Numărul P-adic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Sistemul numerelor - Roots a fost descrisă pentru prima dată de Kurt Hensel în 1897 . Pentru orice număr prim , sistemul numeric -adics extinde aritmetica numerelor raționale într-un mod diferit de extensia spre numere reale și complexe . Utilizarea principală a acestui instrument se face în teoria numerelor .

Extinderea se obține dintr-o interpretare alternativă a conceptului de valoare absolută . Motivul creării numerelor -adici a fost o încercare de a introduce conceptul și tehnicile seriilor de putere în domeniul teoriei numerelor . În prezent, utilizarea lor merge mai departe, de exemplu analiza -adici reprezintă o formă alternativă de calcul diferențial .

Mai concret pentru un număr prim dat , câmpul numere -adici este o extensie a numerelor raționale . Dacă toate câmpurile sunt considerați colectiv, ajungem la principiul local-global al lui Helmut Hasse , care afirmă aproximativ că anumite ecuații pot fi rezolvate în setul de numere raționale dacă și numai dacă pot fi rezolvate în seturile de numere reale și numere - rădăcini pentru fiecare . Campul posedă o topologie indusă de o metrică , care este, la rândul ei, indusă de o normă alternativă asupra numerelor raționale . Această valoare este completă în sensul că fiecare serie Cauchy converge.

În câmpul curbelor eliptice , numerele -rădăcinile sunt cunoscute ca numere -rădăcini, datorită lucrărilor lui Jean-Pierre Serre . Numărul prim este deseori rezervată aritmeticii modulare a acestor curbe.

Motive

Cea mai simplă introducere a numerelor -adici este să ia în considerare numerele -roots , care sunt numere întregi cu un număr infinit de cifre la stânga. Luați numărul de exemplu , unde punctele din stânga indică un număr infinit de cifre " ", și efectuați operații aritmetice pe acesta. Efectuarea operației simple de adăugare a numărului (in care -adico este ), noi obținem:

după cum puteți vedea cu ușurință lucrând de la dreapta la stânga și întors întotdeauna a . Pentru cifre -rădăcini prin urmare avem asta . Rezultă că numerele întregi negative pot fi reprezentate ca o serie de cifre , unde sunt cele din stânga . Cei obișnuiți cu informatica vor fi observat că această „tehnică” este complet analogă cu notația complementară a celor doi , în care numerele negative sunt scrise cu o serie de La stânga; în -rădăcini se întâmplă exact același lucru. În general, veți avea cifra pentru numere - rădăcini.

Constructie

Abordare analitică

Abordarea analitică este de luat în considerare în interior nu norma euclidiană , ci tocmai norma p-adică definită de:

unde este Și este scris într-o formă ireductibilă, adică astfel încât , cu Și numere întregi astfel încât Și .

Prin urmare, această normă induce o distanță și, prin urmare, putem vorbi de convergența secvențelor.

Acestea sunt numerele - rădăcini sunt definite ca a doua finalizare Cauchy a cu norma -adica. Numerele - rădăcini de obicei mai mici sau egale cu se numesc numere întregi -roots și mulțimea tuturor numerelor întregi -rădăcini, de obicei notate cu , formează un subinel de

De asemenea, este definită evaluarea -adica ca rating :

Abordarea algebrică

Abordarea algebrică trebuie luată în considerare ca câmpul fracțiunilor de , care la rândul său este limita proiectivă a .

Caracteristica este și de fapt subcâmpul său fundamental este , este asta se poate vedea imediat din construcția analitică.

Reprezentare

Un mod comun de a reprezenta un număr -adico este următorul:

cu , unde este nu este altceva decât evaluarea -adica Și pentru fiecare .

Convergența acestei serii este asigurată de faptul că odată cu norma -adica

Uneori se folosește și următoarea reprezentare: unde sunt coeficienții seriei considerate anterior. Rețineți virgula după ea , numerele care preced virgula sunt finite, în timp ce cele ulterioare sunt infinite ca număr, eventual pot fi repetate periodic de la un anumit punct încoace.

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică