Număr irațional

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un număr irațional este un număr real care nu este un număr rațional , adică nu poate fi scris ca o fracție a / b cu a și b numere întregi și b altele decât 0 . Numerele iraționale sunt exact acele numere a căror expansiune în orice bază ( zecimală , binară etc.) nu se termină niciodată și nu formează o secvență periodică.

Introducerea acestor numere în panorama matematică a început cu descoperirea de către greci a unor cantități nemăsurate, adică fără un submultiplu comun.

Unele numere iraționale sunt numere algebrice precum ( rădăcina pătrată a lui 2 ) e ( rădăcina cubică a lui 5 ); altele sunt numere transcendente precum π și e .

fundal

Descoperirea numerelor iraționale este atribuită în mod tradițional lui Pitagora sau, mai exact, lui Hipas pitagoric al lui Metapont , [1] care a produs un argument (probabil cu considerații geometrice) a iraționalității rădăcinii pătrate a lui 2 . Conform tradiției, Hippasus a descoperit numere iraționale în timp ce încerca să reprezinte rădăcina pătrată a lui 2 ca o fracție (a se vedea proba de mai jos). Cu toate acestea, Pitagora credea în absolutitatea numerelor și nu putea accepta existența numerelor iraționale. El nu a putut să le infirme existența cu logică, dar credințele sale nu au putut tolera existența lor și, potrivit unei legende, l-a condamnat pe Hippasus să se înece.

Secolul al XVI-lea a văzut în cele din urmă primirea favorabilă de către comunitatea matematică a numerelor negative, întregi și fracționare . Secolul al XVII-lea a văzut, de către matematicieni, utilizarea tot mai frecventă a fracțiilor zecimale cu notație modernă. În următoarea sută de ani, numerele imaginare au devenit un instrument puternic în mâinile lui Abraham de Moivre și, în special, a lui Leonhard Euler . Pentru secolul al XIX-lea a rămas să completeze teoria numerelor complexe , să demonstreze existența numerelor transcendente, să împartă iraționalele în algebrice și transcendente și să facă un studiu științific pe un subiect care aproape hibernase încă de pe vremea lui Euclid , teoria iraționalelor . În anul 1872 a apărut teoriile lui Karl Weierstrass (prin elevul său Kossak ), Eduard Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5) și Richard Dedekind . Méray luase același punct de plecare ca Heine în 1869, dar această teorie este în general atribuită anului 1872. Metoda lui Weierstrass a fost inițiată în totalitate de Pincherle (1880), iar cea a lui Dedekind a primit mai multă importanță prin lucrările ulterioare ale autorului (1888) și cea mai recentă aprobare a Tannery (1894). Weierstrass, Cantor și Heine și-au bazat teoriile pe serii infinite, în timp ce Dedekind, referindu-se la Euclid, și-a bazat ideea unei tăieturi (Schnitt) în sistemul numerelor raționale, adică în împărțirea totalității numerele raționale în două clase caracterizate prin proprietăți contrastante. Subiectul a primit contribuții ulterioare din mâna lui Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101) și Méray.

Fracțiunile continue , strâns legate de numerele iraționale (și datorate lui Cataldi, 1613), au fost luate în considerare de Euler, iar la începutul secolului al XIX-lea au avut o importanță mai mare datorită scrierilor lui Joseph Louis Lagrange . Alte contribuții notabile au fost făcute de Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) și Günther (1872). Peter Ramus (1855) a legat pentru prima dată argumentul de determinanți, dând viață, cu contribuțiile ulterioare ale lui Heine, August Ferdinand Möbius și Günther, la teoria determinanților fracțiilor continue. Dirichlet a contribuit, de asemenea , la teoria generală.

Numerele transcendente au fost distinse mai întâi de iraționalele algebrice de către Kronecker. Lambert a dovedit (1761) că nu poate fi rațional și că e n este irațional dacă n este rațional (cu excepția lui n = 0), însă o demonstrație care a lăsat mult de dorit. Legendre (1794) a completat dovada lui Lambert și a arătat asta nu este rădăcina pătrată a unui număr rațional. Joseph Liouville (1840) a arătat că nici și nici și și ² nu pot fi rădăcini ale unei ecuații pătratice întregi. Dar existența numerelor transcendente a fost stabilită pentru prima dată de Liouville (1844, 1851); o propoziție mai puternică, care afirmă că iraționalii și transcendenții au o cardinalitate mai mare decât algebraica, a fost găsită de Georg Cantor în 1873. Charles Hermite (1873) a dovedit mai întâi transcendența lui e , iar Ferdinand von Lindemann (1882), pornind de la concluziile lui Hermite, el a arătat același lucru pentru . Dovada lui Lindemann a fost mult simplificată de Weierstrass (1885) și, în continuare, de David Hilbert (1893); în cele din urmă a fost redată aproape elementară de Hurwitz și Gordan .

Exemple

Irationalitatea radacinii patrate a 2

O demonstrație a iraționalității rădăcinii pătrate a doi (transmisă de Archite ) este următoarea, care se desfășoară în mod absurd . Propoziția este dovedită presupunând contrariul și arătând că este falsă, ceea ce implică faptul că propoziția inițială trebuie să fie adevărată.

să presupunem că este un număr rațional. Acest lucru implică faptul că există două numere întregi a și b fără factori comuni astfel încât . Pătrat avem , acesta este .

Aceasta implică faptul că un ² este egal.

Deoarece pătratul unui număr par este par ( ), în timp ce pătratul unui număr impar este impar ( ), rezultă că a este egal, adică există k întreg astfel încât a = 2 k .

Prin înlocuire avem

adică b este egal și, prin urmare, a și b au în comun un factor 2, ceea ce este imposibil pentru că le-am presupus fără factori comuni.

Din moment ce avem o contradicție cu presupunerea că este un număr rațional, trebuie să fie fals. Deci am demonstrat contrariul, care este acela este irațional.

Această dovadă poate fi generalizată pentru a arăta că orice rădăcină a oricărui număr natural este un număr natural sau este irațional.

O altă dovadă a absurdității care dovedește iraționalitatea este mai puțin cunoscut, dar interesant. Se continuă observând că dacă profitând apoi de faptul că primesti , atunci o fracție la termenii cei mai mici este redusă la termeni și mai mici. Aceasta este însă o contradicție Și sunt numere întregi pozitive, de unde presupunerea că este rațional trebuie să fie fals. Dintr-un triunghi dreptunghic isoscel ale cărui picioare și respectiv hipotenuză au lungimi Și , prin intermediul unei construcții clasice cu riglă și busolă, este posibil să se construiască un triunghi isoscel unghiular mai mic astfel încât picioarele și respectiv hipotenuza să aibă lungimi Și . Această construcție demonstrează iraționalitatea cu același tip de metodă folosită de geometrii greci antici.

Irationalitatea logaritmilor

Alte numere a căror iraționalitate este ușor demonstrată sunt logaritmi cu bază și argument întregi, astfel încât există un număr prim care împarte baza, dar nu argumentul (sau invers). Dovada continuă în mod absurd : presupunând că , da

adică prin creșterea la n ,

De exemplu, dacă acum numărul prim p împarte a dar nu b , atunci împarte a m dar nu b n și, prin urmare, cele două numere nu pot fi egale, iar logaritmul nu este rațional.

Un exemplu poate fi log 2 3: dacă ar fi egal cu m / n am avea 2 m = 3 n , ceea ce este imposibil deoarece primul este egal (adică divizibil cu 2) și al doilea nu.

Alții iraționali

Alte exemple notabile de numere iraționale sunt și , pi și valorile funcțiilor sinus și cosinus ale numerelor raționale. Irationalitatea lui e este ușor de dovedit în mod absurd folosind seria Taylor : într-adevăr

unde n ! indică factorialul lui n ; dacă e ar fi rațional, ar fi posibil să o scriem ca e = a / b . Trunchierea seriei după termeni b am avea

unde R b include suma pentru n variind de la b +1 la infinit și este între 0 și 1 / b ! Înmulțind cu b ! da ai

unde este este un întreg. De aici a (b - 1) ! ar trebui să fie între c și c + 1 și ar trebui să fie un număr întreg, ceea ce este imposibil. Deci e este irațional.

Un alt mod de a construi numere iraționale este ca numerele algebrice iraționale, adică zerouri de polinoame cu coeficienți întregi: să începem cu o ecuație polinomială:

unde coeficienții a i sunt numere întregi. Să presupunem că știm că există numere reale x astfel încât p ( x ) = 0 (de exemplu dacă polinomul este de grad impar). Singurele rădăcini raționale posibile ale acestei ecuații polinomiale sunt de forma r / s unde r este un divizor al unui 0 și s este un divizor al unui n ; există doar un număr finit din acești candidați care sunt ușor de verificat manual. Dacă niciuna dintre ele nu este o rădăcină a lui p , atunci x trebuie să fie irațional. De exemplu, această tehnică poate fi utilizată pentru a arăta că x = (2 1/2 + 1) 1/3 este irațional: avem (x³ - 1) ² = 2 și deci x 6 - 2x³ - 1 = 0, iar acest lucru ultimul polinom nu are rădăcină rațională (singurii candidați posibili sunt ± 1).

Deoarece numerele raționale formează un câmp , multe numere iraționale pot fi construite prin combinarea rațională și irațională. Numere ca , , nu pot fi raționali, pentru că altfel ar fi, respectiv, e , π și .

Irațional și transcendent

Numerele transcendente sunt acele numere care nu sunt zero ale oricărui polinom cu coeficienți întregi (sau rațional: cele două afirmații sunt echivalente). Din moment ce orice rațional este soluția , toți transcendenții sunt, de asemenea, iraționali. Există, totuși, iraționale care nu sunt transcendente: acesta este cazul rădăcinilor (de exemplu este soluție de ). De obicei dovedirea iraționalității unui număr este mai ușoară decât dovedirea transcendenței sale; de exemplu așa-numita constantă Apéry , adică numărul

s-a dovedit a fi irațional, dar nimeni nu a găsit încă dovezi ale transcendenței sale.

Setul tuturor numerelor iraționale nu poate fi numărat (de fapt raționalele sunt numărabile, dar realele nu): aceasta înseamnă că „aproape toate” numerele reale sunt iraționale. Mai mult, din moment ce algebricele sunt și ele numărabile, rezultă că iraționalele algebrice sunt, de asemenea, numărabile: în consecință, „aproape toate” iraționalele sunt transcendente.

Numere iraționale și expansiuni zecimale

Se crede adesea că matematicienii definesc „numărul irațional” în termeni de expansiune zecimală , numind un număr irațional dacă expansiunea sa zecimală nu se repetă și nici nu se termină. Niciun matematician nu folosește această definiție, deoarece alegerea bazei 10 ar fi arbitrară, iar definiția tipică este mai simplă și mai justificată. Cu toate acestea, este adevărat că un număr rațional poate fi exprimat în formă , unde este și sunt numere întregi , dacă și numai dacă expansiunea sa zecimală se repetă sau este finită. Când algoritmul de divizare ("în coloană") se aplică diviziunii de pentru , sunt posibile numai rămâi . Dacă apare ca rest, expansiunea zecimală se termină. Dacă nu apare, atunci algoritmul poate lua cel mult treceți fără a folosi fiecare rest de mai multe ori. După aceea, un rest trebuie să reapară, iar apoi expansiunea zecimală se repetă. Dimpotrivă, să presupunem că ne confruntăm cu o zecimală periodică, de exemplu:

Deoarece dimensiunea perioadei este , ne înmulțim cu :

și scade A din ambele părți:

Atunci

(135 pot fi găsite rapid prin intermediul algoritmului lui Euclid .)

Iraționale și fracții continue

Expansiunea iraționalelor într-o fracție continuă simplă este infinită. În special, iraționalele pătratice , adică soluțiile iraționale ale ecuațiilor de gradul doi, au o fracție continuă periodică, în timp ce toate celelalte au una aperiodică. De exemplu

in timp ce

Numere a căror iraționalitate nu este constatată

Nu se știe încă dacă sau indiferent dacă sunt iraționale sau nu. De fapt, nu există o pereche de numere întregi nenule m și n pentru care să știm dacă este irațional sau nu. Nici măcar nu se știe dacă , , sau constanta Euler-Mascheroni sunt iraționale.

Topologie

Folosind valoarea absolută pentru a măsura distanțele, numerele iraționale devin un spațiu metric care nu este complet . Cu toate acestea, acest spațiu metric este homeomorf pentru spațiul metric complet al tuturor secvențelor de numere întregi pozitive; homomorfismul este dat de expansiunea în fracție continuă infinită. Aceasta arată că teorema categoriei lui Baire este valabilă pentru spațiul numerelor iraționale.

Operații între rațional și irațional

Suma unui rațional plus un irațional este irațională. Produsul raționalului prin irațional este irațional, cu excepția cazului în care raționalul este.

Notă

  1. ^ Kurt von Fritz, „Descoperirea inconmensurabilității de către Hipas din Metapontum”, Annals of Mathematics , Second Series, Vol. 46, No. 2 (April, 1945), pp. 242-264.

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 6842 · LCCN (EN) sh85093213 · GND (DE) 4162426-9
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică