Număr ordinal (teoria mulțimilor)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , numerele ordinale sunt o extensie a numerelor naturale care ia în considerare și secvențe infinite , introduse de Georg Cantor în 1897 .

Introducere

Un număr natural poate fi utilizat în două scopuri: pentru a descrie amploarea unui set sau pentru a descrie poziția unui element într-o succesiune. În timp ce în lumea finită aceste două concepte coincid, atunci când avem de-a face cu seturi infinite este necesar să le distingem. Noțiunea de mărime duce la numere cardinale , descoperite și de Cantor, în timp ce noțiunea de poziție este generalizată de numerele ordinale descrise aici.

În teoria mulțimilor , numerele ordinale sunt de obicei construite ca mulțimi, astfel încât fiecare ordinal este mulțimea tuturor numerelor ordinale mai mici decât acesta:

0 = ∅ ( set gol )
1 = {0} = {∅}
2 = {0,1} = {∅, {∅}}
3 = {0,1,2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {0,1,2,3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

etc.

Privit în acest fel, fiecare număr ordinal este un set bine ordonat : mulțimea 4, de exemplu, conține elementele 0, 1, 2, 3 care sunt în mod evident ordonate în acest fel: 0 <1 <2 <3. ordinalul este mai mic decât altul dacă și numai dacă este un element al celuilalt.

Nu vrem să distingem două mulțimi bine ordonate dacă diferă doar prin notația utilizată pentru elementele lor. Mai formal: dacă putem cupla elementele primului set cu cele ale celui de-al doilea în așa fel încât dacă un element este mai mic decât altul din primul set, atunci corespondentul primului element este mai mic decât corespondentul al doilea în al doilea împreună și invers. O astfel de corespondență unu-la-unu se numește izomorfism de ordine (sau o funcție strict crescătoare, sau izotonie) și cele două mulțimi bine ordonate sunt numite izomorfe în raport cu ordinea sau izotone.

Urmând această convenție, se poate arăta că orice mulțime finită bine ordonată este izomorfă în ceea ce privește ordinea unuia și a unui singur ordinal. Acest fapt oferă motivația care duce la generalizarea numerelor infinite.

De la finit la „transfinit”

Reprezentarea vizuală a ordinalului ω 2 : primele segmente reprezintă numerele naturale, primul triunghi reprezintă ω, în imagine există (în mod ideal) ω copii ale ω dispuse în ordine.

Am văzut cum este posibil să construim toate numerele ordinale începând de la mulțimea goală și luând în considerare de fiecare dată mulțimea care are ca elemente toate mulțimile construite anterior. Am văzut că fiecare dintre aceste numere ordinale este înzestrat în mod natural cu o structură de mulțimi bine ordonată și în același timp toate aceste numere ordinale constituie un ansamblu bine ordonat ca întreg. Am văzut că relația de ordine pe care este natural să o definim în acest context este cea care stabilește că un „număr” este mai mic decât altul dacă este un element al acestuia. Aceste mulțimi ordonate sunt numite și ordinale finite .

Tipul de construcție care generează succesiunea ordinalelor finite poate fi realizat mult mai departe, definind ceea ce Cantor a numit ordinale transfinite . Considerăm mulțimea ordonată a tuturor seturilor definite până acum - adică numerele ordinale - și o numim ω:

ω: = {0,1,2,3, ...}

Omega este, de asemenea, înzestrat în mod natural cu o structură de set ordonată , la fel ca predecesorii săi (ordonarea este dată, ca înainte, de includerea setului). Dacă înainte am avut ordinalii finiti ω este primul ordinal transfinit .

Dar putem merge mai departe: să definim

ω + 1: = {0,1,2,3, ..., ω}

care este încă un tot total ordonat , atunci

ω + 2: = {0,1,2,3, ..., ω, ω + 1}
ω + 3: = {0,1,2,3, ..., ω, ω + 1, ω + 2}
...

Obținem astfel o nouă secvență infinită. Observăm că, de asemenea, setul de ordinali pe care l-am construit până acum este înzestrat în mod natural cu o structură de seturi ordonate , mai exact avem:

1 <2 <3 <4 <... <ω <ω + 1 <ω + 2 <ω + 3 <...

Este ușor să verificați dacă această comandă este totală și este o comandă bună .
Din nou, putem merge „mai departe” și le putem da un nume tuturor acestor ordinali:

ωx2 = ω + ω: = {0,1,2,3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ...}

Și puteți continua ca înainte de a lua în considerare la fiecare pas setul tuturor obiectelor construite până în acel moment ... dar merită să faceți o pauză pentru o clipă pentru a analiza succesiunea seturilor pe care le construim.

În schema prezentată până acum, se procedează alternativ în două moduri:

  1. dat un ordinal construit anterior, i se adaugă un nou element dat de la fel. Noul set este așadar , este un set ordonat și se numește succesorul ordinal al lui ;
  2. dată o succesiune ordonată și infinită de ordinali dintre care următorul îl include pe cel precedent, se construiește un nou set ca o uniune a mulțimilor secvenței . Întregul definit astfel, se numește ordinalul limită al secvenței .

Cu aceste două reguli puteți continua succesiunea definind ordinali

ωx3: = {0,1,2,3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ..., ωx2, ωx2 + 1, ωx2 + 2, ωx2 + 3, .. .}
ωx4: = {0,1,2,3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ..., ωx2, ωx2 + 1, ωx2 + 2, ωx2 + 3, .. ., ωx3, ωx3 + 1, ωx3 + 2, ωx3 + 3, ...}
...
ωxn: = {0,1,2,3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ..., ωx2, ωx2 + 1, ωx2 + 2, ωx2 + 3, .. ., ωx3, ωx3 + 1, ωx3 + 2, ωx3 + 3, ..., ωx (n-1), ωx (n-1) + 1, ωx (n-1) +2, ...}
...
ω × ω = ω 2 : = {1,2,3, ..., ω, ..., ωx2, ..., ωx3, ..., ωxn, .........}

Definiția originală

Definiția originală a numărului ordinal, prezentă de exemplu în Principia Mathematica , definește tipul de ordine al unei ordine bune ca ansamblul tuturor ordinelor bune similare ( izomorfe în raport cu ordinea sau izotonice) cu acea ordine bună. Această definiție trebuie abandonată în sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel și în sistemele legate de această teorie axiomatică a seturilor, deoarece aceste clase de echivalență sunt „prea mari”; cu toate acestea, această definiție poate fi încă utilizată în teoria tipului și teoriei mulțimilor Quine New Foundations și în sistemele conexe, în care oferă o soluție alternativă surprinzătoare la paradoxul Burali-Forti referitor la cel mai mare număr ordinal.

Definiția modernă și primele proprietăți

Vrem să construim numere ordinale ca mulțimi speciale bine ordonate în așa fel încât fiecare mulțime bine ordonată să fie izomorfă în raport cu ordinea unui singur număr ordinal. Următoarea definiție îmbunătățește abordarea lui Cantor și a fost dată pentru prima dată de John von Neumann :

O mulțime S este un ordinal dacă și numai dacă S este complet ordonat în ceea ce privește apartenența și fiecare element al lui S este, de asemenea, un subset al lui S.

Setul S este astfel automat bine ordonat în ceea ce privește includerea. Acest fapt se bazează pe axioma fundamentală : fiecare set ne-gol S conține un element a care este disjunct de S.

Rețineți că numerele naturale sunt ordinale conform acestei definiții. De exemplu, 2 este un element de 4 = {0, 1, 2, 3} și 2 este egal cu {0, 1} și, prin urmare, este un subset de {0, 1, 2, 3}.

Prin inducție transfinită se poate arăta că orice mulțime bine ordonată este izomorfă în ceea ce privește ordinea exact la unul dintre acești ordinali.

Mai mult, elementele fiecărui ordinal sunt și ele ordinale. Ori de câte ori există două ordinale S și T , S este un element al lui T și dacă numai dacă S este un subset corespunzător al lui T ; în plus, fie S este un element al lui T , fie T este un element al lui S , fie cele două seturi sunt egale. Astfel fiecare set de ordinali este complet ordonat . Într-adevăr, o proprietate mult mai puternică este adevărată:

Fiecare set de ordinali este bine ordonat.

Acest rezultat important generalizează faptul că fiecare set de numere ordinale este bine ordonat și permite utilizarea inducției transfinite cu ordinali.

O altă consecință este următoarea:

  • Fiecare ordinal S este un set având tocmai ca elemente cele mai mici ordinale ale lui S.

Această afirmație determină complet, din punctul de vedere al teoriei mulțimilor , structura fiecărui ordinal din alte ordinale. De asemenea, este folosit pentru a demonstra multe alte rezultate utile pe ordinali, de exemplu caracterizarea importantă a relației de ordine dintre ordinali:

  • Fiecare set de ordinali are o limită superioară , care este ordinalul obținut prin luarea uniunii tuturor ordinalelor mulțimii.

Un alt exemplu este următorul fapt:

  • Colecția tuturor ordinalelor nu este un întreg.

Mai mult, deoarece fiecare ordinal conține doar alte ordinale, rezultă că fiecare membru al colecției tuturor ordinalelor este, de asemenea, un subset al acestuia. Deci, dacă această colecție ar fi un set, ar trebui să fie prin definiție un ordinal; atunci ar fi membru al său, ceea ce contrazice axioma regularității (vezi și paradoxul Burali-Forti ).

Un ordinal este finit dacă și numai dacă mulțimea elementelor sale, ordonate după ordinea inversă, este de asemenea bine ordonată și acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă fiecare dintre subseturile sale are un maxim .

Alte definiții

Există alte formulări moderne ale definiției ordinalului. Fiecare dintre acestea este în esență echivalent cu definiția dată mai sus. Una dintre acestea este următoarea. O clasă S este tranzitivă dacă, ori de câte ori x este un element al lui y și y este un element al lui S , atunci x este un element al lui S. Atunci un ordinal este definit ca o clasă tranzitivă S și astfel încât fiecare membru al lui S este, de asemenea, tranzitiv. Rețineți că această definiție va funcționa numai în prezența axiomei regularității : un set care este singurul său element îndeplinește această condiție, dar nu este un ordinal!

Aritmetica ordinarilor

Pentru a defini suma S + T a celor două ordinale S și T , procedați astfel: mai întâi elementele lui T sunt redenumite în așa fel încât S și T să fie disjuncte, apoi mulțimea bine ordonată S este scrisă „la stânga "din setul bine ordonat T ; aceasta înseamnă că definim o ordonare pe ST în care fiecare element al lui S este mai mic decât fiecare element al lui T. Seturile S și T păstrează ordinea pe care o aveau deja. În acest fel se formează un nou set bine ordonat, care este izomorf în raport cu ordinea la un ordinal, care se numește S + T. Această adunare este asociativă și generalizează adunarea numerelor naturale. Cu alte cuvinte, mai puțin riguroase, pentru a adăuga două ordinale S și T este suficient să puneți elementele celor două mulțimi una lângă cealaltă și să povestiți.

Primul ordinal transfinit este ω, ansamblul tuturor numerelor naturale. Acum încercați să vizualizați ordinalul ω + ω: luați două copii ale numerelor naturale ordonate conform ordinii obișnuite, iar al doilea exemplar trebuie plasat în dreapta primului. Dacă indicăm a doua copie cu {0 '<1' <2 ', ...} atunci ω + ω poate fi reprezentat astfel:

0 <1 <2 <3 <... <0 '<1' <2 '<...

Acest ordinal este un număr diferit de ω deoarece în ω numai 0 nu are antecedent (adică 0 nu este succesorul niciunui număr) în timp ce în ω + ω cele două elemente 0 și 0 'nu au antecedent. Aceasta este 3 + ω

0 <1 <2 <0 '<1' <2 '<...

și, după ce i-am redenumit elementele, vedem că este egal cu ω. Prin urmare, avem acel 3 + ω = ω. Dar ω + 3 nu este egal cu ω, deoarece ω + 3 are un element maxim, în timp ce ω nu. Prin urmare, adunarea între numerele ordinale nu este comutativă .

Acum este ușor de văzut că, de exemplu, (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω.

Pentru a înmulți cele două ordinale S și T trebuie să scriem mulțimea bine ordonată T prin înlocuirea fiecăruia dintre elementele sale cu o copie diferită a mulțimii bine ordonate S. Această operație produce un nou set bine ordonat, care definește un ordinal, notat cu ST . Tot în acest caz există o operație asociativă care generalizează multiplicarea între numere naturale.

Acesta este ω2:

0 0 <1 0 <2 0 <3 0 <... <0 1 <1 1 <2 1 <3 1 <...

și avem că: ω2 = ω + ω. În timp ce 2ω arată astfel:

0 0 <1 0 <0 1 <1 1 <0 2 <1 2 <0 3 <1 3 <...

care, după o înlocuire, are aspectul de ω deci 2ω = ω. Înmulțirea între ordinali nu este comutativă.

Proprietatea distributivă este parțial valabilă în aritmetica ordinală: R ( S + T ) = RS + RT . Dar cealaltă lege distributivă ( T + U ) R = TR + UR nu este adevărată în general: (1 + 1) ω este egal cu 2ω = ω în timp ce 1ω + 1ω este egal cu ω + ω. Prin urmare, numerele ordinale nu formează un inel .

O structură de inel ca aceasta, cu numai proprietatea distributivă stângă, se numește cvasi-inel stâng: totuși ordinalii nu sunt nici măcar un cvasi-inel, deoarece nu admit inversul adunării (negației).

Acum putem defini exponențierea numerelor ordinale. Pentru exponenții finiti, definiția ar trebui să fie evidentă, de exemplu , deoarece se folosește multiplicarea între ordinali. Dar această operațiune poate fi vizualizată și ca un set de perechi ordonate de numere naturale, ordonate în funcție de o variantă a ordonării lexicografice care pune pe primul loc cea mai puțin semnificativă poziție:

(0,0) <(1,0) <(2,0) <(3,0) <... <(0,1) <(1,1) <(2,1) <(3,1) <... <(0,2) <(1,2) <(2,2 ) <...

