Numere prietenoase

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , sunt numere amiabile sau prietenii sau prietenii două numere pentru care suma divizorilor deține unul (excluzând astfel numărul în sine) este egal cu celălalt și invers.

Un exemplu clasic este dat de perechea 220 și 284 . Cele două numere sunt prietenoase în asta

  • 220 este divizibil cu 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 și 110 și suma lor este 284;
  • 284 este divizibil cu 1, 2, 4, 71, 142 care, atunci când se adună împreună, dă 220.

Alte numere prietenoase sunt, de exemplu, cuplurile 1184 și 1210, 2620 și 2924, 5020 și 5564, 6232 și 6368, 17296 și 18416 [1] .

În ultimii zece ani, căutarea numerelor prietenoase a făcut ca cantitatea să crească exponențial. În aprilie 2018, erau cunoscute peste 1 miliard și 100 de milioane, unele cu zeci de mii de cifre [2] .

Dacă un număr este prietenos cu el însuși, adică dacă suma divizorilor săi proprii este egală cu el însuși (ca numărul 28 ), se numește un număr perfect .

In istorie

În epoca greacă , numere prietenoase erau cunoscute de pitagoreici , care le atribuiau o valoare mistică.

În secolul al IX-lea , matematicianul arab Thābit b. Qurra al-Ḥarrānī al-Ṣābiʾ (826-901) a găsit o metodă de definire a unor cupluri prietenoase:

fix n întreg pozitiv, dacă numerele:
p = 3 2 n-1 - 1
q = 3 2 n - 1
r = 9 2 2n-1 - 1
sunt trei numere prime impar, atunci perechea (2 n pq, 2 n r) este o pereche de numere prietenoase

Nu toate perechile de numere prietenoase sunt obținute cu aceste formule: un exemplu este (1184, 1210).

În matematica modernă occidentală, câțiva savanți renumiți au căutat perechi de prieteni:

  • Fermat în 1636 a anunțat că a găsit cuplul (17296.18416), care, cu toate acestea, era cu siguranță deja cunoscut de arabul Ibn al-Banna de Marrakech (1256-1321) și probabil și de Thābit ibn Qurra menționat anterior, deoarece este obținut din formula sa pentru n = 4.
  • Descartes a găsit (9363584, 9437056), care se obține din formula obișnuită pentru n = 7.
  • Euler a publicat în 1750 o listă care include 60 de perechi de numere prietenoase, ignorând curios a doua în ordinea mărimii (1184, 1210), care a fost descoperită ulterior în 1866 de Niccolò Paganini, un tânăr student de 16 ani cu același nume de celebrul violonist .

Proprietate

În toate cazurile cunoscute, numărul de o pereche sunt fie ambele chiar sau ambele ciudat, deși nu există motive cunoscute de ce acest lucru trebuie să aibă loc în mod necesar. În plus, fiecare pereche cunoscută împarte cel puțin un factor .

Nu se știe dacă există perechi de numere coprime prietenoase, dar dacă există, se dovedește că produsul lor trebuie să fie mai mare de 10 67 .

Numere sociabile

Un grup de numere sociabile este un set de numere în care fiecare număr este prietenos cu numărul de lângă el, iar primul este prietenos cu ultimul, astfel încât numerele formează un fel de „lanț ciclic”. În 1918, matematicianul Paul Poulet a descoperit grupul numerelor sociabile 12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264. Fiecare număr este egal cu suma factorilor precedentului; în cele din urmă, dacă adăugăm divizorii buni ai lui 14 264, obținem 1 + 2 + 4 + 8 + 1783 + 3566 + 7132 = 12 496, adică primul număr al ciclului.

Cel mai lung lanț cunoscut de numere sociabile cuprinde 28 de numere, dintre care cel mai mic este 14 316 și a fost întotdeauna descoperit de Poulet. [3]

Notă

  1. ^ (EN) secvența A063990 , pe Enciclopedia on-line a secvențelor întregi , Fundația OEIS.
  2. ^ (EN) Lista de perechi amiabile , pe sech.me. Adus pe 9 aprilie 2018 .
  3. ^ Cântec Y. Yan, Numere perfecte, amiabile și sociabile: o abordare computerizată , p. 23. Accesat la 9 aprilie 2018 .

Bibliografie

  • ( EN ) Martin Gardner , Perfect, Amicable, Sociable , în Mathematical Magic Show , 1990, pp. 160-172.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică