Numar natural

Diagrama Venn a numerelor

În matematică , numerele naturale sunt acele numere utilizate pentru numărare și ordonare. În limbajul comun, „ numerele cardinale ” sunt cele utilizate pentru numărare, iar „ numerele ordinale ” sunt cele utilizate pentru sortare.

Numerele naturale corespund întregului { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}. Acestea sunt făcute să corespundă biunivoc setului de numere întregi non-negative { 0 , +1 , +2 , +3 , +4 , ...}. Uneori sunt folosite și pentru a indica setul de numere întregi pozitive { 1 , 2 , 3 , 4 , ...}.

fundal

Papirusul Rhind

Numerele naturale sunt cele mai „intuitive” numere care există. Operația de a distinge între nici unul, unul și mulți se întoarce la omul primitiv. Dar înțelegerea că, de exemplu, o oaie și un copac au în comun faptul că sunt „una”, adică noțiunea abstractă de număr, a fost un proces gradual (probabil nu legat de o singură cultură sau populație) care din diverse studii se urmărește în jur de 30.000 î.Hr. De-a lungul timpului, au fost introduse diferite simboluri și cuvinte pentru a indica numere naturale și, în mai multe cazuri, și unele tipuri de fracții . Există simboluri care datează din vechii egipteni care indică fracții unitare , adică cu un numărător egal cu una. ^{[1] Ele} pot fi găsite, de exemplu, în papirusul Rhind datând din jurul anului 2000 î.Hr. Cu toate acestea, numărul zero a trebuit să aștepte mai mult pentru a fi considerat un număr ca celelalte.

Unele numere naturale

Originile ideii numărului natural abstract se regăsesc în babilonieni în 2000 î.Hr , după cum reiese din tableta Plimpton 322 , „filială a matematicii” pentru studenții vremii, care conține probleme matematice care, pe baza unei analize atente, par a fi ceva mai mult decât simple exerciții cu scopuri utilitare. Depășirea numerelor naturale în favoarea numerelor raționale pozitive este atribuită pitagoreicilor care par să fi fost primii care au considerat fracția nu mai mult ca o singură entitate, ci ca un raport între numerele naturale.

Rezultate importante referitoare la numerele naturale sunt conținute în Elementele lui Euclid , ulterior Diofantul din Alexandria a pus problema găsirii soluțiilor întregi pozitive ale ecuațiilor date.

Introducerea numerelor întregi relative, în special a numerelor negative, a trebuit să aștepte mai departe. Rezultatele și ideile fundamentale se datorează lui Pierre de Fermat . Studiul numerelor întregi, cunoscut astăzi drept teoria numerelor , a fost reluat în secolul al XIX-lea de matematicieni de la nivelul lui Carl Friedrich Gauss și Carl Jacobi și de atunci a fost considerat un capitol primar al matematicii (a se vedea, de exemplu, ultima teoremă a lui Fermat , Ipoteza Riemann sau conjectura Goldbach ).

Notări

În matematică se folosește simbolul $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ (sau N ) pentru a indica setul de numere naturale. În majoritatea literaturii matematice contemporane, în intrările prezentate aici și în standardul ISO 31-11 privind simbolurile matematice, se presupune că setul numerelor naturale conține și zero; pentru a evita orice ambiguitate, se folosește adesea dicția numerelor întregi care nu sunt negative . Pentru a evidenția faptul că setul nu îl conține, folosim scrierea $\mathbb {N} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}}$ , asa de

\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\ldots \}.

{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*} = \ {1,2,3, \ ldots \}.}

{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*} = \ {1,2,3, \ ldots \}.}

Pentru a indica setul de naturale fără zero, putem folosi și scrierile N ^* , N ⁺ , N ₊ , ℕ ⁺ , ℕ ₊ , $\mathbb {N} _{>0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {> 0}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {> 0}}$ . Uneori cu notația $\mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ în schimb indicăm setul de naturale cu zero inclus.

În teoria mulțimilor , mulțimea numerelor naturale ca mulțime bine ordonată este notată cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , și reprezintă cel mai mic număr ordinal infinit. Când se utilizează această notație, este inclus zero.

Definiții formale

În ciuda intuitivității sale, numărul natural nu este, în matematică , un concept primitiv: este de fapt posibil să-l definim bazându-ne doar pe teoria mulțimilor . Definiția este utilă, deoarece ne permite, de asemenea, să extindem conceptul de număr la obiecte mai generale: numere transfinite .

Din punct de vedere istoric, definiția matematică precisă a numerelor naturale a întâmpinat unele dificultăți. Axiomele lui Peano definesc condițiile pe care trebuie să le îndeplinească orice definiție matematică precisă. Unele construcții arată că din interiorul unei teorii de mulțimi este posibil să se construiască un model al axiomelor lui Peano.

Axiomele lui Peano

Același subiect în detaliu: axiomele lui Peano .

Există un număr natural, 0.
Fiecare număr natural a are un număr natural succesor, notat ca S ( a ).
Nu există un număr natural al cărui succesor este 0.
Numerele naturale distincte au și succesori distincti: dacă a ≠ b , atunci S ( a ) ≠ S ( b ).
Dacă o proprietate P este deținută de 0 și este deținută și de succesorul oricărui număr natural care posedă proprietatea P, atunci proprietatea P este deținută de toate numerele naturale (acest postulat este, de asemenea, cunoscut sub numele de principiul inducției ).

Trebuie remarcat faptul că „0”, în definiția descrisă mai sus, nu trebuie neapărat să corespundă cu ceea ce este considerat în mod normal numărul zero. „0” înseamnă pur și simplu un obiect care, atunci când este combinat cu o funcție ulterioară adecvată, satisface axiomele lui Peano. Există multe sisteme care satisfac aceste axiome, inclusiv numerele naturale (indiferent dacă pornesc de la zero sau de la unul).

Construcție bazată pe teoria mulțimilor

Un număr natural poate fi definit ca o clasă de mulțimi având cardinalitate finită egală. Practic, pornim de la proprietatea (intuitivă) că o corespondență unu-la-unu poate fi stabilită între oricare două mulțimi având același număr de elemente și reformulată ca definiție: toate mulțimile între care o corespondență unu-la-unu se poate să fie stabilite sunt reunite într-o clasă, ceea ce înseamnă că le dai o „etichetă”, acestei etichete i se dă numele unui număr natural. Clasa corespunzătoare setului gol este indicată de 0 .

Construcția standard

Următoarea este o construcție standard în teoria mulțimilor pentru definirea numerelor naturale:

Să setăm 0 = {}, setul gol (∅)

și definim S ( a ) = a U { a } pentru fiecare a .

Mulțimea numerelor naturale este apoi definită ca intersecția tuturor seturilor care conțin 0 care sunt închise în raport cu funcția de secvență S. Existența unui astfel de set este stabilită de axioma infinitului . Dacă un astfel de set există, acesta satisface axiomele lui Peano . ^[2]

Fiecare număr natural este apoi egal cu setul de numere naturale mai mici decât acesta, de exemplu:

0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {0,1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}

si asa mai departe. Când ne referim la un număr natural ca un set și mai corect ca cardinalitatea unui set, acesta este sensul. Cu această definiție, există exact n elemente în mulțimea n și n ≤ m dacă n este un subset al lui m și are n < m dacă și numai dacă n este un element al lui m .

Mai mult decât atât, cu această definiție, diferitele interpretări posibile ale notațiilor ca R ⁿ ( n- tupluri și hărți ale lui n în R ) coincid.

Alte construcții

Deși construcția standard este utilă, nu este singura construcție posibilă. De exemplu:

definim 0 = {}

și S ( a ) = { a },

asa de:

0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {1} = {{{}}}, ...

Sau puteți defini 0 = {{}} și S ( a ) = a U { a }

producând

0 = {{}}
1 = {{}, 0} = {{}, {{}}}
2 = {{}, 0, 1} etc.

Probabil că vechea definiție bazată pe teoria mulțimilor este atribuită în mod obișnuit lui Frege și Russell sub care fiecare număr natural n este definit ca mulțimea tuturor mulțimilor cu n elemente. Acest lucru poate părea circular, dar poate fi strict expus. Prin definirea 0 ca $\{\{\{\}\}\}$ ${\ displaystyle \ {\ {\ {\} \} \}}$ $\ {\ {\ {\} \} \}$ (setul fiecărui set cu 0 elemente) și definitorii $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ (pentru fiecare set A ) ca $\{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}$ ${\ displaystyle \ {x \ cup \ {y \} \ mid x \ în A \ wedge y \ not \ in x \}}$ $\ {x \ cup \ {y \} \ mid x \ în A \ wedge y \ not \ in x \}$ . Atunci 0 va fi setul tuturor seturilor cu 0 elemente, $1=\sigma (0)$ ${\ displaystyle 1 = \ sigma (0)}$ $1 = \ sigma (0)$ va fi setul tuturor seturilor cu 1 element, $2=\sigma (1)$ ${\ displaystyle 2 = \ sigma (1)}$ $2 = \ sigma (1)$ va fi setul tuturor seturilor cu 2 elemente și așa mai departe. Setul tuturor numerelor naturale poate fi definit ca intersecția tuturor seturilor care conțin 0 ca element și închis sub $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ .

Clasele de echivalență ale mulțimilor infinite nu corespund niciunui număr natural; cu toate acestea pot fi identificate cu diferite ordine de infinit ; pe aceste entități este posibil să se extindă operațiile obișnuite de adunare și multiplicare, dar acestea nu păstrează proprietățile algebrice pe care le au asupra numerelor naturale. Studiul obiectelor corespunzătoare seturilor de cardinalitate infinită și a proprietăților lor algebrice este subiectul teoriei cardinalilor transfiniti .

Operațiuni

Operația de adunare este definită după cum urmează: date două clase de mulțimi (deci două numere) a și b, dacă A și B sunt mulțimi disjuncte aparținând claselor a și respectiv b, suma a + b este clasa de echivalență a mulțimii AU B. Este ușor de văzut că definiția este bine pusă, adică, luate două seturi diferite disjuncte A 'și B' în a și b, A 'UB' este în aceeași clasă de echivalență ca AUB, adică între A 'UB' și AUB este posibil să se stabilească o corespondență unu-la-unu.

În mod echivalent putem defini suma în N recursiv prin setarea a + 0 = a și a + S ( b ) = S ( a + b ) pentru fiecare a , b .

Dacă definim S (0): = 1, atunci S ( b ) = S ( b + 0) = b + S (0) = b + 1; adică succesorul lui b este pur și simplu b + 1.

( N , +) este un monoid comutativ cu elementul neutru 0, așa-numitul monoid liber cu un generator.

În mod similar, odată ce adunarea a fost definită, multiplicarea × poate fi definită cu a × 0 = 0 și a × S ( b ) = ( a × b ) + a .

Acest lucru face ca ( N , ×) să fie un monoid comutativ cu elementul de identitate 1; un grup generator pentru acest monoid este ansamblul numerelor prime . Adunarea și multiplicarea sunt compatibile, adică sunt distributive :

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ). Aceste proprietăți de adunare și multiplicare fac ca numerele naturale să fie un exemplu de jumătate de inel unitar comutativ . Semicercurile sunt o generalizare algebrică a numerelor naturale în care multiplicarea nu este neapărat comutativă.

Dacă interpretăm numerele naturale fără zero și începem de la 1, definițiile lui + și × sunt aceleași, în afară de a + 1 = S ( a ) și a × 1 = a .

Scriem adesea ab pentru a indica produsul a × b și ordinea operațiilor .

Mai mult, putem defini o relație de ordine totală pe numerele naturale scriind a ≤ b s dacă există un alt număr natural c cu a + c = b . Această ordine este compatibilă cu operațiile aritmetice în sensul următor:

dacă a , b și c sunt numere naturale și a ≤ b , atunci a + c ≤ b + c și ac ≤ bc . O proprietate importantă a numerelor naturale este că acestea sunt bine ordonate: fiecare set ne-gol de numere naturale are un ultim element.

În timp ce, în general, nu este posibil să împărțim un număr natural cu altul și să obținem un număr natural ca rezultat, procedura de împărțire cu rest este posibilă: pentru fiecare pereche de numere naturale a și b cu b ≠ 0 putem găsi două numere naturale q și r astfel încât

a = bq + r și r < b

Numărul q se numește coeficient și r se numește restul împărțirii a la b . Numerele q și r sunt determinate în mod unic de a și b .

Teorii

Mulțimea numerelor naturale poate fi caracterizată în mod unic (cu excepția izomorfismelor) prin intermediul axiomelor lui Peano (în logica ordinului doi ).

Proprietățile numerelor naturale legate de divizibilitate , distribuția numerelor prime și problemele conexe sunt studiate în ceea ce se numește teoria numerelor . Problemele referitoare la secvențe de numere finite, alte configurații numerice și probleme de enumerare, cum ar fi teoria lui Ramsey , sunt studiate în contextul teoriei combinatorii .

Generalizări

Două generalizări importante ale numerelor naturale sunt: numerele ordinale pentru a descrie poziția unui element într-o succesiune ordonată și numerele cardinale pentru a specifica magnitudinea unui set.

Notă

^ Carl B. Boyer, Istoria matematicii , Milano, Oscar Mondadori, 1980, ISBN 978-88-04-33431-6 .
^ Luca Barbieri Viale, Ce este un număr? , Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043 .

Elemente conexe

Număr
Număr întreg
Numar rational
Numar real
Set numărabil
Cardinalitatea
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , ... (articole referitoare la Categorie: Numere )

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse naturale
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu număr natural

linkuri externe

( EN ) Număr natural , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 60214 · LCCN (EN) sh85093214 · GND (DE) 4041357-3 · BNF (FR) cb120988295 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Carl B. Boyer, Istoria matematicii , Milano, Oscar Mondadori, 1980, ISBN 978-88-04-33431-6 .

[2] Luca Barbieri Viale, Ce este un număr? , Milano, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 9788860306043 .

[1] Ele

[2]

V · D · M Teoria mulțimilor
Seturi numerice	Natural · Întreg · Rațional · Real · Complex
Teoria naivă a mulțimilor (sau a lui Cantor )	Set gol · univers Împreună · Subset · Putere împreună · complement Împreună · Unire · Intersecție · Cuplu comandat · Produs cartezian · Paradoxul lui Russell · Paradox Burali-Forti
Teoria axiomatică a mulțimilor	Axioma · Axiome Peano · Zermelo teoria mulțimilor · teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel · axioma Choice · Zorn Lema · teoria mulțimilor Von Neumann-Bernays-Gödel

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · Convoluție Dirichlet · Funcția Euler Euler · Funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · Funcția Liouville · Funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor