Notatie pozitionala
Această intrare sau secțiune pe matematică nu citează sursele necesare sau cele prezente sunt insuficiente. |
Notarea pozițională este o metodă de scriere a numerelor , în care fiecare poziție este legată de poziția sa vecină printr-un multiplicator, numit baza sistemului de numerotare . Fiecare poziție poate fi reprezentată printr-un simbol sau o cantitate limitată de simboluri. Valoarea unei cifre este egală cu cifra însăși înmulțită cu baza ridicată la poziția cifrei anterioare. Numărul de simboluri necesar este cel puțin egal cu baza sau cu cea mai mare bază auxiliară utilizată. Sistemul zecimal obișnuit folosește zece simboluri, plus simboluri pentru numere marcate și virgule, în timp ce sistemul sexagesimal babilonian folosește un sistem auxiliar pentru fiecare poziție.
Sisteme de notare
Diferite notații poziționale, dintre care unele sunt hibride (poziționale și aditive), permit reprezentarea numerelor. Iată câteva moduri de a scrie numărul 9.018 în unele dintre aceste sisteme.
Notări hibride
Notările hibride utilizează simboluri care reprezintă puterile bazei, ca în cifrele chinezești și japoneze . Astfel, 十 = , 百 = 10 2 , 千 = 10 3 , 万 = 10 4 în sistemul japonez. Aceste numere folosesc, în ceea ce privește puterile bazei, simboluri care reprezintă subputerile bazei în sine. Astfel, 割 = 10 −1 , 分 = 10 −2 , 厘 = 10 −3 , 毛 = 10 −4 în sistemul japonez.
- Exemplu
9.018 este scris 九千 十八 cu sistemul utilizat pentru numerotarea japoneză (zecimală), adică 9 × 1.000 + [1 ×] 10 + 8.
Notări poziționale și aditive
Pentru numerotarea babiloniană, cu caracter sexagesimal, numerele s-au format aditiv până la 60, valorile astfel obținute fiind combinate conform principiului pozițional.
- Exemplu
9.018 este scris 
adică cifrele 2,30,18 (virgula separă cifrele) ceea ce în sistemul sexagesimal babilonian înseamnă 2 × 60 2 + 30 × 60 1 + 18 × 60 0 = 9 018 .
Notatii pozitionale exclusiv
- Cu figuri formate prin poziția corectă a elementelor
9.018 este scris
 |
 |
 |
 |
cu sistemul utilizat pentru numerotarea Maya (vigesimal, dar neregulat), adică 1 [× 7,200] + 5 [× 360] + 0 [× 20] + 18, sau 1,05,00,18 cu virgula ca separator de locații.
- Cu bază auxiliară
9.018 este scris 2,30,38 cu sistemul (sexagesimal) utilizat pentru traducerea textelor mesopotamiene, adică 2 [× 3,600] + 30 [× 60] + 38.
- Fără bază auxiliară, fără zero
9.018 este scris 8X18 în sistemul pozițional experimental fără zero (zecimal), adică 8 [× 1.000] + 10 [× 100] + 1 [× 10] + 8, sau 8,10,1,8, cu virgula ca un separator de locații.
- Fără bază auxiliară, cu zero
9.018 este scris ๙๐๑๘ cu sistemul utilizat pentru numerotarea thailandeză (zecimal), adică 9 [× 1.000] + 0 [× 100] + 1 [× 10] + 8, sau 9.018, în același mod ca numerele noastre arabo-indiene .
Simboluri poziționale
La fel ca în sistemul nostru, în sistemele de numerotare babiloniene , maya și thailandeze , nu se folosește niciun simbol pentru a separa fiecare poziție. Cu toate acestea, în absența zero pozițional, în sistemul babilonian, 
ar putea însemna, de exemplu, până la șaizeci. Cu toate acestea, în alte scripturi, acești indicatori de poziție se dovedesc sistematici, cum ar fi virgula utilizată pentru traducerea textelor mesopotamiene.
Numai numerele întregi aveau o reprezentare în sistemul de numerotare mayaș . În numerotarea babiloniană , spre deosebire de punctuația pe care o așezăm între cifra unităților și cea a zecimilor, niciun marker de poziție nu a separat partea întreagă de partea fracțională a numărului. Asa, în sistemul babilonian ar putea, de exemplu, să însemne nu doar unul și șaizeci, ci și șaizeci. În ceea ce privește numerotarea thailandeză , folosește, ca și în sistemul nostru, un marker de poziție pentru a separa puterile a o mie.
Istorie
Antichitate
Crearea sistemelor aritmetice poziționale, în special a sistemului zecimal , a fost începută de chinezi în numerotarea lor în secolul al II-lea î.Hr., apoi finalizată în jurul anului 500 al erei creștine din India .
În vremurile străvechi, se foloseau exclusiv numeroase sisteme non-poziționale, cel mai cunoscut exemplu dintre acestea fiind numerotația romană , unde, de exemplu, numărul treizeci și opt este scris cu ajutorul a nu mai puțin de șapte cifre (XXXVIII), în timp ce numărul cincizeci, este mulțumit cu un singur (L). Este clar că, într-un astfel de sistem de notație, o operație simplă, cum ar fi o multiplicare, se dovedește a fi practic imposibil de realizat fără instrumente de calcul ( abac , tablete de calcul acționate prin token sau altele).
Evul Mediu
Datorită intermedierii lui Al-Khuwarizmi (de la al cărui nume derivă cuvântul algoritm ), europenii au devenit conștienți de existența numerotării poziționale indiene . Spre anul o mie , după ce au petrecut mai mult de cinci secole interesați de existența acestui nou sistem, l-au respins aproape încă cinci secole. Și totuși un duhovnic deschis ca francezul Gerbert d'Aurillac , viitorul Papă al Romei Silvestru al II-lea , care a descris pentru prima dată sistemul folosit de arabii spanioli , nu a spus nimic în acest sens. El a descris noul sistem cu interes și bunăvoință.
Prin urmare, Europa medievală a continuat să facă contabilitate mică cu abac și jetoane, scriind rezultatele în texte latine și, desigur, folosind cifre romane nepoziționale. Se poate spune că sistemul aritmetic pozițional, precum și așa - numitele cifre arabe , nu au fost utilizate în Europa medievală, decât de către utilizatori izolați și suspecți în ochii altora, precum matematicianul italian Leonardo Fibonacci și ulterior, al desigur, matematicianul francez Nicolas Chuquet .
Abia în Renaștere , odată cu trezirea din nou a științelor, Europa a înțeles în cele din urmă că nu mai poate obstrucționa acest nou sistem, la o mie de ani (!) După inventarea sa în India. În cele din urmă, întreaga lume occidentală admite că acest lucru este mult mai simplu decât acesta. Lupta dintre abahiști și algoritmi, care durase aproape trei secole, a dus în cele din urmă la victoria pe terenul acestora din urmă.
Notarea pozițională a făcut posibilă o simplă reprezentare a tuturor numerelor . A fost una dintre cele mai mari descoperiri din istoria matematicii . A permis dezvoltarea matematicii aritmetice și moderne.
Curiozitate
- Sistemul mesopotamian bazat pe 60 a supraviețuit în modul nostru de a împărți orele și gradele, atât în minute , cât și în secunde . În anumite circumstanțe, colonul este folosit ca separator de poziții sexagesimale. Astfel, 13 h 20 min 15 s se scrie și 13:20:15.