Număr întreg
Numerele întregi (sau numere întregi relative sau, pur și simplu, numere relative ) corespund mulțimii obținute prin unirea numerelor naturale (0, 1, 2, ...) și a numerelor întregi negative (−1, −2, −3, ...) ), adică cele obținute prin plasarea unui semn „-” în fața naturilor. Acest set în matematică este notat cu Z o , deoarece este litera inițială a lui „ Zahl ” care în germană înseamnă număr (inițial „a număra”, de fapt expresia implică utilizarea numerelor negative).
Întregii sunt apoi definiți exact ca mulțimea numerelor care sunt rezultatul scăderii numerelor naturale . Numerele întregi pot fi adăugate, scăzute și înmulțite, iar rezultatul rămâne întreg. Cu toate acestea, inversul unui întreg nu este un întreg în general, ci un număr rațional ; formal acest fapt se exprimă spunând că este un inel comutativ , dar nu un câmp .
Proprietăți algebrice
Ca și numerele naturale, este închis cu privire la operațiile de adunare și multiplicare , adică suma sau produsul a două numere întregi este un număr întreg. Mai mult, cu includerea numerelor naturale negative și zero, (spre deosebire de numerele naturale) este închis și în raport cu operația de scădere : dacă Și sunt și ele întregi este. In orice caz, nu este închis sub operația de divizare , deoarece coeficientul a două numere întregi (de exemplu ) nu este neapărat un număr întreg.
Următorul tabel listează câteva dintre proprietățile de bază ale adunării și multiplicării pentru fiecare număr întreg , Și .
plus | multiplicare | |
închidere : | a + b este un număr întreg | a × b este un număr întreg |
proprietate asociativă : | a + ( b + c ) = ( a + b ) + c | a × ( b × c ) = ( a × b ) × c |
proprietate comutativă : | a + b = b + a | a × b = b × a |
existența elementului neutru : | a + 0 = a | a × 1 = a |
existența elementului opus : | a + (- a ) = 0 | |
proprietate distributivă : | a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) |
grup
În limbajul algebrei abstracte , primele cinci proprietăți enumerate mai sus pentru adăugare spun că este un grup abelian cu operația sumă . În special, este un grup ciclic , deoarece orice număr întreg diferit de zero poate fi scris adăugând un anumit număr de ori sau . Grupul este singurul grup ciclic infinit, în sensul că orice alt grup ciclic infinit este izomorf pentru .
Inel
Primele patru proprietăți enumerate mai sus pentru multiplicare spun că cu funcționarea produsului formează un monoid comutativ. Cu toate acestea, observăm că nu toți numerele întregi au inversul înmulțirii; de exemplu, nu există un număr întreg astfel încât . Prin urmare nu este un grup atunci când este luat în considerare cu operațiunea produsului .
Toate proprietățile din tabel luate împreună spun asta cu adunare și multiplicare este un inel comutativ cu unitate . În mod eficient este principalul motiv pentru definirea acestei structuri. Lipsa inversului cu privire la multiplicare se traduce prin faptul că nu este un câmp .
Inelul este, de asemenea, un domeniu al integrității , deoarece nu conține divizori ai zero . Fiecare domeniu de integritate este conținut într-un câmp, iar cel mai mic câmp care conține numerele întregi este câmpul a numerelor raționale .
Algoritmul lui Euclid
Chiar dacă diviziunea obișnuită nu este definită pe , este posibil să se utilizeze algoritmul lui Euclid pentru a efectua o diviziune cu rest: dat doi numere întregi Și cu , există două numere întregi și sunt unice Și astfel încât
unde este este valoarea absolută a . Întregul se numește coeficientul e se numește restul , rezultat din împărțirea lui cu .
Algoritmul lui Euclid arată cum două numere întregi au întotdeauna cel mai mare factor comun și cel mai mic multiplu comun . Mai mult, prin teorema fundamentală a aritmeticii, fiecare număr întreg are o descompunere unică ca produs al numerelor prime . Existența algoritmului lui Euclid face din un inel euclidian .
Cardinalitatea
Cardinalitatea unui set de numere întregi este echivalentă cu ( aleph-zero ). Acest lucru poate fi demonstrat prin construirea unei corespondențe unu-la-unu (adică o funcție injectivă și surjectivă ) între Și . Luand in considerare , o astfel de corespondență este funcția astfel încât:
În timp ce luați în considerare este funcția astfel încât:
Fiecare membru al va avea un singur membru corespunzător în (sau ), prin urmare cele două mulțimi au aceeași cardinalitate.
Triere
Întregul este un set complet ordonat, fără limite superioare sau inferioare. Ordinea este dat de
Un număr întreg este pozitiv dacă este mai mare decât zero și negativ dacă este mai mic decât zero; zero nu este considerat un număr pozitiv sau negativ.
Următoarea ordine este compatibilă cu regulile algebrei:
- de sine Și , asa de ;
- de sine Și , asa de .
Definiție formală
Mai simplu: dacă Și sunt două numere relative pe care le spune este mai mare decât , iar tu scrii , dacă există un număr natural astfel încât . Întregul poate fi definit din set a numerelor naturale prin conceptul de set de coeficiente . Luați în considerare produsul cartezian , adică ansamblul tuturor perechilor ordonate de numere naturale . Luați în considerare următoarea relație
Aceasta este o relație de echivalență , de fapt este:
- , , adăugând
- , simplificând
- , asa de
Se definește pe sine ca coeficient setat al cu relatia :
În acest moment este ușor de demonstrat că fiecare clasă de echivalență conține un singur element în formă cu sau . În acest fel putem introduce notația mai familiară pentru numere întregi după cum urmează:
Se arată ușor că există un izomorfism între mulțimea numerelor naturale și subsetul de format din elemente de tip . În acest sens se poate spune că numerele naturale sunt un subset de numere întregi.
Operațiuni
Suma și operațiunile produsului pot fi definite după cum urmează:
Se verifică dacă operațiile sunt compatibile cu relația de echivalență și că sunt traduse în operațiile normale de adunare și produs ale numerelor întregi prin notația care tocmai a fost introdusă. De exemplu:
De asemenea, se poate arăta direct că setul cu aceste operații este un inel comutativ .
Elemente conexe
- Factorizarea
- 1 (număr)
- Întregul lui Gauss
- Întreg de Eisenstein
- Întreg de Blum
- Număr întreg algebric
- Numar natural
- Numar rational
- Numar real
- Număr complex
- Enciclopedie on-line a secvențelor întregi
- Partiția unui număr întreg
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu număr întreg
linkuri externe
- ( EN ) Integer , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Controlul autorității | Thesaurus BNCF 23876 · GND (DE) 4134668-3 · NDL (RO, JA) 00570428 |
---|