Set numărabil

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - „Numărabil” se referă aici. Dacă sunteți în căutarea conceptului lingvistic, consultați Numele contabil .

În matematică și mai ales în teoria mulțimilor , se spune că o mulțime poate fi numărată dacă elementele sale au un număr finit sau dacă pot fi plasate într-o corespondență unu-la-unu cu numere naturale .

Dacă o mulțime numărabilă are un număr infinit de elemente, se numește infinit numărabil și, din moment ce poate fi pus într-o corespondență unu-la-unu cu numere naturale, putem spune că o mulțime este infinită numărabilă dacă are cardinalitatea de . Cardinalitatea mulțimilor infinite numărabile este de obicei notată prin simbol .

Se poate arăta că fiecare subset infinit al unui set numărabil este de asemenea numărabil și că fiecare set infinit conține un subset numărabil.

Exemple de mulțimi numărabile sunt mulțimea numerelor întregi și mulțimea numerelor raționale . Cel mai simplu exemplu de set de nenumărate este dat de mulțimea numerelor reale al căror număr nu a fost demonstrat mai întâi de Cantor prin argumentul său diagonal .

Definiție

Un set se spune că poate fi numărat dacă există o funcție injectivă

din la mulțimea numerelor naturale [1]

De sine este, de asemenea, o funcție surjectivă (prin urmare Este bijectiv ), atunci se numește un set infinit numărabil .

Această terminologie nu este universală: unii autori definesc o mulțime numărabilă astfel încât să nu includă mulțimi finite, definind astfel doar corespondența cu o funcție unu-la-unu (considerat aici ca un caz special și numit infinit numărabil).

Alte definiții

Definiții alternative, dar echivalente, ale unui set numărabil pot fi date, în termeni de funcții bijective sau surjective, datorită unor teoreme. O demonstrație a acestora poate fi găsită în textele lui Lang. [2]

Diferitele teoreme care demonstrează echivalența definițiilor alternative într-una pot fi rezumate. Este un set. Următoarele afirmații sunt echivalente:

  1. este numărabil, adică există o funcție injectivă
  2. este setul gol sau există o funcție surjectivă
  3. este finit sau există o bijecție

Ansamblul numerelor raționale

Pentru a demonstra că mulțimea numerelor raționale este numărabilă (ne limităm la raționalele pozitive, deși generalizarea este banală), observăm că toate raționalele pozitive pot fi scrise sub forma cu Și numere întregi pozitive. Putem crea următorul tabel de fracții :

Pentru a construi o funcție unu-la-unu cu numere naturale, se poate proceda în diagonală după cum urmează:

Astfel, se obține următoarea listă:

Dacă eliminăm din această listă fracțiile care nu se află în fund, rămânem cu următoarea secvență :

care conține exact toate numerele raționale. Cu toate acestea, această succesiune nu respectă ordinea numerelor raționale (adică nu este sigur că, între două numere care apar consecutiv în această listă, al doilea este cel mai mare); într-adevăr, este imposibil să construim o listă completă de numere raționale care să le respecte ordinea.

Produs cartezian al seturilor numărabile

Cu aceeași tehnică folosită pentru mulțimea numerelor raționale, putem demonstra că dacă Și produsul cartezian este, de asemenea, două seturi numărabile este un set numărabil și mai general produsul cartezian al unui număr finit de seturi numărabile este, de asemenea, un set numărabil.

Demonstrație

De cand este un set numărabil poate fi pus în corespondență unu-la-unu cu mulțimea numerelor naturale și, prin urmare, elementele lui poate fi indexat după cum urmează:

și același lucru este valabil pentru întreg :

Amintiți-vă că produsul cartezian este mulțimea formată din toate elementele tipului cu aparținând Și aparținând . Apoi puteți aranja elementele într-un mod similar cu cel folosit pentru elementele de :

În acest fel am aranjat într-un tabel toate elementele și procedând prin diagonale ca în cazul numerelor raționale putem crea următoarea succesiune:

care este în mod evident o aplicație one-to-one în ansamblu Și .

Acum sunt seturi numărabile, pentru ceea ce s-a spus mai sus, avem deci asta este un set care poate fi numărat și, prin urmare, și setul

este numărabil și, în general, se repetă de două ori raționamentul pe care îl avem ca întregul

este numărabil și, prin urmare, produsul cartezian al unui număr finit de mulțimi numărabile este un set numărabil.

Notă

  1. ^ Deoarece există o bijecție evidentă între Și , nu există nicio diferență dacă 0 este considerat sau nu un număr natural. În orice caz, acest articol urmează ISO 31-11 și convenția standard în logica matematică , conform căreia 0 este un număr natural.
  2. ^ Lang 1993 , §2 din capitolul I.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică