Numărul P-adic
Sistemul numerelor - Roots a fost descrisă pentru prima dată de Kurt Hensel în 1897 . Pentru orice număr prim , sistemul numeric -adics extinde aritmetica numerelor raționale într-un mod diferit de extensia spre numere reale și complexe . Utilizarea principală a acestui instrument se face în teoria numerelor .
Extinderea se obține dintr-o interpretare alternativă a conceptului de valoare absolută . Motivul creării numerelor -adici a fost o încercare de a introduce conceptul și tehnicile seriilor de putere în domeniul teoriei numerelor . În prezent, utilizarea lor merge mai departe, de exemplu analiza -adici reprezintă o formă alternativă de calcul diferențial .
Mai concret pentru un număr prim dat , câmpul numere -adici este o extensie a numerelor raționale . Dacă toate câmpurile sunt considerați colectiv, ajungem la principiul local-global al lui Helmut Hasse , care afirmă aproximativ că anumite ecuații pot fi rezolvate în setul de numere raționale dacă și numai dacă pot fi rezolvate în seturile de numere reale și numere - rădăcini pentru fiecare . Campul posedă o topologie indusă de o metrică , care este, la rândul ei, indusă de o normă alternativă asupra numerelor raționale . Această valoare este completă în sensul că fiecare serie Cauchy converge.
În câmpul curbelor eliptice , numerele -rădăcinile sunt cunoscute ca numere -rădăcini, datorită lucrărilor lui Jean-Pierre Serre . Numărul prim este deseori rezervată aritmeticii modulare a acestor curbe.
Motive
Cea mai simplă introducere a numerelor -adici este să ia în considerare numerele -roots , care sunt numere întregi cu un număr infinit de cifre la stânga. Luați numărul de exemplu , unde punctele din stânga indică un număr infinit de cifre " ", și efectuați operații aritmetice pe acesta. Efectuarea operației simple de adăugare a numărului (in care -adico este ), noi obținem:
după cum puteți vedea cu ușurință lucrând de la dreapta la stânga și întors întotdeauna a . Pentru cifre -rădăcini prin urmare avem asta . Rezultă că numerele întregi negative pot fi reprezentate ca o serie de cifre , unde sunt cele din stânga . Cei obișnuiți cu informatica vor fi observat că această „tehnică” este complet analogă cu notația complementară a celor doi , în care numerele negative sunt scrise cu o serie de La stânga; în -rădăcini se întâmplă exact același lucru. În general, veți avea cifra pentru numere - rădăcini.
Constructie
Abordare analitică
Abordarea analitică este de luat în considerare în interior nu norma euclidiană , ci tocmai norma p-adică definită de:
unde este Și este scris într-o formă ireductibilă, adică astfel încât , cu Și numere întregi astfel încât Și .
Prin urmare, această normă induce o distanță și, prin urmare, putem vorbi de convergența secvențelor.
Acestea sunt numerele - rădăcini sunt definite ca a doua finalizare Cauchy a cu norma -adica. Numerele - rădăcini de obicei mai mici sau egale cu se numesc numere întregi -roots și mulțimea tuturor numerelor întregi -rădăcini, de obicei notate cu , formează un subinel de
De asemenea, este definită evaluarea -adica ca rating :
Abordarea algebrică
Abordarea algebrică trebuie luată în considerare ca câmpul fracțiunilor de , care la rândul său este limita proiectivă a .
Caracteristica este și de fapt subcâmpul său fundamental este , este asta se poate vedea imediat din construcția analitică.
Reprezentare
Un mod comun de a reprezenta un număr -adico este următorul:
cu , unde este nu este altceva decât evaluarea -adica Și pentru fiecare .
Convergența acestei serii este asigurată de faptul că odată cu norma -adica
Uneori se folosește și următoarea reprezentare: unde sunt coeficienții seriei considerate anterior. Rețineți virgula după ea , numerele care preced virgula sunt finite, în timp ce cele ulterioare sunt infinite ca număr, eventual pot fi repetate periodic de la un anumit punct încoace.
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe numărul p-adic