Numărul lui Smith

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Un număr Smith este un număr întreg pozitiv care, dacă este scris în baza considerată , are suma cifrelor sale egală cu suma cifrelor din factorizarea relevantă (în cazul numerelor care nu sunt fără pătrate , descompunerea se scrie fără exponenți, cu fiecare factor repetat de câte ori este necesar). Numerele prime sunt excluse din setul numerelor Smith, deoarece este evident că toate îndeplinesc în mod trivial condiția cerută.

Au fost numiți astfel pentru prima dată în 1982 de Albert Wilansky , după ce a descoperit că cumnatul său H. Smith avea un număr de telefon 493-7775 (tocmai un număr de Smith).

În 1987, WL McDaniel a generalizat conceptul de numere al lui Smith și a introdus numerele k- Smith și a dovedit că acestea sunt infinite. Cu k = 1 reducem la numere Smith, apoi numerele Smith sunt de asemenea infinite. [1] Există unele numere Smith care posedă, de asemenea, caracteristici ale altor tipuri de numere, cum ar fi numerele fratelui Smith, adică cele succesive, precum 728 și 729, Fibonacci Smith sau numerele Smith palindromice, cum ar fi numărul 1 234 554 321 . [2]

Exemple

  • 202 deoarece 2 + 0 + 2 = 4 și factorizarea sa este 2 × 101 și 2 + 1 + 0 + 1 = 4;
  • 729, deoarece 7 + 2 + 9 = 18 și, deoarece descompunerea sa este 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3, suma factorilor săi este 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18.

În baza 10, numerele prime ale lui Smith sunt:

4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121 , 166 , 202 , 265 , 274 , 319 , 346 , 355 , 378 , 382 , 391 , 438 , 454 , 483 , 517 , 526 , 535 , 562 , 576 , 588 , 627 , 634 , 636 , 645 , ... [3]

și există 29 928 de numere Smith sub 1 000 000 .

Metode pentru generarea numerelor Smith

În 1983 a apărut o metodă de generare a acestora în revista Mathematics .

Dacă p este un număr prim alcătuit din toate 1 cifre (numit repunit ) atunci se obține un număr Smith cu 3304 × p . Mai târziu s-a descoperit că pe lângă 3304 putem folosi și 1540 × p, de fapt 1540 x 11 = 16 940 este un număr Smith:

1 + 6 + 9 + 4 + 0 = 2 + 2 + 5 + 7 + (1 + 1) + (1 + 1) = 20

Dar 1540 și 3304 nu sunt singurele numere pe care le puteți folosi, există multe altele, de exemplu: 1720, 2170, 2440, 5590, 6040, 7930, 8344, 8470, 8920, 23 590 , 24 490 , 25 228 , 29 080 , 31 528 , 31 780 , 33 544 , 34 390 , 35 380 .

În 1984, Patrick Costello a generat numere Smith cu formula p × q × 10 M unde p este un prim mic și q este un prim Mersenne . Numărul M trebuie ales astfel:

  1. Se alege un prim Mersenne q
  2. Alegem un număr prim mic p și parcurgem următorii pași:
    1. calculăm ps = suma cifrelor lui q + suma cifrelor lui p ;
    2. se calculează produsul p × q ;
    3. calculați ds = suma cifrelor lui p × q ;
  3. acum dacă
    • ds < ps , reveniți la pasul 2 și alegeți un p nou;
    • dacă ds = ps , atunci p × q este un număr Smith;
    • dacă ds > ps , atunci se calculează ( ds - ps );
    • dacă ( ds - ps ) este divizibil cu 7 atunci M = ( ds - ps ) / 7 și p × q × 10 M este un număr Smith
    • în caz contrar, reveniți la pasul 2 și alegeți o pagină nouă.

De exemplu, dacă alegem numărul prim al lui Mersenne q = 2 17 -1 = 131 071 și numărul prim p = 5011 avem că:

produsul lui p și q este egal cu

suma cifrelor lui p × q este

Acum, deoarece ds este mai mare decât ps , putem calcula diferența lor:

și, întrucât 35 este divizibil cu 7, coeficientul M va fi egal cu:

acum putem calcula numărul Smith:

Costello a observat 65 de numere Smith în acest fel, inclusiv unul record: 191 × (2 216091 -1) × 10 266 cu 65 319 zecimale.

WL McDaniel a generat numere Smith de forma t × 9 × Rn × 10 M unde t se află în mulțimea {2, 3, 4, 5, 7, 8, 15}, cu Rn repunit prime.

Notă

  1. ^ Wayne McDaniel, Existența a infinit de multe numere k-Smith , în Fibonacci Quarterly , vol. 25, nr. 1, 1987, pp. 76-80.
  2. ^ Clifford Pickover, Minunile numerelor .
  3. ^ (EN) secvența A006753 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică