Numărul Prandtl

Numărul Prandtl (adesea prescurtat ca Pr ) este un număr adimensional care exprimă raportul dintre difuzivitatea cinematică și difuzivitatea termică pentru un fluid vâscos .

Analogul său pentru schimbul de materiale este numărul Schmidt .

Definiție matematică

Este definit ca: ^[1]

Pr={\nu  \over \alpha }={\mu c_{p} \over k}

{\ displaystyle Pr = {\ nu \ over \ alpha} = {\ mu c_ {p} \ over k}}

{\ displaystyle Pr = {\ nu \ over \ alpha} = {\ mu c_ {p} \ over k}}

unde (în raport cu fluidul examinat):

ν este difuzivitatea cinematică;
α este difuzivitatea termică;
μ este vâscozitatea dinamică (măsurată în [Pa s] = [kg / (ms)] în SI );
$c_{p}$ ${\ displaystyle c_ {p}}$ $c_ {p}$ este căldura specifică la presiune constantă (măsurată în [J / (kg K)] = [m ² / (K s ² )] în SI);
k este conductivitatea termică (măsurată în [W / (m K)] = [kg m / (K s ³ )] în SI).

Formularea definiției matematice

Cea mai generală ecuație a energiei interne pentru un corp continuu este:

\rho D_{t}h=-\nabla \cdot \mathbf {q} +\tau :\nabla u

{\ displaystyle \ rho D_ {t} h = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} + \ tau: \ nabla u}

{\ displaystyle \ rho D_ {t} h = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} + \ tau: \ nabla u}

,

în care (în raport cu corpul examinat):

$D_{t}h$ ${\ displaystyle D_ {t} h}$ ${\ displaystyle D_ {t} h}$ este derivatul material temporal al entalpiei specifice (în SI în [J / kg] = [m ² / s ³ ])
$\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ este fluxul termic (în SI în [W / (m ² )] = [Kg / (s ³ )])
τ: ∇u este disiparea (în SI în [W])
τ este tensorul de solicitare de forfecare (în SI în [Pa])
∇u este gradientul vitezei de curgere (în SI în [s] ⁻¹ )

Numărul Prandtl este obținut prin dimensionarea dimensională a ecuației energetice Navier Stokes , adică pentru un fluid vâscos . Corpul continuu urmând legea lui Stokes și legea lui Fourier :

\rho c_{p}D_{t}T=\nabla \cdot (k\nabla T)+\mu \nabla ^{2}u

{\ displaystyle \ rho c_ {p} D_ {t} T = \ nabla \ cdot (k \ nabla T) + \ mu \ nabla ^ {2} u}

{\ displaystyle \ rho c_ {p} D_ {t} T = \ nabla \ cdot (k \ nabla T) + \ mu \ nabla ^ {2} u}

,

în care (în raport cu corpul examinat):

k este conductivitatea termică (în SI în [W / m K])
μ este vâscozitatea dinamică (în SI în [Pa s])
T este temperatura (dimensional [K])

în cazul unei conductivități uniforme, acesta devine:

\rho c_{p}D_{t}T=k\nabla ^{2}T+\mu \nabla ^{2}u

{\ displaystyle \ rho c_ {p} D_ {t} T = k \ nabla ^ {2} T + \ mu \ nabla ^ {2} u}

{\ displaystyle \ rho c_ {p} D_ {t} T = k \ nabla ^ {2} T + \ mu \ nabla ^ {2} u}

,

adică:

$D_{t}T=\alpha \nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$ ${\ displaystyle D_ {t} T = \ alpha \ nabla ^ {2} T + {\ frac {\ nu} {c_ {p}}} \ nabla ^ {2} v}$ ${\ displaystyle D_ {t} T = \ alpha \ nabla ^ {2} T + {\ frac {\ nu} {c_ {p}}} \ nabla ^ {2} v}$ ,

în care (în raport cu fluidul examinat):

α este difuzivitatea termică ;
ν este difuzivitatea cinematică .

