Numar rational

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un număr rațional este un număr care poate fi obținut ca raport între două numere întregi prime , al doilea din care este diferit de 0. Fiecare număr rațional poate fi, prin urmare, exprimat ca o fracție a / b , din care a se numește numerator și b numitorul . De exemplu, următoarele sunt numere raționale:

, , .

Numerele raționale formează un câmp , indicat de simbol , care înseamnă coeficient , folosit pentru prima dată în 1895 de matematicianul italian Giuseppe Peano . În mare parte a analizei matematice , numerele raționale sunt văzute ca numere reale particulare, în sensul că există un izomorfism între numerele reale cu o parte zecimală finită sau periodică și numerele raționale, care păstrează structura ca (mai jos) -câmpul de ; numerele reale care nu sunt raționale se numesc iraționale . De exemplu, următoarele sunt iraționale:

, , .

De fapt, niciunul dintre aceste numere nu poate fi descris ca raportul a două numere întregi. Numerele Și indicați constanta neperiană și , respectiv, pi .

În timp ce astăzi mulțimea numerelor raționale este adesea văzută ca un subgrup al numerelor reale , istoric și natural raționalele au fost introduse înainte de reale, pentru a permite împărțirea între numere întregi . Numerele reale pot fi introduse folosind numere raționale în diferite moduri: prin secțiuni Dedekind , cu o construcție folosind secvențe Cauchy , cu serii convergente de numere raționale.

În fizică , rezultatul unei măsurători este de obicei exprimat ca un număr rațional, în funcție de precizia instrumentului.

Istorie

Numerele raționale (pozitive [1] ) au fost primul tip de numere, după naturale (adică numere întregi pozitive) care au fost recunoscute ca numere și care trebuie utilizate în mod obișnuit în matematică.

Vechii egipteni le foloseau descompunându-le ca sume de fracții din numeratorul unitar (numit și astăzi fracții egiptene ), reprezentându-le plasând un simbol deasupra reprezentării întregului corespunzător; babilonienii au folosit în schimb o scriere pozițională (ca și pentru numerele întregi) cu o bază sexagesimală .

Pitagora și pitagoreici bazate pe concepția lor despre lume , asupra relațiilor dintre numere întregi, adică pe numere raționale, și a crezut că tot ceea ce există în lume ar putea fi redus la astfel de numere: descoperirea lor a iraționalității de rădăcina pătrată a doua a distrus această concepție. Însuși conceptul de „relație” nu este pe deplin clar chiar și în Elementele lui Euclid , unde întreaga carte a cincea este dedicată teoriei proporțiilor. Conform definițiilor sale, o relație este un „tip de relație dimensională între două cantități de același tip” [2] , în timp ce două cantități pot fi corelate dacă „există un multiplu întreg al primei care îl depășește pe celălalt” [3] (definiție probabil datorată lui Eudoxus , care urmează ceea ce se numește acum axioma lui Arhimede ). Egalitatea relațiilor implică o altă definiție complicată: în notația modernă, este echivalent cu a spune asta dacă și numai dacă, având în vedere două numere m și n , avem asta

  • dar < nb implică mc < nd ;
  • ma = nb implică mc = nd ;
  • dar > nb implică mc > nd .

Definiția mărimilor comensurabile este, în schimb, prima din cartea X și stabilește că acestea sunt cantitățile care au o măsură comună, adică sunt multipli întregi ai aceluiași număr.

Notarea zecimală a numerelor a fost introdusă de Stevino spre sfârșitul secolului al XVI-lea, deși nu a acceptat evoluții zecimale care nu s-au încheiat, lăsând astfel în afară un număr mare de raționale. Mai târziu, Clavius și Napier au eliminat această limitare.

Originea termenului

Termenul rațional derivă din raportul latin , în sensul său de relație .

Multe entități și structuri matematice, cum ar fi polinoame sau spații vectoriale , se referă la un câmp în definiția lor; adjectivul „rațional” atribuit uneia dintre aceste entități este adesea folosit pentru a specifica că câmpul ales este cel al numerelor raționale. De exemplu, un polinom rațional se spune că este orice polinom ai cărui coeficienți sunt doar numere raționale.

Trebuie remarcat faptul că cele patru operații de adunare, scădere, multiplicare și divizare definite pe structuri algebrice precum câmpuri sau inele se numesc operații raționale . Rezultă că, în diferite cazuri, adjectivul „rațional” se referă la entități care pot fi obținute prin utilizarea celor patru operații raționale începând de la anumite obiecte de bază. De exemplu, funcțiile raționale (într-una sau mai multe variabile) sunt funcțiile care pot fi obținute prin compunerea variației sau variabilelor și elementelor unui câmp cu operații raționale.

Construcție formală

Construcția numerelor raționale: fiecare clasă de echivalență poate fi reprezentată ca o linie dreaptă care trece prin origine, care trece prin fiecare pereche ordonată care reprezintă acel număr rațional.

Din punct de vedere formal, nu este posibil să se definească numerele raționale pur și simplu ca perechi de numere întregi (adică ca set de fracții de tip ), deoarece, în acest caz, de exemplu, perechile (3,2) și (6,4) ar fi numere diferite, în timp ce printre raționale se menține egalitatea

Prin urmare, este necesar să se introducă noțiunile de relație și clasă de echivalență , după cum urmează.

Fiecare număr rațional este o clasă de echivalență a perechilor ordonate de numere întregi , cu non-zero. Relația de echivalență este următoarea

Adunarea și multiplicarea numerelor raționale sunt definite ca

Se verifică că ambele operații astfel definite sunt compatibile cu relația de echivalență: rezultatul lor, de fapt, nu depinde de perechile ordonate particulare alese pentru a indica numerele raționale care trebuie adăugate sau înmulțite. Setul de coeficient al acestei relații este, prin urmare, Q.

Rețineți că operațiunile definite acum nu sunt altceva decât formalizarea operațiilor obișnuite între fracții :

Cu operațiile de mai sus, rezultă un câmp, unde clasa de joacă rolul de zero, iar clasa de cea a unuia. Opusul clasei de este clasa de . De asemenea, dacă , care este clasa este diferită de zero, atunci clasa lui este inversabil și are clasa de inversă .

Clasa de echivalență corespunde existenței mai multor reprezentări ca o fracție a aceluiași număr rațional:

pentru orice număr întreg diferit de zero k .

De asemenea, putem defini o comandă totală pe Q după cum urmează:

Scrierea zecimală

Ca toate numerele reale , numerele raționale pot fi reprezentate prin sistemul numeric zecimal . Dezvoltarea zecimală a numerelor raționale are particularitatea de a fi periodic : un număr real este rațional dacă și numai dacă în scrierea sa există o secvență finită de cifre (numită punct ) care se repetă la infinit, de la un anumit punct încoace după virgulă. [4]

Se poate arăta cu ușurință că niciun număr rațional, în dezvoltarea sa zecimală până la baza 10, nu poate admite perioada 9.

De exemplu:

(perioada „3” se repetă la nesfârșit)

Un număr rațional poate fi apoi descris prin „superlinierea” perioadei, ca în aceste exemple.

Această echivalență între raționale și numere periodice implică faptul că niciun număr rațional nu este normal pe nici o bază. Poate fi folosit și pentru a demonstra iraționalitatea multor numere: de exemplu

unde fiecare 1 este separat de o secvență de zerouri cu lungime crescătoare, este irațional în orice bază, deoarece, dacă ar fi rațional, perioada sa ar conține o secvență finită de zerouri separate de 1. Cu toate acestea, grupurile de zerouri pot fi găsite în extinderea oricărei lungimi și, prin urmare, o astfel de perioadă nu poate exista. Cu metode similare se poate demonstra că constanta Copeland-Erdős format, în baza zece, prin juxtapunerea numerelor prime , este irațional.

Cu toate acestea, această tehnică este inutilă pentru a demonstra iraționalitatea numerelor nedefinite pe baza expansiunii lor zecimale, cum ar fi și pi .

Fracții continuate

Numerele raționale au o reprezentare finită simplă a fracției continue și sunt singurele care posedă această proprietate. De asemenea, sunt singurele în care reprezentarea nu este simplă, ci dublă: de exemplu

Structura algebrică

Echipat cu adunare, multiplicare și relație de ordine, întregul are structura algebrică a unui câmp ordonat arhimedean și totuși nu este un câmp complet (se poate arăta că subsetul are valoarea ca extremitate cea mai înaltă , care nu este un număr rațional).

Singurul subcâmp al câmpului numărului rațional este el însuși. Elementele neutre pentru sumă și produs sunt 0 și respectiv 1. Caracteristica câmpului este 0; se poate arăta, de asemenea, că fiecare câmp cu caracteristica 0 conține un subcâmp izomorf la numerele raționale și, prin urmare, că fiecare câmp de acest tip poate fi considerat ca o extensie a raționalelor. În special, raționalele formează subcâmpul său fundamental .

Închiderea algebrică a numerelor raționale nu este formată din numere reale, ci din numere algebrice , care formează un spațiu vectorial de dimensiune infinită pe cele raționale.

Câmpul numerelor raționale este și câmpul coeficienților mulțimii de numere întregi .

Raționalele ca spațiu metric

Prin teorema lui Ostrowski , raționalele sunt un spațiu metric față de numai două tipuri de valoare absolută : modulul obișnuit

iar valoarea absolută p -adic

unde p este orice număr prim și n este astfel încât și a , b și p sunt două câte două coprimă . Standardele menționate la aceste două valori absolute sunt respectiv

Și

Raționalele nu sunt complete în raport cu oricare dintre aceste două norme: completările sunt numerele reale și respectiv numerele rădăcină p . Acesta din urmă este utilizat în special în teoria numerelor , în timp ce introducerea numerelor reale este necesară pentru a stabili unele teoreme fundamentale de analiză , inclusiv teorema zero și teorema Weierstrass .

Numerabilitate

Diagrama care ilustrează dovada lui Cantor: fracțiile în roșu sunt cele care nu reprezintă numere raționale noi.

este numărabil , adică există o corespondență unu-la-unu între raționale și numere naturale. Acest rezultat aparent paradoxal (este firesc, de fapt, să credem că fracțiile sunt „mult mai multe” decât numerele întregi), a fost demonstrat de Georg Cantor . Raționamentul său se bazează pe diagramă alături: putem ordona raționalele pozitive, urmând săgețile, astfel încât fiecăruia dintre ei să i se atribuie un număr natural [5] ; într-adevăr, fiecare număr va fi numărat de un număr infinit de ori (deoarece fiecare are o infinitate de reprezentări diferite), dar acest lucru nu poate face întregul mai mare. Același argument poate fi folosit pentru a demonstra că raționalele negative sunt numărabile. Deoarece unirea a două seturi numărabile este încă numărabilă, se dovedește a fi numărabil.

Dimpotrivă, mulțimea numerelor reale este de nenumărat și, prin urmare, „aproape toate” numerele reale sunt iraționale. Aceasta implică faptul că, deși fii dens în , au măsură Lebesgue nulă.

Polinomiale

Inelul polinoamelor cu coeficienți raționali este notat cu . Spre deosebire de polinoamele cu coeficienți reali sau complexi , nu există un criteriu simplu pentru identificarea ireductibilității posibile a unui polinom cu coeficienți raționali.

Majoritatea criteriilor utilizate se bazează pe lema lui Gauss , care afirmă că un polinom cu coeficienți întregi este reductibil în inel dacă și numai dacă este reductibil în factori de grad mai mari de 0 în inel polinoame cu coeficienți întregi. Deoarece fiecare polinom cu coeficienți raționali poate fi transformat într-unul cu coeficienți întregi prin înmulțirea cu cel mai mare divizor comun al numitorilor fără a-i modifica ireductibilitatea, această lemă permite aplicarea anumitor criterii polinoamelor cu coeficienți raționali, cum ar fi criteriul Eisenstein , care se aplică pe polinoame cu coeficienți întregi.

În special, acest criteriu permite construirea unor polinoame ireductibile de orice grad: de exemplu

este ireductibil. Acest lucru nu se întâmplă în inele de polinoame cu coeficienți reali sau complexi: în primul caz polinoamele ireductibile pot fi doar de gradul I sau II, în timp ce în cazul complex, ca o consecință a teoremei fundamentale a algebrei , fiecare polinom este rupt în factori de gradul I.

Rădăcini raționale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Teorema rădăcinilor raționale .

Contrar a ceea ce se întâmplă cu rădăcinile reale (sau complexe), există un algoritm foarte rapid pentru a stabili care sunt (dacă există) zerourile raționale ale unui polinom (cu coeficienți întregi, o formă la care se poate reduce orice polinom cu coeficienți raționali) . Într-adevăr, teorema rădăcinilor raționale afirmă că dacă

cu numere întregi, atunci, în eventualele rădăcini raționale p / q , p este divizorul lui și q din . Deoarece divizorii acestor două numere sunt finite, va fi suficient, pentru restul teoremei , să verificăm dacă pentru fiecare pereche de divizori avem P ( p / q ) = 0 (caz în care p / q este o rădăcină) sau Nu.

Raționalele complexe

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: rațional gaussian .

Raționalele complexe sau raționalele gaussiene prin analogie cu numerele întregi gaussiene sunt acele numere complexe sub forma a + ib , unde a și b sunt raționale și i reprezintă unitatea imaginară . Mulțimea raționalelor gaussiene formează un câmp, care este câmpul coeficienților inelului numerelor întregi gaussiene.

Acest set este în general notat cu , adică cel mai mic câmp care conține raționalele și unitatea imaginară i .

Aproximări raționale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Apropierea diofantină .

Deoarece raționalele sunt dense în , poate fi folosit pentru aproximarea numerelor reale. Primul rezultat care trebuie dovedit este acela pentru orice irațional există raționale infinite p / q astfel încât

Un rezultat important este teorema Liouville, demonstrată în 1844 de Joseph Liouville : afirmă că dacă este un număr algebric de grad n , atunci există o constantă c > 0 astfel încât

pentru fiecare p / q rațional. Din aceasta Liouville a reușit să construiască primele exemple de numere transcendente (numite acum numere Liouville ), arătând că pentru acestea existau secvențe de raționale care făceau imposibilă existența unui astfel de c .

În 1955 Klaus Roth a demonstrat [6] că pentru fiecare algebric și pentru fiecare inegalitate

poate avea doar un număr finit de soluții în care p și q sunt numere întregi coprimă . Acest rezultat s-a îmbunătățit față de cele obținute anterior de Axel Thue și Carl Ludwig Siegel .

Notă

  1. ^ Numerele negative erau considerate „absurde” în timpuri străvechi, la fel ca și ecuațiile care le aveau pentru soluții. În consecință, utilizarea numerelor raționale a fost limitată la cantități pozitive.
  2. ^ Euclid, Elements , Cartea V, definiția 3
  3. ^ Euclid, Elements , Cartea V, definiția 4
  4. ^ În calculul cifrelor zecimale ale coeficientului între numere întregi, se poate ajunge la un rest zero (caz în care calculul este întrerupt, iar coeficientul este o zecimală limitată), sau se va continua întotdeauna să aibă un rest mai mare decât zero și mai puțin din divizor. Când în calculul cifrelor zecimale unice se găsește un rest deja găsit anterior, de atunci începe o nouă serie de cifre / resturi, identice cu seria de cifre / resturi care a început la constatarea anterioară a aceluiași rest: lungimea a perioadei va fi deci întotdeauna între 1 și divizorul redus al unei unități (de exemplu 1/3 = 0,333 ... în care fiecare cifră zecimală a coeficientului este 3 în timp ce restul este întotdeauna și numai 1; și 1/7 = 0.142857 ... în care calculul prezintă un ciclu care include toate resturile posibile, de la 1 la 6). Aceasta exclude posibilitatea ca reprezentarea zecimală a unui număr rațional să aibă o dezvoltare infinită non-periodică.
  5. ^ De exemplu, funcția dat de atribuie un număr diferit diferitelor elemente ale unui tabel, ale căror coordonate sunt (n, m). Intuitiv, această funcție „traversează” diagonalele mesei, începând din colțul din stânga sus.
  6. ^ KF Roth, Aproximări raționale la numere algebrice și Corrigendum , Mathematika, 2 , paginile 1-20 și 168 (1955)

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 18364 · LCCN ( EN ) sh85093220 · GND ( DE ) 4048495-6 · BNF ( FR ) cb12104932p (data) · BNE ( ES ) XX528806 (data)
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica