Numar real

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , numerele reale pot fi descrise într-un mod non-formal ca numere cărora este posibil să le atribuim o dezvoltare zecimală finită sau infinită, precum Numerele reale pot fi pozitive, negative sau nule și includ, ca cazuri speciale, numere întregi (cum ar fi ), numere raționale (cum ar fi ) și numere iraționale algebrice (cum ar fi ) și transcendent (cum ar fi și ). Un număr real rațional are o dezvoltare zecimală finită sau periodică; de exemplu este rațional. Setul de numere reale este , în general notată cu litera R O .

Reprezentarea liniei reale

Numerele reale pot fi puse în corespondență unu-la-unu cu punctele unei linii , numite linie numerică sau linie reală .

Definiția formală a numerelor reale a reprezentat una dintre cele mai semnificative evoluții ale secolului al XIX-lea. Printre definițiile cele mai utilizate astăzi se numără clasele de echivalență ale secvențelor Cauchy de numere raționale, secțiunile Dedekind , o redefinire a termenului „reprezentare zecimală” și o definiție axiomatică ca un singur câmp complet arhimedean ordonat .

Termenii real și imaginar au fost introduși în René Descartes, La Géometrie ( 1637 ), referitor la studiul rădăcinilor ecuațiilor. Prin extensie, mai mulți autori au început să vorbească despre numere reale și numere imaginare . În 1874 apare un articol fundamental al lui Georg Cantor în care autorul ia în considerare setul de numere reale care demonstrează că acest set nu este numărabil.

Reprezentarea și utilizarea numerelor reale

Numerele reale pot reprezenta orice cantitate fizică, cum ar fi prețul unui produs, distanța de timp dintre două evenimente, altitudinea (pozitivă sau negativă) a unui sit geografic, masa unui atom sau distanța dintre galaxii. Majoritatea numerelor reale sunt folosite zilnic, de exemplu în economie, informatică, matematică, fizică sau inginerie.

De fapt, de cele mai multe ori sunt folosite doar câteva subseturi:

Aceste seturi, deși infinite, au toate cardinalitate numărabilă și, prin urmare, sunt infinitesimale [ neclar ] parte a setului de numere reale.

Reprezentare zecimală

Fiecare număr real poate fi identificat prin numerotarea sa zecimală sau prin lista cifrelor zecimale ale părții sale întregi și, separate printr-o virgulă, lista cifrelor părții fracționate. În general, numărul de zecimale ale părții fracționate poate fi infinit. Din acest motiv, în practică, numărul real este exprimat prin prezentarea numai a primelor cifre zecimale, cum ar fi de exemplu în scris unde cele trei puncte exprimă faptul că există alte numere infinite. Cu această procedură de aproximare este posibil să se prezinte un număr rațional în mod arbitrar apropiat de numărul real în cauză. Cu cât sunt mai multe cifre zecimale, cu atât numărul rațional este mai aproape de numărul real care trebuie reprezentat și, prin urmare, cu atât este mai mare precizia aproximării. De exemplu, pi poate fi aproximat ca

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

Reprezentarea zecimală, foarte utilă în științele aplicate, are multe defecte din punct de vedere matematic, de exemplu:

  • unele numere raționale au două expansiuni zecimale diferite, de exemplu 0,999 ... :
    Se poate arăta că expansiunea zecimală a unui real este unic, cu excepția cazului în care numărul este de formă cu Și natural;
  • suma și multiplicarea între numerele reale nu se fac „cifră cu cifră” în mod obișnuit, deoarece ar trebui să „începem de la dreapta” [ neclar ] ,
  • reprezentarea este ancorată la alegerea bazei 10 și, prin urmare, nu este „canonică” [ neclar ] .

Din acest motiv, matematicienii preferă să definească și să trateze numerele reale cu alte notații mai abstracte.

Operații pe numere reale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Operații aritmetice pe numere reale .

Pe numerele reale este posibil să se facă toate operațiunile definite pentru raționale, cum ar fi suma , diferența , produsul , împărțirea cu un număr diferit de zero și creșterea la o putere cu o bază pozitivă. Astfel de operații pot fi definite prin calcul infinitesimal sau este posibil să se extindă la numere reale, prin aproximare, definițiile acelorași operații date pe numere raționale.

Numere reale în știință și tehnologie

Din punct de vedere fizic , fiecare experiment este intrinsec supus unei erori și, prin urmare, acest tip de reprezentare aproximativă a numerelor reale nu provoacă alte probleme.

În informatică , computerele pot aproxima doar numere reale cu numere raționale: aceste aproximări sunt făcute eficient, de exemplu, prin scrierea în virgulă mobilă . Unele programe sunt capabile să trateze exact unele numere non-raționale: de exemplu, unele numere algebrice pot fi descrise folosind descrierea lor algebrică (cum ar fi de exemplu ) mai degrabă decât aproximarea lor zecimală.

Mai general, știința calculatoarelor poate trata doar numere calculabile într - un mod precis: un număr real poate fi calculat dacă există un algoritm care produce cifrele sale. Deoarece există o infinitate de algoritmi care se poate număra, dar o infinitate de nenumărate numere reale, „aproape toate” numerele reale nu sunt calculabile.

În matematică , numerele reale joacă un rol fundamental și sunt manipulate continuu, deși majoritatea nu sunt calculabile. Constructivismul este un curent matematic care acceptă existența numai a unor reali calculabili.

Istorie

Fracții

Nevoia de a da un nume unor cantități măsurabile datează din antichitate. Primul răspuns, făcut de sumerieni și în Egiptul antic , a fost construirea fracțiilor ( ab ). Acest instrument a permis imediat măsurarea oricărei mărimi pozitive cu precizie arbitrară.

Numere ca lungimi

nu este rațional

Să presupunem absurd că există două numere întregi Și astfel încât

Putem presupune că fracția este redusă, adică Și sunt primii printre ei . Prin urmare

Rezultă că 2 împarte , și apoi este chiar. Prin urmare pentru unii . Noi obținem:

și apoi, de asemenea este chiar, în contradicție cu faptul că Și mă acoperă. Prin urmare, ipoteza inițială trebuie să fie falsă, adică nu poate fi rațional.

Prima formalizare matematică cunoscută este cea a lui Euclid în secolul al III-lea î.Hr. În Elementele lui Euclid , geometria este formalizată cu axiome, teoreme și dovezi. Aici numerele sunt potrivite cu lungimile segmentelor.

Abordarea lui Euclid evidențiază faptul că numerele epocii (fracțiile, adică numerele raționale) nu ar putea juca direct rolul de a reprezenta lungimile segmentelor.

Un caz particular al teoremei lui Pitagora arată că lungimea a hipotenuzei unui triunghi dreptunghic ale cărui picioare au lungime , este astfel încât

Pe de altă parte, este ușor să arăți că un astfel de nu poate fi exprimat ca o fracțiune: un rezultat care datează din școala pitagorică și era bine cunoscut lui Euclid. O dovadă a rezultatului pitagoreic, citată de Paul Erdős ca fiind una dintre cele mai frumoase din matematică, este prezentată în dreapta.

Pentru a rezolva contradicția aparentă, Euclid, în cartea a cincea a Elementelor , dezvoltă o teorie rafinată a relațiilor dintre cantități (chiar incomensurabile între ele). Pentru aceasta a fost necesar în primul rând să existe un criteriu pentru a judeca posibila egalitate a două relații între incomensurabile. Euclid oferă un astfel de criteriu în definițiile 4-9 din Cartea V, pe care le raportăm într-o formă ușor modernizată în notații:

Dă patru cantități , se spune că dacă și numai dacă pentru fiecare pereche de naturale, , , apare una dintre următoarele trei posibilități:

  • și în același timp, ;
  • și în același timp, ;
  • și în același timp, .

Datorită definiției anterioare a egalității între rapoarte, chiar și rapoartele dintre incomensurabile au devenit un obiect legitim al studiului matematic și eventuala lor egalitate a fost decisă pur și simplu prin compararea multiplilor întregi ai cantităților luate în considerare. Cu alte cuvinte, fiecare relație între incomensurabile a fost caracterizată de comportamentul său față de toate perechile de naturale.

Alte evoluții ale matematicii elenistice care anticipau parțial teoria modernă a realelor au fost cele prezente în metoda care mai târziu a fost numită epuizare ; ne amintim că primul calcul al sumelor seriale datează și din Arhimede (care a adăugat seria geometrică a rațiunii ).

Dezvoltare zecimală non-periodică nelimitată

al-Khwarizmi , matematician persan, pe un timbru poștal comemorativ sovietic

Cu ajutorul fracțiilor, grecii puteau exprima orice număr real cu precizie arbitrară. Absența unui sistem de numerotare adecvat a făcut totuși dificile operațiile elementare între aceste cantități, cum ar fi adăugarea sau divizarea.

A trebuit să așteptăm până în secolul al V-lea pentru a vedea în cele din urmă zero ca un număr recunoscut de școala indiană și pentru dezvoltarea sistemului de numerotare zecimală .

O nouă problemă apare cu sistemul de numerotare zecimal. Cu acest sistem, fiecare fracție are o dezvoltare zecimală periodică , adică succesiunea zecimalelor repetă aceeași secvență de numere la nesfârșit. Care este sensul de dat unui obiect care are o dezvoltare non-periodică? Un exemplu este următorul

0.1010010001 ... unde numărul de zerouri între două „1” consecutive crește cu fiecare pas.

Secvențe și serii

În a doua jumătate a secolului al XVII-lea , a existat un interes extraordinar din partea calculului matematic al seriei și al secvențelor . Printre acestea, Nicolaus Mercator , Bernoulli , James Gregory , Gottfried Leibniz lucrează la serii care par să convergă la o limită non-rațională, precum:

  • seria Mercator : care converge spre
  • seria Grégory: care converge spre

Mai mult, Joseph Liouville arată în 1844 existența numerelor transcendente , adică a numerelor care nu sunt rădăcini ale vreunui polinom cu coeficienți întregi. Prin urmare, nu este suficient să adăugați numere algebrice raționale pentru a obține „toate numerele”.

Calcul infinitesimal

În a doua parte a secolului al XVII-lea , Isaac Newton și Gottfried Leibniz au inventat o nouă ramură a matematicii, numită acum analiză matematică și cunoscută la acea vreme sub numele de calcul . Aceasta atinge imediat notorietatea maximă, deoarece este baza unei noi teorii fizice universale: mecanica clasică și teoria gravitației universale .

Calculul infinitesimal necesită un set de numere mai mari decât cele raționale, care „include toate găurile”, pentru a se potrivi pe toate pe o linie, numită linie reală .

În limbajul modern, proprietatea necesară pentru calcul este completitudinea și poate fi exprimată după cum urmează:

fiecare secvență Cauchy este convergentă.

Această noțiune, introdusă ulterior de Cauchy însuși , este extrem de importantă în toate domeniile matematicii și va fi, de asemenea, la originea topologiei la începutul secolului al XX-lea .

Construcția numerelor reale

Calculul infinitesimal permite o intuiție din ce în ce mai precisă asupra topologiei numerelor. Va dura încă un secol pentru a formaliza setul de numere reale într-un mod precis, adică pentru a „acoperi găurile” lăsate de raționali.

Așa cum se întâmplă adesea în matematică, atunci când problema este matură, soluția vine de la doi cercetători în același timp.

Primul care a abordat cu succes construcția numerelor reale este Augustin-Louis Cauchy . Abordarea sa rămâne cea mai fructuoasă, deoarece se aplică și în alte cazuri. Ideea sa este următoarea: o secvență ar trebui să convergă dacă elementele sunt (după un anumit punct) în mod arbitrar aproape una de alta: o astfel de secvență este acum numită secvență Cauchy .

Această idee se traduce printr-o definiție riguroasă a numerelor reale doar spre sfârșitul secolului al XIX-lea , grație lucrărilor lui Cantor și Dedekind din 1872 . Acesta din urmă propune în Was sind und was sollen die Zahlen (ce numere sunt și ce trebuie să fie) o metodă care exploatează relația de ordine dintre fracțiuni. Ideea sa constă în introducerea realelor nerationale prin perechi de subseturi de raționale, așa-numitele tăieturi Dedekind : de exemplu, rădăcina lui 2 este reprezentată de perechea de mulțimi, prima este mulțimea tuturor numerelor raționale negative sau ale căror pătratul este mai mic de , al doilea este ansamblul tuturor numerelor raționale pozitive al căror pătrat este mai mare decât . Există o relație evidentă între definiția lui Dedekind și definiția antică a lui Euclid, dar și o diferență profundă: în timp ce pentru Euclid și pentru ceilalți matematicieni greci obiectul privilegiat de studiu au fost cantitățile și numai luând în considerare relațiile lor au fost în față a ceva parțial analog cu numerele noastre reale, pe vremea lui Dedekind, cantitățile numerice își asumaseră demult rolul de protagoniști autonomi.

Definiție

Abordare axiomatică

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Construcția numerelor reale .

Este ansamblul tuturor numerelor reale. Atunci:

  • Întregul , cu adunare și multiplicare obișnuită, este un câmp , deoarece proprietățile asociative , comutative , distributive și de existență ale elementelor neutre și inverse sunt valabile în ceea ce privește ambele operații.
  • Campul este comandat , adică există o comandă totală , obișnuit, astfel încât, pentru toate numerele reale , Și :
    • pentru fiecare cuplu da ai sau ( dihotomie )
    • pentru fiecare ( reflexiv )
    • de sine Și asa de ( antisimetric )
    • din Și rezultă că ( tranzitiv )
  • Axioma lui Dedekind : ordonarea este completă , adică orice subset ne-gol din care admite un maggiorante in are o extremă superioară în . Limita superioară a unui set denotă cu .

Ultima proprietate este aceea care diferențiază realele de raționale .

De exemplu, mulțimea numerelor raționale al căror pătrat este mai mic de are un majorant rațional (de exemplu ), dar limita superioară, care este minorul majoranților, nu este rațională ca rădăcina pătrată a nu este rațional.

Numerele reale sunt definite în mod unic de proprietățile anterioare.

Mai precis, având în vedere două câmpuri sortate complete Și , există un singur izomorfism din la . Această proprietate vă permite să vă gândiți la ele ca la un singur obiect matematic.

Set real extins

Setul real extins se obține prin extinderea setului de numere reale cu două elemente suplimentare, indicate cu Și :

Relația de ordine se extinde la aceste noi puncte prin setarea:

pentru fiecare real.

Unele dintre operațiunile normale de sumă și produs pot fi extinse la setul real extins, dar nu toate . În special, acest set nu mai este un câmp sau chiar un grup .

Cu toate acestea, mulțimea reală extinsă are o topologie care o extinde pe cea a numerelor reale: o vecinătate a (resp. ) este o rază dreaptă (resp. stânga). Acest set este apoi adesea folosit pentru a defini într-o limită mai uniformă a conceptului de modă și pentru a grupa secvențele care converg către un număr real sau infinit.

Proprietate

Completitudine

Principalul motiv care a condus la introducerea realelor este că acestea constituie un spațiu „fără găuri”. Mai exact, realele sunt un spațiu metric complet . Completitudinea poate fi exprimată în diferite moduri, toate echivalente cu axioma lui Dedekind descrisă mai sus.

Secvențe cauchy

În cifre reale, prin definiția completitudinii, urmează următorul fapt:

fiecare secvență Cauchy are o limită .

Ne amintim că:

  • O succesiune ( ) al numerelor reale este al lui Cauchy dacă pentru fiecare există un număr întreg astfel încât
Cu alte cuvinte, o secvență este o secvență Cauchy dacă elementele sale la un moment dat ele devin în mod arbitrar apropiate.
  • O succesiune ( ) are o limită dacă pentru fiecare există un număr întreg astfel încât
Cu alte cuvinte, o secvență are o limită dacă elementele sale la un moment dat se apropie arbitrar de .

În orice spațiu metric , fiecare secvență convergentă este o secvență Cauchy. Când este adevărat și opusul (ca și în numerele reale), se spune că spațiul este complet .

Setul raționalelor nu este complet. De exemplu, succesiunea primului cifre ale rădăcinii pătrate a , sau

1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1.41421; ...

este de la Cauchy, dar nu converge la un număr rațional.

Element de separare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: axioma lui Dedekind .

Integritatea numerelor reale poate fi exprimată după cum urmează: date două subseturi nu gol de astfel încât

există un număr real astfel încât

Axioma lui Arhimede

Pentru numere reale axioma lui Arhimede este valabilă: date două numere real pozitiv, cu , există un număr natural astfel încât

Un câmp ordonat în care se ține această axiomă se numește arhimedean . David Hilbert definește câmpul numerelor reale ca fiind „ câmpul arhimedian complet ”: cu această propoziție, Hilbert subliniază faptul că numerele reale formează cel mai mare câmp arhimedean, în sensul că orice alt câmp arhimedean este conținut în . In acest sens, este „complet” conform lui Hilbert.

Acest sens al completitudinii este cel mai apropiat de construcția numerelor reale din numere suprarealiste , deoarece construcția începe cu o clasă care conține fiecare câmp ordonat (suprarealistul) și selectează din acesta cel mai mare subcâmp arhimedean.

Cardinalitatea

Spre deosebire de numerele raționale , realele nu formează un set numărabil ; mulțimea numerelor reale este „strict mai mare” decât cea a numerelor naturale (chiar considerând că ambele sunt infinite). În mod formal, acest lucru este echivalent cu a spune că nu există o corespondență unu-la-unu între numerele reale și numerele naturale.

Acest fapt distinge numerele reale de alte seturi numerice utilizate în mod normal. De fapt, mulțimile numerelor naturale , raționale și algebrice au toate aceeași cardinalitate (adică pot fi puse în corespondență unu-la-unu), în timp ce setul de reali are o cardinalitate mai mare : există o funcție injectivă din numere raționale la reali, dar nu și invers.

Cu alte cuvinte, în umplerea tuturor găurilor lăsate de numerele raționale, trebuie adăugată o „cantitate” de numere noi pe care cardinalitatea lor le crește. Acest fapt poate fi dovedit cu procedura diagonală a lui Cantor .

Într-adevăr, întregul are cardinalitate 2 0 , la fel ca mulțimea părților dintr-un set numărabil: adică aceeași cardinalitate ca mulțimea tuturor subseturilor de numere naturale .

Deoarece numerele algebrice au, de asemenea, cardinalitate numărabilă, „aproape toate” numerele reale sunt transcendente .

Ipoteza continuumului susține inexistența unei cardinalități intermediare între cea a numerelor întregi și cea a realilor. În cadrul teoriei mulțimilor Zermelo - Fraenkel , care este cea frecvent utilizată, această ipoteză nu poate fi nici dovedită, nici infirmată, adică este independentă de axiomele sale.

Densitatea numerelor raționale în mulțimea numerelor reale

Întregul al numerelor raționale este dens în mulțimea numerelor reale.

Demonstrație

Lasa-i sa fie cu , asa de

Cazul I

Și sunt discordante:
.

Cazul II

Și ambii sunt pozitivi :

De cand avem asta și și asta deci pentru proprietatea arhimedeană a numerelor reale asa de:

Este , , deci pentru proprietatea arhimedeană a numerelor reale intr-adevar . Prin proprietățile bune de ordonare ale numerelor naturale admite minimum ie asa de:

(intr-adevar )
Caso III

e sono ambedue negativi :


come nel caso appena illustrato moltiplicando per −1 si invertono i segni della disuguaglianza e si ha che , .

Densità dei numeri irrazionali nell'insieme dei numeri reali

Definito l'insieme dei numeri irrazionali si dimostra che anch'esso è denso in .

Dimostrazione

Siano con , allora . Per la proprietà di compatibilità della relazione d'ordine fissata su rispetto all'operazione di somma algebrica se allora
e quindi per la proprietà di densità dei numeri razionali nell'insieme dei numeri reali , aggiungendo a tutti i membri della disuguaglianza si ha che e che quindi .

Metrica e topologia

I numeri reali formano uno spazio metrico : la distanza tra e è definita come il valore assoluto . Come accennato sopra, risulta essere uno spazio metrico completo .

La metrica appena definita induce su una struttura di spazio topologico . Un sottoinsieme di è aperto se e solo se è unione di intervalli aperti , dove e possono essere anche o [1] .

Lo spazio è connesso ma non compatto . Lo spazio è comunque localmente compatto , ed è una varietà differenziale di dimensione 1. Risulta essere omeomorfo a un qualsiasi intervallo aperto .

Lo spazio è contraibile , e quindi semplicemente connesso , con tutti i gruppi di omotopia banali.

Struttura lineare

I numeri reali sono il prototipo di spazio vettoriale reale di dimensione uno: la moltiplicazione per uno scalare non è altro che la moltiplicazione usuale. La struttura lineare è compatibile con la topologia sopra descritta, dunque è uno spazio vettoriale topologico .

L'insieme può anche essere pensato come uno spazio vettoriale sul campo dei numeri razionali ; in questo caso risulta avere una dimensione infinita (così come il campo dei numeri algebrici ).

Inoltre, la moltiplicazione funge anche da prodotto scalare , rendendo uno spazio di Hilbert e quindi uno spazio normato , in cui la norma non è altro che la funzione valore assoluto .

Misura

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Misura di Lebesgue .

I numeri reali sono dotati di una misura canonica, la misura di Lebesgue . La misura dell'intervallo si definisce come . Qualsiasi sottoinsieme numerabile (come ad esempio quello dei numeri razionali), ha misura nulla. Esistono anche sottoinsiemi di misura nulla non numerabili, come l' insieme di Cantor .

Ci sono in anche insiemi non misurabili, ma la loro costruzione necessita dell' assioma della scelta : un esempio è l' insieme di Vitali .

La misura di Lebesgue è la misura di Haar della struttura di come gruppo topologico , normalizzata in modo che l'intervallo [0,1] abbia misura 1.

Algebra

Ogni numero reale non negativo ha la sua radice quadrata in , i reali negativi no. Questo mostra che l'ordinamento in è determinato dalla sua struttura algebrica.

Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice. Esistono comunque polinomi senza radici reali, e questo fa di un campo non algebricamente chiuso .

La chiusura algebrica di (ovvero il più piccolo campo algebricamente chiuso che lo contiene) è il campo dei numeri complessi .

Logica

L'assioma di Dedekind si riferisce a sottoinsiemi di reali e quindi è un predicato della logica del secondo ordine . In generale, non è possibile caratterizzare i reali usando solo la logica del primo ordine .

Per il teorema di Löwenheim-Skolem (debole) , esiste un insieme denso numerabile di numeri reali che soddisfa gli stessi predicati nella logica del prim'ordine dei numeri reali.

L'insieme dei numeri iperreali è più grande di ma soddisfa gli stessi predicati della logica del prim'ordine di . I campi ordinati che soddisfano gli stessi predicati della logica del prim'ordine di sono chiamati modelli non standard di . Questo è ciò che permette all' analisi non standard di funzionare; dimostrando un predicato del prim'ordine in qualche modello non standard (che può essere più semplice che dimostrarlo in ), se ne deduce che lo stesso predicato è vero anche per .

Generalizzazioni ed estensioni

I numeri reali possono essere generalizzati ed estesi in numerose direzioni. Forse l'estensione più naturale è quella dei numeri complessi , che formano un campo algebricamente chiuso . Tuttavia, rispetto ai reali, essi perdono la struttura di ordinamento, ciò significa che i numeri complessi non sono un campo ordinato . I numeri complessi hanno innumereveli applicazioni in fisica : per esempio, in elettrotecnica e in elettronica sono alla base del metodo simbolico che semplifica enormemente lo studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale , così come sono fondamentali in meccanica quantistica , poiché questa teoria è sviluppata in uno spazio di Hilbert a dimensione infinita sul campo dei complessi e, inoltre, l'unità immaginaria compare nell' equazione di Schrödinger .

Il campo dei numeri complessi è l' algebra ottenuta dal campo dei numeri reali mediante la costruzione di Cayley-Dickson . Proseguendo con tale costruzione, si ottengono algebre successive sul campo dei numeri reali, ciascuna di dimensione via via doppia rispetto all'algebra precedente, al prezzo della progressiva perdita di alcune proprietà. Dopo i numeri complessi, si ottengono, in sequenza, i quaternioni , gli ottonioni ei sedenioni . Tutte queste algebre costituiscono la famiglia delle algebre di Cayley-Dickson , che è inclusa nell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi , il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford .

Un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri duali che, sotto alcuni aspetti, mostrano proprietà complementari rispetto a quelle dei numeri complessi e che, a differenza di questi ultimi, sono caratterizzati da un'unità immaginaria nilpotente . Inoltre, a differenza dei numeri complessi, i numeri duali non costituiscono un campo , ma costituiscono semplicemente un' algebra associativa e commutativa dotata di unità, introducendo le operazioni di somma e di prodotto. Anche i numeri duali hanno applicazioni in fisica, come un semplice esempio di superspazio , utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche , per descrivere la configurazione spaziale.

Ancora un'altra possibile estensione per i numeri reali è rappresentata dai numeri complessi iperbolici , caratterizzati da un'unità immaginaria il cui quadrato è posto uguale a 1 , invece che a -1 , come accade per gli ordinari numeri complessi. I numeri complessi iperbolici presentano diverse analogie con gli ordinari numeri complessi, tuttavia, a differenza di questi ultimi e come i numeri duali, non costituiscono un campo; essi costituiscono, infatti, solamente un anello . Anche i numeri complessi iperbolici trovano applicazioni in fisica: per esempio, nell'ambito della relatività ristretta , possono essere utilizzati per rappresentare le trasformazioni di Lorentz .

Esempi di campi ordinati che estendono i reali sono i numeri iperreali ei numeri surreali : entrambi contengono numeri infinitesimali e infinitamente grandi, ma non soddisfano l'assioma di Archimede descritto sopra.

Occasionalmente, come scritto sopra, gli elementi formali e sono aggiunti ai reali per formare la retta numerica estesa , con una naturale topologia compatta . Questo insieme non è un campo ma mantiene molte delle proprietà dei numeri reali.

Le forme hermitiane su uno spazio di Hilbert (per esempio, le matrici quadrate complesse autoaggiunte) generalizzano i reali in molti aspetti: possono essere ordinate (non totalmente), sono complete, i loro autovalori sono reali e formano un' algebra associativa reale. Gli operatori definiti positivi corrispondono ai numeri reali positivi e gli operatori normali corrispondono ai numeri complessi.

Note

  1. ^ Dato uno spazio topologico su un insieme , sia lo stesso che l'insieme vuoto sono aperti per ogni sua topologia. Poiché si pone per definizione , è un aperto dello spazio topologico reale indotto dalla metrica euclidea su .

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 6844 · LCCN ( EN ) sh85093221 · GND ( DE ) 4202628-3 · BNF ( FR ) cb11977586x (data) · NDL ( EN , JA ) 00574870
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica