numar cardinal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , numerele cardinale sunt o generalizare a numerelor naturale și sunt utilizate pentru a indica magnitudinea unui set . În timp ce pentru mulțimile finite dimensiunea este indicată printr-un număr natural, adică numărul de elemente, numerele cardinale ( cardinalitatea ) clasifică, pe lângă acestea, și diferite tipuri de infinit . Pe de o parte, este posibil ca un subset corespunzător al unei mulțimi infinite să aibă aceeași cardinalitate ca mulțimea care o conține, pe de altă parte nu se spune că toate mulțimile infinite au aceeași dimensiune. Există o caracterizare formală a modului în care unele mulțimi infinite sunt mai mici decât alte mulțimi infinite. Conceptul de cardinalitate este utilizat în multe ramuri ale matematicii și este, de asemenea, studiat în teoria mulțimilor , în special pentru a descrie proprietățile marilor cardinali .

Istorie

Numerele cardinale au fost definite de Georg Cantor în timp ce el a dezvoltat teoria mulțimilor numită acum teoria naivă a mulțimilor în perioada 1874 - 1884 .

El a definit inițial conceptul de cardinalitate ca un instrument de comparare a mulțimilor finite; de exemplu, seturi Și nu sunt la fel , dar au aceeași cardinalitate , și anume trei .

Cantor a folosit conceptul de corespondență unu-la-unu pentru a arăta că două mulțimi finite au aceeași cardinalitate dacă există o corespondență unu-la-unu între elementele lor. Mai târziu a transferat conceptul către mulțimi infinite, cum ar fi mulțimea numerelor naturale . El a numit aceste numere cardinale numere cardinale transfinite și a definit seturi numărabile toate seturile într-o corespondență unu-la-unu cu .

Numărului cardinal transfinit care corespunde cardinalității lui Cantor a dat numele de ( aleph zero ; aleph este prima literă a alfabetului ebraic). De asemenea, a dovedit faptul neintuitiv pe care unele subseturi de (cele infinite) au aceeași cardinalitate ca și la fel. El a dovedit, de asemenea, că mulțimea tuturor perechilor ordonate (și, prin urmare, prin obiectivitate , de asemenea, mulțimea raționalelor ) ale numerelor naturale este numărabilă și ulterior că mulțimea tuturor numerelor algebrice este.

În acest moment, în 1874 , s-a întrebat dacă toate mulțimile infinite sunt numărabile, făcând astfel definiția cardinalității de puțin folos. În schimb, Cantor a reușit să demonstreze că există numere cardinale mai mari folosind o tehnică care a luat numele argumentului diagonal al lui Cantor . Primul număr cardinal mai mare decât descoperit de Cantor a fost indicat cu și numită cardinalitate continuă .

Cantor a dezvoltat apoi o teorie generală a numerelor cardinale, arătând că este cel mai mic număr cardinal transfinit și că pentru fiecare număr cardinal există unul mai mare ( ).

Ipoteza continuumului ulterior a sugerat că este același număr indicat de ; s-a arătat mai târziu că această ipoteză este independentă de axiomele standard ale teoriei mulțimilor: nu poate fi dovedită sau contrazisă folosind axiomele standard.

Motive pentru utilizarea numerelor cardinale

Într-o utilizare nerigurosă, este nevoie de un număr cardinal pentru a se număra. Numerele cardinale sunt identificate cu numere naturale , începând cu 0. Numerele naturale sunt exact ceea ce se numește formal numere cardinale finite. Cardinalele infinite sunt utilizate numai în matematică și logică de nivel superior.

Mai formal, se poate spune că un număr poate fi utilizat în două scopuri diferite: pentru a descrie dimensiunea unui set sau pentru a descrie poziția unui element într-o succesiune. Pentru mulțimi și secvențe finite este ușor de văzut că aceste două noțiuni coincid, deoarece pentru fiecare număr care descrie o poziție într-o succesiune, poate fi construit un set care are exact acea magnitudine. De exemplu, 3 descrie poziția ca urmare , și puteți construi întregul care are 3 elemente. Cu toate acestea, atunci când este vorba despre seturi infinite, este necesar să se facă distincția între cele două concepte, care pentru seturi infinite sunt de fapt diferite. Aspectul poziției într-o secvență duce la conceptul de număr ordinal , în timp ce aspectul mărimii unui set este generalizat de numerele cardinale descrise aici.

Intuiția din spatele definiției formale a cardinalului constă în definiția „dimensiunii” unui set fără, totuși, să se refere la tipul de elemente pe care le conține setul. Pentru seturile finite este ușor, numărați elementele unui set unul după altul. Dar pentru a compara dimensiunile seturilor mai mari, trebuie să folosim noțiuni mai subtile.

Un set este cel puțin la fel de mare ca un întreg dacă există o funcție injectivă din elementele de la elementele de , în acest fel fiecare element al este identificat cu un singur element de . De exemplu, să presupunem că avem seturi Și ; observăm că există o funcție

care este injectiv și, prin urmare, putem concluziona că are cardinalitate mai mare sau egală cu . Observați că elementul nu are corespondent în primul set, dar acest fapt este permis de faptul că funcția este doar injectivă și nu și surjectivă . Avantajul acestei definiții este că poate fi extinsă la mulțimi infinite.

Această definiție poate fi modificată pentru a face din ea o relație de echivalență.

Doua seturi Și ei au aceeași cardinalitatea dacă există un unu-la-unu funcție între Și , sau dacă există atât o funcție injectivă din la și o funcție injectivă din la . În acest caz, este scris . Numărul cardinal al este adesea definit ca ordinalul minor astfel încât . Această procedură se numește atribuirea cardinală a lui von Neumann . Pentru ca această definiție să aibă sens, trebuie arătat că fiecare mulțime are aceeași cardinalitate ca și un ordinal: această afirmație este teorema bunei ordonări . Cu toate acestea, este posibil să vorbim despre cardinalitatea relativă a mulțimilor fără a atribui în mod explicit nume obiectelor în cauză.

Exemplul clasic care este dat de obicei este cel al paradoxului hotelier infinit, numit și paradoxul Hilbert Grand Hotel . Imaginați-vă că există un hotel cu un număr infinit de camere. Hotelul este plin și ajunge un nou oaspete. Puteți găsi un loc pentru nou-venit, cerând oricui ocupă camera numărul 1 să treacă la numărul 2, cine ocupă numărul 2 să treacă la numărul 3 și așa mai departe. Astfel, camera numărul 1 este lăsată liberă. O parte a acestei funcții poate fi scrisă în mod explicit:

În acest fel vedem că întregul are aceeași cardinalitate ca întregul , având în vedere că a fost afișată o aplicație one-to-one între primul și al doilea set. Acest lucru motivează definiția unui set infinit ca un set care posedă un subset propriu cu aceeași cardinalitate: în acest caz este un subset corespunzător de .

Când luăm în considerare obiecte atât de mari, vrem, de asemenea, să vedem dacă noțiunea de „ordine de numărare” coincide cu cea de cardinal. De fapt, nu. Având în vedere exemplul anterior al hotelului infinit, se poate vedea că, dacă există un obiect „infinit plus unu”, atunci acesta trebuie să aibă aceeași cardinalitate ca mulțimea infinită din care a plecat. Putem folosi o noțiune diferită de număr, numită număr ordinal , pe baza ideii de numărare a numerelor unul după altul și vedem că cele două noțiuni sunt diferite când vine vorba de numere infinite.

Se poate arăta că cardinalitatea numerelor reale este mai mare decât cea a numerelor naturale. Acest fapt poate fi vizualizat grație argumentului diagonal al lui Cantor . Problemele clasice în studiul cardinalității (de exemplu, ipoteza continuumului ) au legătură cu posibilitatea ca un cardinal să existe între o pereche de alți cardinali infiniti. În ultima vreme, matematicienii au început să descrie proprietățile cardinalilor din ce în ce mai mari.

Deoarece cardinalitatea este un concept foarte frecvente în matematică, multe nume diferite sunt utilizate pentru ea, cum ar fi equipotence, equipollence sau equinumerosity. Prin urmare, se spune că două seturi cu aceeași cardinalitate sunt echipotente , echivalente sau echinumerabile .

Definiție formală

Definiția cardinalului este dată de obicei bazându-se pe două concepte de bază:

  • conceptul de număr ordinal ;
  • relația de ordine , definit ca injectiv

Teorema Cantor-Bernstein-Schroeder afirmă că dacă , adică există o funcție bijectivă între Și și, prin urmare, ne garantează că este de fapt o relație de ordine . Presupunând că axioma alegerii este adevărată, obținem apoi cele două seturi date Și , ține întotdeauna sau , adică relația de ordine este totală.

În acest moment definim numărul cardinal ca fiecare ordinal inițial , adică fiecare ordinal astfel încât:

Observăm că primul " „care apare este ordinea indusă pe ordinali, adică simpla incluziune.

Este ușor de verificat faptul că sunt date două ordinale inițiale , avem asta, dacă sau , nu este corect . De fapt, dacă nu ar fi cazul, am avea, de exemplu, asta (cazul opus este identic) dar , și apoi nu este un ordinal inițial.

Presupunând valabilă axioma de alegere, numim apoi cardinalitatea unui set , și denotăm cu , cardinalul (singurul) astfel încât există o mare amploare între Și .

În acest moment putem vedea relația ca o simplă relație între cardinali.

Dacă axioma de alegere nu este considerată valabilă e nu are o ordine bună, cardinalitatea lui este de obicei definit ca ansamblul tuturor seturilor la care sunt echipotente și au mai puțin rang decât un set echipotent cu poate avea (acesta este un truc datorat Danei Scott : funcționează deoarece colecția de obiecte având un rang dat este un întreg). Cea mai veche definiție a cardinalității unui set (implicit în Cantor și explicit în Frege și Principia Mathematica ) este setul tuturor seturilor care sunt echipotente pentru : nu funcționează în ZFC sau în alte sisteme similare ale teoriei axiomatice a mulțimilor, deoarece această colecție este prea mare pentru a fi un set, dar funcționează în teoria tipurilor , teoria noilor fundații și sisteme conexe.

Un set este infinit, sau echivalent cardinalul său este infinit, dacă există un subset adecvat din astfel încât . Un cardinal care nu este infinit se numește finit; se poate arăta că cardinații finiti sunt numere naturale , adică un set este terminat dacă și numai dacă pentru un număr natural .

Numere aleph

Mai întâi definim funcția de clasă Hartogs , care este definită astfel:

asupra clasei proprii universale a tuturor seturilor în clasa potrivită a tuturor ordinalelor astfel încât pentru fiecare set asociază întregul .

(amintiți-vă că cu clasele de axiomatizare GB sunt indicate cu majuscule și seturi cu litere mici).

Se arată că imaginea lui H este clasa corectă a cardinalilor, deci este acum posibil să se definească toate cardinalele infinite folosind numere ordinale prin inducție transfinită :

Cardinali succesori și cardinali limită

Vom numi orice cardinal succesor cardinal astfel încât există un ordinal pentru care iar cardinalul limitează orice cardinal cu ordinal limită.

Un succesor cardinal nu este un succesor ordinal; toți cardinalii sunt de fapt limite ordinale. Un cardinal succesor este imaginea prin funcție a unui ordinal succesor.

Dovedește că funcția este injectiv și surjectiv . Evident, nu este o funcție reală în teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel , deoarece familiile de cardinali și ordinali constituie două clase proprii; de obicei este numită funcție de clasă , în sensul că îndeplinește cerința

Injectivitatea și surjectivitatea pot fi văzute ca injectivitate și surjectivitate pe fiecare segment inițial al familiei de ordinali și pe cel al cardinalilor.

Aritmetica cardinalilor

Se pot defini operații aritmetice pe numere cardinale care generalizează operațiuni obișnuite pe numere naturale. Dacă X și Y sunt disjuncte , atunci adăugarea este dată de uniunea lui Și :

Produsul numerelor cardinale este dat de produsul cartezian :

Puterea este dată de

unde este este definit ca ansamblul tuturor funcțiilor din la . Se poate arăta că pentru cardinali finiti aceste operații coincid cu operațiile obișnuite pe numerele naturale. Mai mult, aceste operații împărtășesc multe proprietăți cu aritmetica obișnuită:

  • adunarea și multiplicarea numerelor cardinale sunt asociative și comutative ;
  • multiplicarea este distributivă peste adunare;
  • ;
  • ;
  • .

Adunarea și multiplicarea cardinalelor infinite (presupunând că axioma alegerii este valabilă) sunt simple: dacă sau atunci ele sunt infinite și ambele sunt ne-goale

Acest lucru este de acord cu rezultatul obținut de Cantor, care afirmă că, de exemplu, produsul cartezian al (de cardinalitate ) cu sine însuși este încă .

Rețineți că este cardinalitatea întregii puteri a întregului iar argumentul diagonal al lui Cantor demonstrează că pentru fiecare set . Acest lucru arată că nu există un cardinal mai mare decât toți ceilalți. Într-adevăr, clasa tuturor cardinalilor este o clasă proprie .

Există reguli suplimentare pentru potență:

  • (în special ), vezi funcția goală ;
  • de sine nu este gol;
  • ;
  • presupune că :
  • de sine Și ambele sunt finite și mai mari decât , Și este infinit atunci ;
  • de sine este infinit și este terminat și nu gol atunci .

Ipoteza continuumului

Ipoteza continuum ( ipoteza continuum, prescurtat CH) afirmă că nu există cardinali strict între Și . Cardinalul este indicat adesea cu ; este cardinalitatea continuumului (ansamblul numerelor reale ). În acest caz . Ipoteza continuumului generalizat ( GCH ) afirmă că pentru orice set infinit nu există cardinali incluși strict între Și . Ipoteza continuumului este independentă de axiomele obișnuite ale teoriei mulțimilor, adică de axiomele Zermelo - Fraenkel cu axioma de alegere ( ZFC ).

Bibliografie

  • Hahn, Hans , Infinity , Partea IX, Capitolul 2, Volumul 3 din Lumea matematicii . New York: Simon și Schuster, 1956.
  • Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: Compania D. Van Nostrand, 1960. Retipărit de Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (ediția Springer-Verlag).

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică