Număr

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - "Numere" se referă aici. Dacă căutați alte semnificații, consultați Numere (dezambiguizare) .
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă căutați alte semnificații, consultați Număr (dezambiguizare) .

În matematică , un număr este un mod de a exprima o cantitate sau poziția într-o listă de elemente sau raportul dintre cantități de același tip. [1] Conceptul de număr apare din necesitatea numărării, ca o abstracție a conceptului de cantitate, realizată printr-o corespondență unu-la-unu între elementele a două seturi distincte.

O operație numerică este definită ca o procedură care, pornind de la unul sau mai multe numere, generează un alt număr. Operațiile numerice fundamentale (numite și „operații aritmetice”) sunt: adunarea , scăderea , înmulțirea și împărțirea . Studiul proprietăților acestor operații face parte din algebra elementară .

Un set de numere este exprimat frecvent prin conceptul de câmp .

Tipuri de numere

Diagrama Venn a unor seturi numerice notabile

Un număr care exprimă dimensiunea unui set de elemente, precum și un număr care identifică poziția într-o succesiune de obiecte, se numește număr natural . Nevoia de a exprima o cantitate în raport cu o altă cantitate a făcut necesară introducerea altor clase de numere, cum ar fi numerele raționale și numerele reale . În cele din urmă, necesitatea de a reprezenta numărul obținut printr-o operație matematică a justificat utilizarea altor clase de numere, cum ar fi, de exemplu, numere algebrice .

Numere naturale

De-a lungul istoriei matematicii, au fost definite mai multe seturi numerice . Printre acestea numerele naturale , care sunt:

Numere naturale (al căror set este indicat prin convenție cu simbolul ) sunt utilizate pentru numărare și comandare . Prezența zero între numerele naturale depinde de convenția aleasă. Zero este prezis de axiomele lui Peano .

Mulțimea numerelor naturale constituie o succesiune ordonată . Fiecare număr este descris de una sau mai multe cifre .

Numere întregi relative

Dacă, pornind de la mulțimea numerelor naturale, se introduce semnul (și zero dacă nu este inclus), făcând distincția între numerele pozitive și negative , se obțin numerele întregi relative (sau pur și simplu numere întregi ), al căror set este indicat convențional cu simbolul . Numărul întreg relativ este:

Numere rationale

Dacă pornind de la numere întregi date de raportul dintre ele se construiesc, se obțin numere raționale , care pot fi deci exprimate prin intermediul unei fracții ( raport în latină , de unde și numele de numere „raționale”). De exemplu:

Setul tuturor numerelor raționale este indicat în mod convențional cu simbolul .

Numere algebrice

Numerele algebrice sunt numere care pot fi obținute ca rădăcini ale ecuațiilor algebrice cu coeficienți întregi. Numerele raționale sunt algebrice. Conversa nu este în general adevărată: de exemplu:

sunt numere algebrice care nu pot fi descrise printr-o fracțiune, nu sunt raționale.

Un număr non-algebric se numește transcendent . De exemplu, ( pi ) ed sunt transcendente: nu se poate obține ca rădăcină a unei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi.

Numere reale

Setul de numere reale include numere care pot fi exprimate, cu sau fără virgulă, prin intermediul sistemului numeric zecimal . Numerele reale includ numerele enumerate mai sus. În special, numerele reale sunt împărțite în rațional și irațional sau în algebric și transcendent.

Mulțimea numerelor reale este simbolizată prin convenție cu .

Numere complexe

Mulțimea numerelor reale nu oferă toate soluțiile ecuațiilor algebrice . De exemplu, ecuația:

nu are nicio soluție în câmpul numerelor reale, deoarece pătratul unui număr real este întotdeauna pozitiv sau nul. Pentru a rezolva această problemă, a fost introdusă unitatea imaginară . Se definește după cum urmează:

Acest număr nu aparține setului de numere reale, el aparține setului de numere complexe . În general, un număr complex este o expresie ca:

unde este este unitatea imaginară e sunt numere reale. Setul de numere complexe este indicat prin convenție cu simbolul .


Seturile numerice sunt fiecare un subset al celuilalt, în conformitate cu această ordine (unde simbolul indică includerea strictă):

Seturi hipercomplexe

În scopuri speciale, , poate fi extins în continuare, cu prețul pierderii unor proprietăți și, în consecință, supus unei degradări ca structură algebrică.

Cuaternionii

Numerele complexe au fost extinse și au dat naștere cuaternionilor . Operația de multiplicare a cuaternionului nu se bucură de proprietatea comutativă .

Ottonioni

Octonii extind cuaternionii. De această dată proprietatea asociativă se pierde. Singurele sisteme asociative cu dimensiune finită, pe lângă complexe, sunt cuaternionii.

Sedenioni

Prin extinderea octonionilor veți obține sedenioni , care își pierd proprietatea asupra algebrei alternative , dar care păstrează totuși puterea asociativă .

Notaţie

Numerele trebuie să se distingă prin nume , deoarece numerele sunt concepte și chiar dacă numele utilizate în diferite limbi variază, conceptele rămân aceleași. Notarea numerică ca o serie de cifre este definită de sistemele numerice. Popoarele asociază adesea nume particulare numerelor utilizate frecvent, pe lângă cele atribuite de sistemul de numerotare, aceste nume sunt adesea folosite în contexte specifice, un exemplu clasic fiind duzina .

Extensii ale regalilor

Cele mai recente evoluții în teoria numerelor au condus la numere hiperreale și numere suprarealiste , care extind numerele reale de la numere infinitesimale la numere infinit de mari prin inserții. În timp ce numerele reale se pot extinde infinit la dreapta punctului zecimal, se poate încerca, de asemenea, să extindeți numerele la stânga la infinit, ceea ce duce la numere p-adice . Pentru a gestiona mulțimi infinite, numerele naturale au fost generalizate în numere ordinale și numere cardinale . Primul set este utilizat pentru a defini ordinea de inserare a seturilor, al doilea definește formatul de inserare. În cazul mulțimilor finite, acestea sunt echivalente.

Operațiile aritmetice pe numere sunt adunarea , scăderea , înmulțirea și divizarea . Aceste operații au fost generalizate într-o ramură a algebrei numită algebră abstractă . Conține conceptele de grup , inel și câmp .

Asemănări în diferite culturi

În multe culturi, reprezentarea grafică a numerelor este foarte similară. Numerele „unu”, „doi” și „trei” ale vechilor romani au fost exprimate ca I, II, III ( cifre romane ). Chinezii au folosit o notație similară, cu cifrele pe orizontală sau pe verticală, dar spre deosebire de romani au folosit un sistem pozițional, similar cu cel nostru actual, cu cifrele de la 0 la 9 . Numerele, numite tsu sau hêng , au schimbat orientarea în funcție de poziția: | = | a fost 121, - || - ◦ era 1210. Tsu erau verticale, hêng orizontale, numerele de mai sus de cinci aveau un băț așezat perpendicular pe celelalte. Sistemul a fost folosit cu tije de calcul , pe care chinezii le-au manevrat la viteze atât de mari încât să-i uimească pe primii misionari nestorieni.

Cu toate acestea, nu exista un semn unic care să îi definească pe cei patru dintre romani, în timp ce pentru chinezi era ||||. Romanii au folosit o notație de scădere: au exprimat cele patru cu un V precedat de un I. V-ul a indicat numărul cinci, simbolul I din fața acestuia a indicat că ar trebui scăzut (cinci minus unu = patru). A existat un motiv antropomorf în atribuirea unui anumit simbol lui cinci - mâna are cinci degete - dar a existat și o motivație care implică creierul uman. Psihologii au arătat că creierului nostru îi este greu să distingă mai mult de cinci simboluri similare apropiate: încercați să spuneți dacă este mai mare ||||||||| sau |||||||||||; mai simplu dacă sunt scrise ca IX și X.

Sistemul adoptat în Europa este sistemul de numerotare zecimală , numit și numerotare arabă. De fapt, provine din India și, cel mai probabil, provine din numerele cursive egiptene , numerele copte . Cifra 1 este foarte asemănătoare cu simbolul roman, 2 și 3 sunt variații ale aceluiași simbol care vă permit să scrieți numere fără a ridica stiloul și, prin urmare, permite scrierea rapidă, dar păstrează ideea liniei orizontale duble sau triple . Cu simbolul 4 se pierde corespondența.

Scrierea occidentală, arabă și indiană a cifrelor de la 0 la 9

Notă

  1. ^ număr , în Treccani.it - ​​Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Elemente conexe

Numere particulare

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 5399 · LCCN (EN) sh85093206 · GND (DE) 4067271-2 · BNF (FR) cb119326327 (dată) · BNE (ES) XX4678887 (dată) · NDL (EN, JA) 00.571.509
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică