Numărul Harshad

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Un număr Harshad într-o bază dată este un întreg pozitiv divizibil cu suma cifrelor sale.

Definiția numerelor Harshad a fost dată de matematicianul indian Dattatreya Ramachandra Kaprekar . Termenul Harshad derivă din sanscrita „harṣa” care înseamnă „mare bucurie”. Aceste numere sunt uneori denumite și numere Niven , în cinstea matematicianului Ivan Morton Niven .

Definiție matematică

Dat fiind un număr întreg pozitiv care, exprimat în bază , ambele cifre (cu ) (Rețineți că trebuie să fie zero sau un număr întreg pozitiv mai mic decât ), asa de poate fi scris ca:

Dacă există un număr întreg astfel încât următoarea egalitate se menține, atunci este un număr Harshad în bază :

Numere Harshad în baza 10

Primele numere de Harshad din baza 10 cu mai mult de o cifră sunt (secvența A005349 din OEIS ):

10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 140 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , 201 , 204 .

Numere consecutive Harshad

Helen Grundman a demonstrat în 1994 că, în baza 10, nu există secvențe de numere consecutive Harshad cu o lungime egală sau mai mare de 21. Ea a identificat, de asemenea, prima secvență de 20 de numere consecutive: se află dincolo de .

Estimarea cantității de numere Harshad

Este funcția care returnează numărul de numere Harshad mai mic sau egal cu :

  • Jean-Marie De Koninck și Nicolas Doyon au dovedit asta pentru orice : .
  • De Koninck, Doyon și Kátai au dovedit atunci acest lucru : .

Ce numere pot fi sau nu numere Harshad?

  • Orice număr natural cu notație , unde este este orice cifră cuprinsă între 1 și 9 și este orice număr întreg mai mare sau egal cu 0, este un număr Harshad, deoarece suma cifrelor sale este egală cu . [1]
  • Orice număr natural cu notație este de fapt un număr Harshad , asa de este cu siguranță divizibil prin suma cifrelor sale, adică . [2]
  • Cu o procedură analogă se poate arăta că fiecare număr natural cu notație de lungime egal cu orice putere naturală de 3, este un număr Harshad, de fapt poate fi întotdeauna considerat ca .
  • Toate factorialele până la inclusiv sunt numerele Harshad. Numarul este primul care nu este. În schimb, alți factori sunt, de exemplu:
  • Orice număr natural cu notație , unde este este numărul de bază 10 format din repetări ale cifrei 1, , Și este orice număr întreg pozitiv mai mic decât și multiplu de , este un număr de Harshad. (R. D'Amico, 2019). [3]

Numere Harshad în baza b

Un număr Harshad pe bază generică este definit un număr de -Harshad (conform notației lui Grundman din 1994).

Numerele 1 , 2 , 4 și 6 sunt singurele numere care sunt numere Harshad în orice bază sunt exprimate; pentru această proprietate se numesc numere complete Harshad .

Numere consecutive b-Harshad

În notația binară, există un număr infinit de secvențe cu 4 numere ale 2-Harshad; în notația ternară, există un număr infinit de secvențe de 6 numere de 3-Harshad. Ambele dovezi se datorează lui T. Cai, care le-a publicat în 1996 .

Ce numere pot fi sau nu numere b-Harshad?

  • Orice număr mai jos decât baza este un număr de b-Harshad. De fapt, deoarece notația sa are o singură cifră, este evident divizibilă de la sine.
  • Orice număr care este o putere întreagă a (sau ) este un număr de b-Harshad, deoarece notația sa de bază Și de aici suma cifrelor lui este întotdeauna egal cu 1 care este cu siguranță un divizor al .
  • Un număr prim este un număr b-Harshad numai dacă este mai mic sau egal cu baza . Prima regulă expusă asigură validitatea acestei reguli pentru cazuri . A doua regulă expusă, pentru caz (în eventualitatea în care în sine este prim). Valabilitatea pentru celelalte cazuri poate fi dovedită absurd, de fapt dacă a existat un număr prim , mai sus decât baza că a fost o serie de -Harshad, apoi suma cifrelor sale (care este în mod necesar mai mică decât și mai mare decât unitatea) ar fi un divizor al care, însă, fiind prim admite doar ca divizori și unitate.

Numere Harshad-morfice

Un număr întreg se spune Harshad-morphic (sau Niven-morphic ) dacă, pentru o bază dată , puteți găsi o serie de -Harshad , astfel încât suma cifrelor sale să fie egală cu , Și este sfârșitul notației scris în aceeași bază .

De exemplu, 18 este Harshad-morfic în baza 10, deoarece:

  • 16218 are 18 ca sumă a cifrelor;
  • 18 este un divizor al lui 16218 (deci 16218 este un număr Harshad);
  • 18 este ultima parte din 16218.

Sandro Boscaro a arătat că în baza 10 toate numerele întregi sunt Harshad-morfice, cu excepția 11 .

Notă

  1. ^ De exemplu: 3 (n = 3, i = 0), 100 (n = 1, i = 2) sau 500.000 (n = 5, i = 5).
  2. ^ De exemplu: 777 = 7 * 111 = 7 * 3 * 37 = 21 * 37.
  3. ^ De exemplu: , unde este Și , este un număr Harshad; rezultă de fapt: .

Bibliografie

  • HG Grundmann, Secvențe de numere consecutive Niven , Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
  • Jean-Marie De Koninck și Nicolas Doyon, Despre numărul de numere Niven până la x , Volumul trimestrial Fibonacci 41.5 (noiembrie 2003), 431-440
  • Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon și I. Katái, Despre funcția de numărare pentru numerele Niven , Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
  • Sandro Boscaro , Nivenmorphic Integers , Journal of Recreational Mathematics 28 , 3 (1996 - 1997): 201–205!
  • Rosario D'Amico, O metodă pentru a genera numere Harshad , în Journal of Mathematical Economics and Finance , vol. 5, nr. 1, iunie 2019, p. 19-26.
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică