Numărul lui Graham

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , numărul Graham , numit în onoarea lui Ronald Graham , este considerat primul număr de magnitudine de neconceput care trebuie utilizat într-o dovadă matematică serioasă. Acest număr este extrem de mare decât alte numere mari celebre, cum ar fi googol , googolplex și chiar megistone .

La fel ca multe alte numere mari, o reprezentare completă a acestuia în notație zecimală este imposibilă din punct de vedere științific, deoarece, chiar presupunând că puteți stoca un pic într-un singur volum Planck , spațiul necesar pentru a stoca acest număr ar fi enorm mai mare decât cel al întregului univers cunoscut . Cu alte cuvinte, un calculator ipotetic de dimensiunea întregului univers și sofisticat până la limitele sale fizice actuale ar putea calcula doar o mică parte din acest număr. Cu toate acestea, în cazul numărului Graham, aceeași limită apare din nou dacă am dori să exprimăm cantitatea de cifre prezentă în număr sau cantitatea de cifre din cantitatea de cifre, dar și pentru lungimea propoziției „cantitate de cifre din cantitatea de cifre cantitatea de cifre ... "necesară. Cu alte cuvinte, dimensiunea sa este de așa natură încât nu este posibil să se dea o idee despre dimensiunea sa reală în termeni non-matematici. [1]

Numărul lui Graham a fost listat în Cartea Recordurilor Guinness din 1980 . [2]

Problema lui Graham

Exemplu de colorare a unui cub tridimensional ( ) cu un subgraf satisfăcător raportat pentru problema Graham. Trebuie remarcat faptul că, dacă, de exemplu, partea dreaptă inferioară a cubului ar fi colorată în albastru, în cubul luat în considerare nu ar exista subgrafe complete, plate și monocromatice, demonstrând empiric că soluția la problema lui Graham trebuie să aibă .

Problema matematică care a condus la definirea numărului lui Graham este un caz particular al teoriei lui Ramsey , supranumită „ problema lui Graham ”:

Luați în considerare un hipercub de mărimea. Alăturați toate vârfurile, obținând un grafic complet cu vârfuri. Apoi, colorați toate marginile cu culorile roșu sau albastru, după cum doriți. Care este cea mai mică valoare a de aceea fiecare culoare posibilă trebuie să conțină în mod necesar cel puțin un subgraf monocrom completat cu vârfuri întinse pe un avion? [3]

Soluția problemei nu este cunoscută; Numărul lui Graham este o limită superioară a intervalului în care pot fi găsite soluții la problemă, după cum au demonstrat Graham și Bruce Lee Rothschild în 1971 . Limita inferioară principală cunoscută a soluției este , după cum a demonstrat Jerome Barclay în 2008 [4] .

Reprezentarea numărului Graham

Numărul Graham poate fi reprezentat și calculat folosind notația săgeată a lui Knuth . În această notație , o singură săgeată în sus reprezintă exponențierea , săgeata dublă în sus ( ) reprezintă o tetrare , adică o putere recursivă , cele trei săgeți ( ) reprezintă o tetrare recursivă și fiecare săgeată succesivă crește adâncimea de iterație, cu o creștere numerică extrem de mare pentru fiecare săgeată adăugată. În termeni numerici:

si asa mai departe.

În această notație, numărul Graham are valoare:

În expresia de mai sus, numărul de săgeți ale fiecărui nivel după primul este definit de numărul exprimat în nivelul inferior. Ajungând la nivelul 64 și calculându-l, veți obține numărul lui Graham. Cu alte cuvinte, prin scriere pentru a indica a urmată de săgeți (cu sensul văzut mai sus), atunci numărul Graham poate fi definit ca:

Primul nivel

Pentru a realiza magnitudinea nemărginită a numărului lui Graham, se pot urma pașii necesari dezvoltării primului nivel

Începem prin a calcula tetratto :

Următorul pas este calcularea tetrării recursive a pentru sine, și anume:

Prin urmare, este vorba de calculul unui turn cu înălțimi de 7625597484987 niveluri ridicate. Deja numărul imens care rezultă din această relatare relativ simplă este imposibil de scris integral în acest univers. Pentru a calcula primul nivel cu toate acestea, este necesar un alt pas de iterație:

În ceea ce privește puterile, acest lucru este echivalent cu scrierea:

În cazul în care înălțimea fiecărui turn și, prin urmare, numărul de înălțimi până la cub, este calculată din numărul exprimat de turnul din dreapta acestuia, cu un număr de turnuri egal cu numărul enorm calculat în pasul anterior, adică atât de multe încât nu este posibil să le scrieți numărul din cauza lipsei de spațiu în universul cunoscut.

După cum este intuitiv de înțeles, adăugarea fiecărei săgeți implică o creștere uriașă atât a operațiunilor care trebuie efectuate, cât și a dimensiunii rezultatului final. Numarul calculat în acest fel, deja cu dimensiuni greu de înțeles în termeni non-matematici, totuși, reprezintă o parte practic infinitesimală a nivelului doar , deoarece reprezintă numărul de „săgeți” prezente în calculul acestui număr, care la rândul său este numărul de „săgeți” prezente în calculul celui de-al treilea nivel , și așa mai departe până la . [5]

Ultimele cifre ale numărului lui Graham

În mod ideal, este ușor să ajungeți la ultimele noutăți cifre ale numărului lui Graham. Profitând de convergența p-adică care caracterizează iperoperatorii (de la tetrare încoace), este suficient să se calculeze tetrazioni ulterioare informa (sau înlocuiți un orice număr întreg între Și la fel). Tetracțiile care trebuie efectuate, pentru a obține toate "cifrele stabile" (cele care rămân neschimbate între tetracția înălțimii iar cele de înălțime ) din numărul lui Graham, sunt exact [6] și acest număr (gigantic) este mult mai mare decât , dar mult mai puțin decât .

De exemplu, calculând (cel puțin) tetracția de bază și înălțime (tehnica de calcul ), noi obținem:

 ... 02425950695064738395657479136519351798334535362521
    43003540126026771622672160419810652263169355188780
    38814483140652526168785095552646051071172000997092
    91249544378887496062882911725063001303622934916080
    25459461494578871427832350829242102091825896753560
    43086993801689249889268099510169055919951195027887
    17830837018340236474548882222161573228010132974509
    27344594504343300901096928025352751833289884461508
    94042482650181938515625357963996189939679054966380
    03222348723967018485186439059104575627262464195387

care sunt ultimele cifre de

Notă

  1. ^ Mauro Fiorentini, Graham (ediția din) , pe bitman.name . Adus pe 21 mai 2014 .
  2. ^ Guinness Book of World Records 1980 , Guinness World Records , 1979, p. 193.
  3. ^ Michael Albanese, Problema (și numărul) lui Graham ( PDF ), su maths.adelaide.edu.au . Adus la 21 mai 2014 (arhivat din original la 26 mai 2013) .
  4. ^ Jerome Barclay, Limita inferioară îmbunătățită pe o problemă euclidiană Ramsey , arxiv.org , 6 noiembrie 2008. Accesat la 21 mai 2014 .
  5. ^ Susan Stepney, numărul lui Graham , la www-users.cs.york.ac.uk . Adus pe 21 mai 2014 .
  6. ^ Ripà, Marco (2011). Coada ciudată a seriei n ^ n ^ ... ^ n , Trento, UNI Service. Arhivat la 31 ianuarie 2018 la Internet Archive . ISBN 978-88-6178-789-6

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică