Numărul lui Womersley

Numărul Womersley este un număr adimensional utilizat în biomecanica fluidelor . Este folosit pentru a studia frecvența fluxurilor pulsatorii .

Este numit în onoarea matematicianului britanic John R. Womersley (1907–1958) pentru munca sa asupra fluxului de sânge în artere . ^[1] Numărul Womersley ^[2]

Aplicații

Numărul Womersley este utilizat pentru a menține similitudinea dinamică atunci când se efectuează un experiment la scară. Un exemplu în acest sens este scalarea sistemului vascular pentru studii experimentale.

De asemenea, este utilizat pentru determinarea grosimii stratului limită pentru a verifica dacă facturile primite pot fi ignorate. ^{[ neclar ]}

Definiție matematică

Numărul Womersley, de obicei notat cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , este definit de relație

\alpha ^{2}={\frac {\text{forza inerziale transitoria}}{\text{forza viscosa}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UR^{-2}}}={\frac {\omega R^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega R^{2}}{\nu }}\,,

{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = {\ frac {\ text {forță inerțială tranzitorie}} {\ text {forță vâscoasă}}} = {\ frac {\ rho \ omega U} {\ mu UR ^ {- 2 }}} = {\ frac {\ omega R ^ {2}} {\ mu \ rho ^ {- 1}}} = {\ frac {\ omega R ^ {2}} {\ nu}} \ ,,}

{\ displaystyle \ alpha ^ {2} = {\ frac {\ text {forță inerțială tranzitorie}} {\ text {forță vâscoasă}}} = {\ frac {\ rho \ omega U} {\ mu UR ^ {- 2 }}} = {\ frac {\ omega R ^ {2}} {\ mu \ rho ^ {- 1}}} = {\ frac {\ omega R ^ {2}} {\ nu}} \ ,,}

unde: ^[3]

$R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este o scară de lungime adecvată (de exemplu, raza unei țevi);
$\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este frecvența unghiulară a oscilațiilor;
$\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este vâscozitatea cinematică a fluidului;
$\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea fluidului;
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este vâscozitatea dinamică a fluidului.

Numărul Womersley este scris în mod normal sub forma slăbită:

\alpha =R\left({\frac {\omega }{\nu }}\right)^{\frac {1}{2}}\ =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.

{\ displaystyle \ alpha = R \ left ({\ frac {\ omega} {\ nu}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ = R \ left ({\ frac {\ omega \ rho } {\ mu}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \,.}

{\ displaystyle \ alpha = R \ left ({\ frac {\ omega} {\ nu}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ = R \ left ({\ frac {\ omega \ rho } {\ mu}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \,.}

Corelația cu alte numere dimensionale

Poate fi, de asemenea, scris în termenii numerelor adimensionale Reynolds ( Re ) și Strouhal ( Sr ):

\alpha =\left(2\pi \cdot Re\cdot Sr\right)^{1/2}\,.

{\ displaystyle \ alpha = \ left (2 \ pi \ cdot Re \ cdot Sr \ right) ^ {1/2} \,.}

{\ displaystyle \ alpha = \ left (2 \ pi \ cdot Re \ cdot Sr \ right) ^ {1/2} \,.}

Interpretarea fizică

Numărul Womersley apare în soluția ecuațiilor liniarizate Navier-Stokes pentru fluxul oscilator (care se presupune a fi laminar și incompresibil) într-un tub. Exprimă relația dintre forța de inerție tranzitorie sau oscilatorie și forța de forfecare. Cand $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este mic (1 sau mai puțin), înseamnă că frecvența pulsațiilor este suficient de scăzută, deci în timpul fiecărui ciclu se dezvoltă un profil de viteză parabolică, iar debitul va fi aproape în fază cu gradientul de presiune și va fi bine aproximat de legea lui Poiseuille , folosind gradientul instantaneu de presiune. Cand $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este mare (10 sau mai mult), înseamnă că frecvența pulsului este suficient de mare pentru ca profilul de viteză să fie relativ plat sau de tip plug, iar debitul mediu reduce gradientul de presiune cu aproximativ 90 de grade. Împreună cu numărul Reynolds, numărul Womersley guvernează similutidina dinamică. ^[4]

Grosimea stratului limită $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ asociată cu accelerația tranzitorie este legată de numărul Womersley. Este egal cu inversul numărului Womersley. Numărul Womersley este, de asemenea, egal cu rădăcina pătrată a numărului Stokes . ^[5]

\delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {St}}}\right),

{\ displaystyle \ delta = \ left (L / \ alpha \ right) = \ left ({\ frac {L} {\ sqrt {St}}} \ right),}

{\ displaystyle \ delta = \ left (L / \ alpha \ right) = \ left ({\ frac {L} {\ sqrt {St}}} \ right),}

unde L este o lungime caracteristică.

Aplicații

Biomecanica fluidelor

Într-o rețea de distribuție a fluxului care avansează de la un tub mare la multe tuburi mici (de exemplu, o rețea de vase de sânge), frecvența, densitatea și vâscozitatea dinamică sunt (de obicei) aceleași în întreaga rețea, dar razele tuburilor se schimbă. Prin urmare, numărul Womersley este mare în vasele mari și mic în vasele mici. Pe măsură ce diametrul vaselor scade cu fiecare subdiviziune, numărul Womersley devine în curând oarecum mic. Numărul Womersley tinde la 1 la nivelul arterelor terminale. În arteriole, capilare și venule, numărul Womersley este mai mic decât unul. În aceste regiuni forța de inerție devine mai puțin importantă și fluxul este determinat de echilibrul dintre tensiunile vâscoase și gradientul de presiune. Această situație se numește microcirculație . ^[5]

Unele valori tipice ale numărului Womersley în sistemul cardiovascular al unui câine la o bătăi de inimă de 2Hz sunt:

Aorta ascendentă - 13.2
Aorta descendentă - 11.5
Aorta abdominală - 8
Artera femurală - 3.5
Artera carotidă - 4.4
Arteriole -. 04
Capilare - 0,005
Venula - 0,035
Vena Cava inferioară - 8,8
Artera pulmonară principală - 15 ^[5]

S-a susținut că legile universale de ajustare a scalei la fenomenele biologice (relațiile cu valoarea legilor care descriu variația cantităților, cum ar fi rata metabolică, durata de viață, lungimea etc., deoarece masa corporală variază) sunt o consecință a au nevoie de minimizarea energiei, de natura fractală a rețelelor vasculare și de intersecția fluxului între numărul mare și scăzut al Womersley pe măsură ce se avansează de la nave mari la nave mici. ^[6]

Notă

^ Womersley, JR, Metodă pentru calculul vitezei, vitezei de curgere și rezistenței vâscoase în artere atunci când gradientul de presiune este cunoscut ( PDF ), în J Physiol. , vol. 127, nr. 3, martie 1955, pp. 553-563, PMC 1365740 , PMID 14368548 . Adus la 20 mai 2013 (arhivat din original la 27 septembrie 2007) .
^ Longo S., Analiza dimensională și modelarea fizică - Principii și aplicații în științele ingineriei , Milano, Springer, 2011, p. 138 și p. 361, ISBN 978-88-470-1871-6 .
^ Fung, YC, Biomechanics - Motion, flow, stress and growth , New York (SUA), Springer-Verlag, 1990, p. 569.
^ Nichols, WW, O'Rourke, MF, McDonald's Blood Flow in Arteries , ediția a 5-a, Londra (Anglia), Hodder-Arnold, 2005, ISBN 0-340-80941-8 .
^ ^a ^b ^c Fung, YC, Biomechanics Circulation , Springer Verlag, 1996, p. 571.
^ West GB, Brown JH, Enquist BJ, Un model general pentru originea legilor de scalare alometrice în biologie , în Știință , vol. 276, nr. 5309, 4 aprilie 1997, pp. 122-6, DOI : 10.1126 / science.276.5309.122 , PMID 9082983 .

Elemente conexe

Numărul lui Reynolds

Portalul de fizică

Portal de inginerie

Portal de metrologie

[1] Womersley, JR, Metodă pentru calculul vitezei, vitezei de curgere și rezistenței vâscoase în artere atunci când gradientul de presiune este cunoscut ( PDF ), în J Physiol. , vol. 127, nr. 3, martie 1955, pp. 553-563, PMC 1365740 , PMID 14368548 . Adus la 20 mai 2013 (arhivat din original la 27 septembrie 2007) .

[2] Longo S., Analiza dimensională și modelarea fizică - Principii și aplicații în științele ingineriei , Milano, Springer, 2011, p. 138 și p. 361, ISBN 978-88-470-1871-6 .

[3] Fung, YC, Biomechanics - Motion, flow, stress and growth , New York (SUA), Springer-Verlag, 1990, p. 569.

[4] Nichols, WW, O'Rourke, MF, McDonald's Blood Flow in Arteries , ediția a 5-a, Londra (Anglia), Hodder-Arnold, 2005, ISBN 0-340-80941-8 .

[BiomechanicsCirculation-5] Fung, YC, Biomechanics Circulation , Springer Verlag, 1996, p. 571.

[6] West GB, Brown JH, Enquist BJ, Un model general pentru originea legilor de scalare alometrice în biologie , în Știință , vol. 276, nr. 5309, 4 aprilie 1997, pp. 122-6, DOI : 10.1126 / science.276.5309.122 , PMID 9082983 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]