Similar pentru orice n finit poate fi vizualizat ca ansamblul de n -cupluri ale numerelor naturale.

Mai departe, pentru putem încerca să vizualizăm setul de secvențe infinite de numere naturale. Cu toate acestea, dacă încercați să utilizați orice variantă de ordonare lexicografică în acest set, se dovedește că nu este bine ordonată. Este necesar să adăugați restricția că doar un număr finit de elemente din secvență sunt diferite de zero. În acest fel, sortarea funcționează și arată ca sortarea numerelor naturale scrise în notație zecimală, dar cu pozițiile cifrelor inversate și cu numere naturale arbitrare în loc doar de cifrele 0-9.

(0,0,0, ...) <(1,0,0,0, ...) <(2,0,0,0, ...) <... <
(0,1,0,0,0, ...) <(1,1,0,0,0, ...) <(2,1,0,0,0, ...) <.. . <
(0,2,0,0,0, ...) <(1,2,0,0,0, ...) <(2,2,0,0,0, ...)
<... <
(0,0,1,0,0,0, ...) <(1,0,1,0,0,0, ...) <(2,0,1,0,0,0,. ..)
<...

Astfel, în general, pentru a ridica un S ordinal la puterea unui T ordinal trebuie să scriem copiile mulțimii bine ordonate T și trebuie să înlocuim fiecare element cu un element al lui S , cu restricția că toate elementele din secvență, cu excepția unui număr finit, acestea trebuie să fie primul element al lui S. Se constată că:

Se aplică, de asemenea, următoarele reguli de putere: Și .

Formă normală de Cantor

Numerele ordinale au o aritmetică extrem de bogată. Orice număr ordinal poate fi scris în mod unic ca , unde este sunt numere întregi pozitive și sunt numere ordinale (este posibil ca ). Această descompunere a se numește forma normală a lui Cantor , și poate fi considerat sistemul de bază ω numeric . Exponentul major gradul de , și satisface relația (există egalitate dacă și numai dacă , ceea ce este posibil, așa cum se explică mai jos).

Există numere ordinale care nu pot fi obținute începând de la ω cu un număr finit de adunări, înmulțiri și exponenți. Cel mai mic dintre acestea este notat cu ε 0 . Acest ordinal este foarte important în multe dovezi de inducție, deoarece pentru multe scopuri inducția transfinită este necesară doar până la ε 0 . Rețineți că , asa . O altă formulă este

.

Ordinalul este, de asemenea, primul număr care satisface ecuația lui Cantor . Această ecuație are soluții infinite: următoarea este

,

care urmează

și așa mai departe până la , care este prima soluție a .

este încă numărabil . Cu toate acestea, se poate convinge de existența a cel puțin unui ordinal nenumărat, amintind că colecția tuturor ordinalelor nu este un set ( Paradoxul Burali-Forti ) în timp ce este posibil să se construiască setul tuturor ordinalelor numărabile: astfel încât cel puțin trebuie să existe un ordinal nenumărat și se dovedește că cel mai mic ordinal nenumărat este tocmai ansamblul tuturor ordinalelor numărabile și este de obicei notat cu ω 1 .

Topologie și ordinale limită

Ordinalii au, de asemenea, o topologie de ordine interesantă în virtutea faptului că sunt total ordonați . În această topologie, secvența 0, 1, 2, 3, 4, ... are limita ω și secvența ω, ω ^ ω, ω ^ (ω ^ ω), ... are limita ε 0 . Ordinalele care nu au un antecedent pot fi întotdeauna scrise ca limita unei rețele de alte ordinale (dar nu neapărat ca limita unei secvențe , adică ca limită a unei cantități numărabile de ordinali mai mici) și se numesc ordinali limită ; celelalte ordinale sunt ordinale succesorale .

Spațiile topologice ω 1 și succesorul său ω 1 +1 sunt adesea folosite în manuale ca exemple de spații topologice nenumărate. De exemplu, în spațiul topologic ω 1 +1, elementul ω 1 se află în închiderea subsetului ω 1 chiar dacă nicio secvență de elemente din ω 1 nu are ca limită elementul ω 1 . Spațiul ω 1 este un spațiu primar numărabil , dar nu o secundă numărabilă , iar ω 1 +1 nu are niciuna dintre aceste două proprietăți.

Unele ordinale speciale pot fi utilizate pentru a măsura amploarea sau cardinalitatea unui set. Acestea se numesc numere cardinale .

Bibliografie

  • 1996 - Conway, JH și Guy, numerele ordinale ale lui RK Cantor. În Cartea Numerelor. Hoepli, pp. 230–238 ( ISBN 8820325195 ).

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității LCCN (EN) sh85093216 · GND (DE) 4172728-9
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică