Sistem de numerotare pozițională
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
Un sistem de numerotare pozițională este un sistem de numerotare care folosește simboluri ( cifre ) utilizate pentru a scrie numere , care iau valori diferite în funcție de poziția pe care o ocupă în notație.
Descriere
De exemplu, în sistemul de numerotare arabă (așa numit din motive istorice, deși originea sa este de fapt indiană ), cel mai frecvent utilizat astăzi în lume, prima cifră din dreapta exprimă numărul de unități, a doua cea a zecilor , al treilea cel al sutelor, al patrulea cel al miilor, și așa mai departe. De exemplu, numărul 555 arată: 5 sute, 5 zeci, 5 unități (cinci sute cincizeci și cinci). Aceeași figură 5 când se află în prima poziție (numărând întotdeauna din dreapta) are o valoare de cinci, în a doua poziție are o valoare de cincizeci, în a treia poziție are o valoare de cinci sute. Într-un sistem de numerotare nepozițional, pe de altă parte, sunt utilizate trei simboluri diferite pentru a exprima aceste trei valori: de exemplu, în cifre romane cinci sute cincizeci și cinci este scris DLV.
Sistemele de numerotare pozițională au nevoie de o cifră zero pentru a marca locurile „goale”. De exemplu, numărul cinci sute cinci (5 sute, 0 zeci, 5 unități) ar trebui să fie scris 505, cu un zero în poziția zecilor: dacă nu ați pus zero, scriind 55, ar fi numărul cincizeci și cinci în loc de cinci sute cinci. Pe de altă parte, în sistemele non-poziționale, zero nu este utilizat deoarece utilizarea diferitelor simboluri pentru unități, zeci, sute etc. face inutilă: în cifrele romane cinci sute cinci este scris DV și nu poate fi confundat cu cincizeci și cinci care este scris LV.
Utilizarea poziției pentru codificarea informațiilor face posibilă utilizarea unui număr mai mic de simboluri : de fapt, sistemul de numerotare indian este capabil să reprezinte numere mari cu o notație compactă folosind doar zece simboluri spre deosebire de sistemul roman care, pentru a reprezenta numere mari , a folosit simboluri suplimentare care complicau învățarea matematicii și calculele inginerești complicate. De fapt, adoptarea notației poziționale a făcut posibilă definirea și aplicarea algoritmilor relativ simpli , independenți de mărimea numerelor, pentru a efectua operații elementare, cum ar fi adunarea , multiplicarea sau exponențierea , permițând astfel dezvoltarea calculelor matematice. deci a științei moderne.
Diferitele sisteme de numerotare pozițională
În cel mai general caz, un sistem de numerotare pozițional este definit de o succesiune de multiplicatori b 1 , b 2 , b 3 ... care corespund raportului dintre valoarea pe care o cifră o asumă într-o poziție dată și cea pe care o asumă în următoarea poziție. În formulă poate fi scris (limitându-se la un număr din patru cifre pentru simplitate; generalizarea este evidentă):
- c 4 c 3 c 2 c 1 = c 4 × (b 3 × b 2 × b 1 ) + c 3 × (b 2 × b 1 ) + c 2 × b 1 + c 1
Când multiplicatorii sunt la fel, această formulă se reduce la:
- c 4 c 3 c 2 c 1 = c 4 × b 3 + c 3 × b 2 + c 2 × b + c 1
Numărul b se numește baza sistemului de numerotare. Sistemul arab este sistemul de bază 10 (de aceea se mai numește și sistemul numeric zecimal ).
Când comparăm numerele scrise în sisteme cu baze diferite, folosim pentru a indica baza scriind-o ca un indice după număr: de exemplu 243 5 este scris în baza 5 și este valid:
- 243 5 ← → 2 × 5 2 + 4 × 5 + 3 = 73 10 (șaptezeci și trei)
În antichitate, babilonienii obișnuiau să exprime partea fracționată a numerelor cu un sistem sexagesimal , adică la baza 60. Urmele acestui obicei au rămas până astăzi în subdiviziunea de ore și grade în minute (1/60 de oră) sau grad) și secunde (1/60 dintr-un minut).
Un sistem cu multiplicatori diferiți a fost cel folosit de Maya : au folosit b n = 20 pentru n = 1 și pentru n≥3, dar b 2 = 18. Prin urmare (folosind cifre zecimale în loc de simboluri Maya) simbolul 10 valorează douăzeci, simbolul 100 valorează trei sute șaizeci (douăzeci × optsprezece), 1000 valorează șapte mii două sute (douăzeci × optsprezece × douăzeci) și așa mai departe .
În domeniul informaticii , odată cu apariția computerelor digitale, sistemele de numerotare pozițională sunt adesea utilizate în baze care au puteri de 2:
- b = 2: sistem de numere binare
- b = 8: sistem de număr octal
- b = 16: sistem numeric hexazecimal
În sistemul hexazecimal, literele alfabetului de la A la F sunt utilizate ca cifre corespunzătoare numerelor de la 10 la 15.