Dimensionarea acum $T'={\frac {T-T_{0}}{\nabla ^{2}T}}$ ${\ displaystyle T '= {\ frac {T-T_ {0}} {\ nabla ^ {2} T}}}$ ${\ displaystyle T '= {\ frac {T-T_ {0}} {\ nabla ^ {2} T}}}$ Și $\nabla '=L\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla '= L \ nabla}$ ${\ displaystyle \ nabla '= L \ nabla}$ se pare ca:

$(\mathbf {u} \cdot {\frac {\nabla '}{L}}+{\frac {\partial }{\partial t}})T'\nabla ^{2}T=\alpha {\frac {\nabla '^{2}}{L^{2}}}T'\nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$ ${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ cdot {\ frac {\ nabla '} {L}} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}}) T' \ nabla ^ {2} T = \ alpha {\ frac {\ nabla '^ {2}} {L ^ {2}}} T' \ nabla ^ {2} T + {\ frac {\ nu} {c_ {p}}} \ nabla ^ {2} v}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {u} \ cdot {\ frac {\ nabla '} {L}} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}}) T' \ nabla ^ {2} T = \ alpha {\ frac {\ nabla '^ {2}} {L ^ {2}}} T' \ nabla ^ {2} T + {\ frac {\ nu} {c_ {p}}} \ nabla ^ {2} v}$ ,

prin urmare:

({\frac {L}{\alpha }}\mathbf {u} \cdot \nabla '+{\frac {\partial }{\partial ({\frac {\alpha }{L^{2}}}t)}})T'=\nabla '^{2}T'+{\frac {\nu }{\alpha }}{\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\Phi

{\ displaystyle ({\ frac {L} {\ alpha}} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla '+ {\ frac {\ partial} {\ partial ({\ frac {\ alpha} {L ^ {2} }} t)}}) T '= \ nabla' ^ {2} T '+ {\ frac {\ nu} {\ alpha}} {\ frac {L ^ {2}} {c_ {p} \ nabla ^ {2} T}} \ Phi}

{\ displaystyle ({\ frac {L} {\ alpha}} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla '+ {\ frac {\ partial} {\ partial ({\ frac {\ alpha} {L ^ {2} }} t)}}) T '= \ nabla' ^ {2} T '+ {\ frac {\ nu} {\ alpha}} {\ frac {L ^ {2}} {c_ {p} \ nabla ^ {2} T}} \ Phi}

,

Acum $(\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} )'={\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\nabla ^{2}u$ ${\ displaystyle (\ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u}) '= {\ frac {L ^ {2}} {c_ {p} \ nabla ^ {2} T}} \ nabla ^ {2} tu}$ ${\ displaystyle (\ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {u}) '= {\ frac {L ^ {2}} {c_ {p} \ nabla ^ {2} T}} \ nabla ^ {2} tu}$ este adimensional căutat:

atunci ecuația energetică Navier Stokes devine:

D_{t}'T'=\nabla '^{2}T'+Pr\nabla '^{2}u'

{\ displaystyle D_ {t} 'T' = \ nabla '^ {2} T' + Pr \ nabla '^ {2} u'}

{\ displaystyle D_ {t} 'T' = \ nabla '^ {2} T' + Pr \ nabla '^ {2} u'}

Interpretarea fizică

Valorile tipice ale numărului Prandtl sunt:

aproximativ 0,7 pentru aer și majoritatea gazelor ;
între 100 și 40 000 în cazul uleiurilor de motor;
aproximativ 0,015 pentru mercur .
aproximativ 7 pentru apă (a 20 ° C ).

Un fluid ideal , pentru care se mențin ecuațiile lui Euler , are viscozitate zero și conductivitate termică ^{[ fără sursă ]} , deci numărul Prandtl nu este definit pentru această clasă de fluide.

Aplicații

Notă

^(EN) scienceworld.wolfram.com, Număr Prandtl

Elemente conexe

Portalul aviației		Portal de inginerie		Portal mecanic
Portal de metrologie			Portalul Termodinamicii

[1] (EN) scienceworld.wolfram.com, Număr Prandtl

[1]