ecuații parametrice (în coordonate carteziene ):

x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos(u)

{\ displaystyle x (u, v) = \ left (1 + {\ frac {v} {2}} \ cos {\ frac {u} {2}} \ right) \ cos (u)}

x (u, v) = \ left (1 + {\ frac {v} {2}} \ cos {\ frac {u} {2}} \ right) \ cos (u)

y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin(u)

{\ displaystyle y (u, v) = \ left (1 + {\ frac {v} {2}} \ cos {\ frac {u} {2}} \ right) \ sin (u)}

y (u, v) = \ left (1 + {\ frac {v} {2}} \ cos {\ frac {u} {2}} \ right) \ sin (u)

z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}

{\ displaystyle z (u, v) = {\ frac {v} {2}} \ sin {\ frac {u} {2}}}

z (u, v) = {\ frac {v} {2}} \ sin {\ frac {u} {2}}

unde este $0\leq u<2\pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq u <2 \ pi}$ $0 \ leq u <2 \ pi$ Și $-1\leq v\leq 1$ ${\ displaystyle -1 \ leq v \ leq 1}$ $-1 \ leq v \ leq 1$ . În acest fel, se obține o bandă Mobius cu lățimea 1, centrată în $(0,0,0)$ ${\ displaystyle (0,0,0)}$ $(0,0,0)$ și cu cercul central întins pe avion $z=0.$ ${\ displaystyle z = 0.}$ ${\ displaystyle z = 0.}$ Prin modificarea parametrului $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ ne deplasăm de-a lungul centurii în timp ce variem $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ te duci „de la o margine la alta” (chiar dacă în realitate este întotdeauna la fel).

În coordonate cilindrice $(r,\theta ,z),$ ${\ displaystyle (r, \ theta, z),}$ ${\ displaystyle (r, \ theta, z),}$ o versiune infinită a benzii Mobius este reprezentată de ecuația:

\log(r)\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=z\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right).

{\ displaystyle \ log (r) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = z \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}

\ log (r) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = z \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).

Inspirații

Posibilă reprezentare a benzii Möbius într-un mozaic din secolul al III-lea ^[1] .

Simbolul internațional al reciclării deșeurilor este un exemplu de bandă Mobius .

De-a lungul anilor, banda Möbius a influențat lucrări de diferite tipuri.

Artă

Gravorul și litograful olandez Maurits Cornelis Escher , în 1961 , a folosit banda Möbius pentru gravura sa pe lemn, Strip of Möbius I. ^[2] Doi ani mai târziu este Möbius II Strip ( 1963 ). ^[3] În lucrare, o teorie a furnicilor merge pe termen nelimitat pe banda care acoperă întreaga sa suprafață. În aceeași perioadă în care Möbius și-a „inventat” banda chiar și un pictor francez a desenat o imagine identică ^{[ cine? ]} , reprezentând perfecțiunea în intenția sa.

Sculptorul Max Bill a folosit această formă elementară și armonioasă a benzii Mobius în multe dintre lucrările sale, încă din 1935. Nu era conștient de acest obiect, de fapt îl numea „Panglică fără sfârșit”. El a creat-o inițial fără să vrea, o idee pentru o sculptură care ar putea fi așezată deasupra unui șemineu electric pentru a înlocui flăcările naturale. El a spus despre panglici nesfârșite: "Sunt convins că eficacitatea lor rezidă în parte în valoarea lor simbolică; sunt modele de reflecție și contemplare".

Literatură

În 1950, un profesor de la Harvard , Armin J. Deutsch , sfătuit de colegul său de atunci Isaac Asimov , a publicat nuvela A Subway named Moebius ( Un metrou numit Möbius ) în numărul din decembrie al aceluiași an al revistei Astounding Science-Fiction . În poveste, un tren metropolitan din Boston , care urmează un traseu complicat, ajunge paradoxal într-o fâșie de Möbius, formată din șine complicate, fără a putea să-l părăsească. Aceasta este singura nuvelă scrisă de Deutsch.

Nastro di Moebius este și o nuvelă a lui Julio Cortázar , prezentă în colecția Tanto amore per Glenda . Nastro di Moebius este numit și o colecție poetică de Luciano Erba din 1980. Mai mult, Nastro di Möbius este citat într-un poem intitulat Topologia (în germană Topologik ) de poetul austriac Erich Fried , cuprins în colecția poetică It's what it is din 1983.

Cinema

În 1996, regizorul argentinian Gustavo Mosquera R. a realizat o adaptare cinematografică a poveștii lui Deutsch: Moebius . Povestea este adaptată cinematografiei de diferiți autori, inclusiv regizorul însuși, și se află în Buenos Aires , Argentina , unde protagonistul, un tânăr topolog, are sarcina de a urmări un convoi dispărut misterios, care, în virtutea creșterii progresive a complexității a traseului, astfel încât să facă traseul de nedescris, a rupt limitele spațiu-timp ale dimensiunii noastre. Filmul a fost lansat în 1998 în Italia.

În 2010 - Anul de contact din 1984 al lui Peter Hyams (continuare a lui 2001: A Space Odyssey de Stanley Kubrick ) banda Mobius este citată pentru a descrie eșecul supercomputerului HAL 9000 . În 2013 Eric Rochant a scris și a regizat thrillerul Möbius , cu actorul Jean Dujardin și Cécile de France , premiat cu Oscar, în care banda este denumită paradigma spionului. Tot în 2013 a fost lansat filmul Moebius al regizorului coreean Kim Ki-duk , în care personajele unității familiale protagonist sunt conectate ca un întreg ca în casetă.

A citat ca exemplu al cronologiei curburii în al treilea până la ultimul episod al celui de-al cincilea sezon al Fringe (autorul lui Donald Quote) și al episodului Time Squared al celui de-al doilea sezon al Star Trek: The Next Generation (Worf). Banda Möbius a fost, de asemenea, comparată de unii critici, precum Enrico Ghezzi ^[4] , cu structura unor filme ale regizorului american David Lynch . Protagoniștii Mulholland Drive și Lost Highways , în special, se regăsesc într-un anumit moment al filmului pentru a retrăi scene deja trăite, dar cu rolurile schimbate, la fel ca și cum s-ar mișca pe singura parte a benzii.

În filmul din 2019 Avengers: Endgame , banda Mobius este folosită de Tony Stark pentru a cerceta o modalitate de a călători în timp , pentru a recupera toate bijuteriile Infinity și a anula decimarea făcută de Thanos în Avengers: Infinity War .

Animaţie

În episodul 2D Reality al seriei TV animate Futurama , naveta Planet Express este transformată de profesorul Farnsworth într-o super-mașină de curse și explodată într-un duel împotriva unei nave spațiale mai moderne și mai tehnologice pe pista Mobius . Cu consecințe dezastruoase.

În episodul 66 al animeului japonez Bleach , Uryū Ishida menționează banda Mobius atunci când el și grupul său sunt prinși în interiorul unui labirint format din repetări infinite ale aceleiași camere.

Aplicații practice

Informatică

În domeniul IT, banda Möbius a fost folosită ocazional pentru a realiza cartușe de date cu acces aleatoriu care conțin benzi magnetice înregistrate pe ambele părți: dispozitivul permite dublarea spațiului de stocare. ^{[ fără sursă ]}

Cinematografie

Principiul inelului Möbius a fost aplicat în filmografie pentru a suprapune imagini, pentru a crea decolorări. ^{[ fără sursă ]}

Mecanică

Curelele de transmisie pot folosi cureaua Möbius pentru a distribui uzura pe ambele părți (și, astfel, durează mai mult). Un exemplu al acestei aplicații este reprezentat de vechile mașini de treierat, care au primit mișcarea de la un tractor plasat la câțiva metri distanță prin intermediul unei centuri cu fețe încrucișate.

În băncile de tăiere utilizate la prelucrarea spumelor poliuretanice, lamele au forma unei benzi Möbius. Această dispunere face posibilă dublarea lungimii muchiei tăietoare a lamei și, în consecință, a intervalelor de timp dintre o ascuțire și următoarea, rezultând înjumătățirea, pentru aceeași utilizare, a uzurii marginii în sine.

Notă

^ Partea centrală a unui mozaic de la Sentinum , Sassoferrato de astăzi în Marche , datat între 200 - 250 și expus la Glyptothek din Monaco . Reprezintă zeița Tellus înconjurată de patru copii (anotimpurile?) La poalele zeului eternității Aion , care stă într-o panglică, care poate fi interpretată ca reprezentarea sferei cerești, pe care sunt reprezentate semnele zodiacale. .
^ Moebius Strip I 1961 gravură și gravură pe lemn în roșu, verde, auriu și negru, tipărite din 4 blocuri ( JPG ), pe mcescher.com . Adus la 2 septembrie 2004 (arhivat din original la 4 decembrie 2003) .
^ Xilografie Moebius Strip II 1963 în roșu, negru și gri-verde, tipărită din 3 blocuri ( JPG ), pe mcescher.com . Accesat la 2 septembrie 2004 (arhivat din original la 29 octombrie 2005) .
^ Mulholland Drive recenzie film ^{[ link rupt ]}

Bibliografie

( EN ) Martin Gardner , Möbius Bands , în Mathematical Magic Show , 1990, pp. 123-136.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe banda Möbius

linkuri externe

Banda Moebius din Imagini pentru matematică
Canon 1 - 2 , pe strangepaths.com . Accesat la 2 februarie 2009 (arhivat din original la 22 ianuarie 2009) .
Proiect educațional dedicat relației dintre muzică și banda Moebius (de Daniele Trucco)

Controlul autorității	GND ( DE ) 1106880307

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Partea centrală a unui mozaic de la Sentinum , Sassoferrato de astăzi în Marche , datat între 200 - 250 și expus la Glyptothek din Monaco . Reprezintă zeița Tellus înconjurată de patru copii (anotimpurile?) La poalele zeului eternității Aion , care stă într-o panglică, care poate fi interpretată ca reprezentarea sferei cerești, pe care sunt reprezentate semnele zodiacale. .

[2] Moebius Strip I 1961 gravură și gravură pe lemn în roșu, verde, auriu și negru, tipărite din 4 blocuri ( JPG ), pe mcescher.com . Adus la 2 septembrie 2004 (arhivat din original la 4 decembrie 2003) .

[3] Xilografie Moebius Strip II 1963 în roșu, negru și gri-verde, tipărită din 3 blocuri ( JPG ), pe mcescher.com . Accesat la 2 septembrie 2004 (arhivat din original la 29 octombrie 2005) .

[4] Mulholland Drive recenzie film ^{[ link rupt ]}

[1]

[2]

[3]

[4]