Numărul columbian

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un număr columbian [1] este un număr întreg pozitiv care nu poate fi exprimat ca suma unui alt întreg pozitiv și a cifrelor acestuia din urmă.

Exemplu :
21 nu este un număr columbian, bazat pe 10 , deoarece 15 + 1 + 5 = 21;
20 este un număr columbian, deoarece nu poate fi obținut din nicio sumă ca cea precedentă.

Caracteristica de a fi un număr columbian depinde de baza de numerotare , deci un număr columbian din baza 10 poate să nu fie, de exemplu, în baza binară ; în schimb, 1 este singurul număr care este întotdeauna columbian în orice bază și 0 nu este niciodată, deoarece poate fi întotdeauna obținut ca o sumă de 0 + 0.

Numere și bază columbiene

După cum sa menționat deja, un număr poate fi columbian în conformitate cu o anumită bază B și nu în raport cu altele, în orice caz este posibil să se facă următoarele generalizări:

  • Numărul 1 este întotdeauna un număr columbian, desigur, în orice bază este exprimată.
  • Pentru numerele mai mici decât o anumită bază B, toate și numai numerele impare sunt columbiene față de aceasta.
    Motivul este ușor: toate numerele mai mici decât o bază dată sunt reprezentate cu o cifră c [2] . Aplicând definiția unui număr columbian, această cifră c va face cu siguranță orice număr d = c + c = 2 c , care este, prin urmare, un număr par , necolombian. Din care rezultă că fiecare număr par până la 2 (B - 1), prin urmare, inclusiv cele mai mici decât B, nu poate fi columbian.
    Acest lucru nu exclude faptul că numerele pare mai mari decât acestea sunt, în schimb, 20, de exemplu, în baza 10 și un număr columbian chiar dacă pare, în timp ce logic toate numerele pare până la 18 = 2 (10 - 1) nu sunt.
  • Pentru toate bazele impare, toate numerele impare deasupra bazei B în sine sunt columbiene.

Prin definirea unei baze este posibilă determinarea succesiunii relative a numerelor columbiene; în baza 10, de exemplu, este:

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , 42 , 53 , 64 , 75 , 86 , 97 , 108 , 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165 , 176 , 187 , 198 , 209 , 211 , 222 , 233 , 244 , 255 , 266 , 277 , 288 , 299 , 310 , 312 , 323 , 334 , 345 , 356 , 367 , 378 , 389 , 400 , 411 , 413 , 424 , 435 , 446 , 457 , 469 , 479 , 490 , 501 , 512 , 514 , 525 ... [3]

după cum puteți vedea, există o recurență între diferitele numere: cu excepția primelor patru, de fapt, acestea sunt divizibile în secvențe mai mici de 10 numere fiecare, în interiorul cărora fiecare număr este obținut prin adăugarea 11 la precedent și, odată ce fiecare secvență este terminată, primul număr al următorului se obține adăugând 2 la ultimul din precedent.
De asemenea, în baza 10 există, de asemenea, o relație de recurență între numerele columbiene, astfel încât relația este valabilă:

cu C 1 = 9

această relație nu generează toate numerele columbiene existente în baza 10, dar fiecare dintre numerele sale este încă un număr columbian.

Aceeași relație poate fi găsită și în baza binară :

cu ( C 1 = 1, j dă numărul de cifre)

dar poate fi generalizat în felul următor, pentru orice bază B:

în care C 1 este egal cu " b - 1" pentru bazele pare și " b - 2" pentru cele impare. Existența acestor relații implică existența unei infinități de numere columbiene în fiecare bază.

Notă

  1. ^ Aceste numere au fost descrise pentru prima dată în 1949 de matematicianul indian DR Kaprekar
  2. ^ se aplică și bazelor mai mari de 10, în acest caz puteți utiliza literele sau, în caz contrar, alte simboluri
  3. ^ (EN) secvența A003052 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică