Număr algebric

În matematică , un număr algebric este un număr real sau complex care este soluția unei ecuații polinomiale de formă:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0,

{\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = 0,}

{\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = 0,}

unde este $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ , fiecare $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ este un număr întreg și $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este diferit de.

Într-o definiție echivalentă, coeficienții polinomului trebuie să fie numere raționale. Este suficient să înmulțim identitatea cu un multiplu comun tuturor numitorilor coeficienților pentru a ne readuce la întregul caz.

Exemple de numere algebrice

Toate numerele raționale sunt algebrice deoarece fiecare fracție $-{\frac {a}{b}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {a} {b}}}$ $- {\ frac ab}$ este soluție de $bx+a=0$ ${\ displaystyle bx + a = 0}$ $bx + a = 0$ ; în consecință, și numerele întregi sunt algebrice: toate numerele întregi $-k$ ${\ displaystyle -k}$ ${\ displaystyle -k}$ sunt rădăcini ale ecuației $x+k=0$ ${\ displaystyle x + k = 0}$ ${\ displaystyle x + k = 0}$ .
Unele numere iraționale precum ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ( rădăcina pătrată a lui 2) e ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt [{3}] {3}} {2}}}$ ${\ frac {{\ sqrt [{3}] {3}}} {2}}$ ( rădăcina cubică a 3 împărțită la 2) sunt algebrice deoarece rădăcinile, respectiv, ale lui $x^{2}-2=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2 = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2 = 0}$ Și $8x^{3}-3=0$ ${\ displaystyle 8x ^ {3} -3 = 0}$ ${\ displaystyle 8x ^ {3} -3 = 0}$ . În general, numerele iraționale definibile prin radicali și operațiile cu numere întregi sunt algebrice, chiar dacă nu toate soluțiile ecuațiilor pot fi exprimate în acest mod (o consecință în parte a teoremei Abel-Ruffini ). Rețineți că iraționalele π și e nu sunt algebrice: sunt transcendente . În general, nu toate realele sunt algebrice (așa cum nu toate algebrele sunt reale). Se poate spune că realii algebrici, sau intersecția dintre algebrici și reali, este format din raționali și raționali algebrici.
Unitatea imaginară ( $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ) și opusul său ( $-i$ ${\ displaystyle -i}$ $-la$ ), soluții ale ecuației $x^{2}+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ $x ^ {2} + 1 = 0$ și, în general, toate numerele complexe $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ , cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ raționale, ele sunt algebrice.

Gradul unui număr algebric

Dacă un număr algebric satisface o ecuație ca cea dată mai sus cu un polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și nici o ecuație de grad inferior, atunci se spune că numărul este un număr algebric de grade $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Pentru fiecare întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ există algebre de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : de fapt, prin criteriul Eisenstein , este posibil să se construiască polinoame ireductibile cu coeficienți raționali de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ oricare ar fi: va fi polinomul minim al unor algebrice, care va fi deci de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Cardinalitatea mulțimii numerelor algebrice

Numărul algebric este un set numărabil : de fapt mulțimea de polinoame cu coeficienți întregi (sau raționali) este numărabilă și soluțiile fiecărui polinom sunt finite. Setul tuturor soluțiilor, fiind o uniune a unei familii numărabile de mulțimi finite, este la rândul său numărabil.

Numere transcendente

Același subiect în detaliu: numărul transcendent .

Dacă un număr real (sau complex) nu este un număr algebric, se numește număr transcendent . Ca o consecință a ceea ce sa spus deja pentru algebrică, cardinalitatea numerelor transcendente este egală cu cea a câmpului de pornire.

Câmpul numerelor algebrice

Operațiile de sumă, diferență, produs și coeficientul a două numere algebrice generează încă numere algebrice, prin urmare formează un câmp , care poate fi indicat prin $\mathbb {A}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$ ${\ mathbb {A}}$ . Se poate arăta că dacă admitem că coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt orice numere algebrice, atunci fiecare soluție a ecuației va fi în continuare un număr algebric. Acest lucru poate fi exprimat cu alte cuvinte spunând că câmpul numerelor algebrice este închis algebric . Într-adevăr, este cel mai mic câmp închis algebric care conține numere raționale și, prin urmare, este numit închiderea algebrică a raționalelor.

Numere definite de radicali

Toate numerele care pot fi scrise folosind un număr finit de adunare, scădere, multiplicare, divizare și extracție de rădăcină $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -th (unde $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr întreg pozitiv) sunt, de asemenea, algebrice. Cu toate acestea, inversul nu este adevărat: există numere algebrice care nu pot fi scrise în acest fel. Acestea sunt soluțiile ecuațiilor polinomiale de grad mai mare decât a patra. Acesta este un rezultat al teoriei lui Galois .

Numere întregi algebrice

Un număr algebric care satisface o ecuație polinomială de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu $a_{n}=1$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ $a_ {n} = 1$ (adică un polinom monic cu coeficienți întregi), se numește întreg algebric . Exemple de numere întregi algebrice sunt $3{\sqrt {2}}+5$ ${\ displaystyle 3 {\ sqrt {2}} + 5}$ ${\ displaystyle 3 {\ sqrt {2}} + 5}$ Și $6i-2$ ${\ displaystyle 6i-2}$ ${\ displaystyle 6i-2}$ Și $-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i}$ .

Suma, diferența și produsul numerelor întregi algebrice sunt din nou numere întregi algebrice, ceea ce implică faptul că numerele întregi algebrice formează un inel . Numele întreg algebric se datorează faptului că singurele numere raționale care aparțin acestei clase sunt numere întregi.

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp numeric , inelul său de numere întregi este subinelul numerelor întregi algebrice din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .