Numărul de Betti

Această intrare pe tema geometriei este doar o schiță .

Contribuiți la îmbunătățirea acestuia în conformitate cu convențiile Wikipedia . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

În topologia algebrică , $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - lea numărul Betti unui spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , definit pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ $\geqslant$ ${\ displaystyle \ geqslant}$ ${\ displaystyle \ geqslant}$ 0 și notat cu $b_{k}(X)$ ${\ displaystyle b_ {k} (X)}$ ${\ displaystyle b_ {k} (X)}$ , este un număr natural sau infinit care, în termeni intuitivi, constituie numărul de găuri sau cavități $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -dimensional prezent în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Dacă spațiul topologic în cauză este o suprafață Σ , primul număr Betti $b_{1}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ (Σ) coincide cu numărul maxim de tăieturi (circulare) care pot fi efectuate fără a împărți suprafața în două bucăți.

Termenul „numere Betti” a fost inventat de Henri Poincaré cu referire la Enrico Betti .

Definiție

The $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -alea ediție a lui Betti $b_{k}(X)$ ${\ displaystyle b_ {k} (X)}$ ${\ displaystyle b_ {k} (X)}$ de spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este definit ca rangul (adică numărul de generatori) al grupului abelian $H_{k}(X)$ ${\ displaystyle H_ {k} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {k} (X)}$ , $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -al grupul de omologie al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Proprietate

Numerele lui Betti (rațional) $b_{k}(X)$ ${\ displaystyle b_ {k} (X)}$ ${\ displaystyle b_ {k} (X)}$ nu țin cont de torsiunea grupurilor de omologie, dar sunt invarianți topologici de bază foarte utili. În termenii cei mai intuitivi, vă permit să numărați numărul de găuri în diferite dimensiuni. Pentru un cerc, primul număr Betti este 1. Pentru un covrig generic, primul număr Betti este dublul numărului de găuri.

Exemple

Secvența numerelor Betti pentru un cerc este 1, 1, 0, 0, 0, ...;
Secvența numerelor Betti pentru un toro cu doi este 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...;
Secvența numerelor Betti pentru un trei-tor este 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ...;

Într-adevăr, pentru un n- tor se poate aștepta să apară coeficienți binomiali . Acesta este cazul teoremei lui Künneth.

linkuri externe

( EN ) Numărul de Betti , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

V · D · M

Topologie

Concepte de topologie generală

Spațiu topologic · Baza · Prebază · Acoperire ·Axiome de închidere a lui Kuratowski · topologic invariant · raport de finețe · Partiție de unitate · proprietate de intersecție peste
Subseturi	Interval · Deschis · Aproximativ · Închis · Împreună închis local · închis-deschis Împreună · În interior · Închidere · Frontieră · Împreună derivat · Limită Împreună · Perfect Împreună · dens Împreună · Împreună tot mai dens
Puncte	Punct izolat · Punct de acumulare · Punct de adeziune
Funcții	Funcția continuă · homeomorphism · Funcția deschisă · Funcție închis · funcția proprie · Contracția · Retractare · Funcția Germeni · Funcția de suport compact
Succesiuni	Limită · Limita unei secvențe · Succesiune · Rețea · Convergență · Succesiunea lui Cauchy
Teoreme	Weierstrass teorema · Heine-Borel · Tichonov · tub Lema · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punct fix · Borsuk Teorema · Borsuk-Ulam teorema · Teorema lui Jordan · Riemann Mapping Teorema
Aplicații	Topologia de spațiu-timp · Teoria cuantică a câmpurilor topologice · Topologie de rețea · topologiei de control · topologie moleculara

Proprietate

Numerabilitate	Axioma numărabilității · Primul spațiu numărabil · Spațiul separabil · Spațiul secvențial
Separare	Separarea axiomelor · Spațiul T0 · Spațiul T1 · Spațiul Hausdorff · Spațiul regulat · Spațiul Tikhonov · spațiul normal
Compacitate	Compact Space · spațiu paracompact · spațiu local compact · de Lindelof Space · Subspatiul relativ compact · Diving compact
Conexiune	Spațiu conectat · Spațiu conectat simplu
Metrizabilitate	Metric spațiu · spațiu metric complet · spațiu metrizabil · spațiu ultrametric · spațiu pseudometrico · polonez spațiu · normata spațiu · spațiu total limitat
Alte	Spațiul Baire · Spațiul noetherian spațial · spațiul omogen