Număr perfect

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Ilustrație perfectă a stării numărului 6
Ilustrație perfectă a stării numărului 6

În matematică , un număr perfect este un număr natural care este egal cu suma divizorilor săi pozitivi, excluzând numărul în sine. În termeni formali, un număr natural se spune perfect când , unde funcția este funcția sigma , adică funcția care dă suma divizorilor pozitivi ai .

De exemplu, numărul , divizibil cu este un număr perfect și același lucru este valabil și pentru care este divizibil cu , Și .

fundal

Numerele perfecte au fost studiate pentru prima dată de către pitagorici . O teoremă enunțată de Pitagora și demonstrată de Euclid a dezvăluit că dacă este un număr prim , atunci este perfect. Mai târziu, Euler a demonstrat că toate numerele perfecte trebuie să aibă această formă. Numerele din formular care sunt primii se numesc primii Mersenne . Se arată ușor că dacă nu este prim atunci nici nu este prim .

Potrivit lui Philo din Alexandria , Lumea a fost creată în 6 zile, iar luna lunară siderală este de aproape 28 de zile tocmai pentru că 6 și 28 sunt numere perfecte. Proprietățile matematice și religioase ale acestor numere perfecte au fost, de asemenea, subliniate ulterior de unii comentatori creștini. În tratatul său Geneza la scrisoare , cartea IV, alin. 7.14, Sf. Augustin a scris: «Șase este un număr perfect în sine și nu pentru că Dumnezeu a creat toate lucrurile în șase zile. Într-adevăr, este adevărat opusul: Dumnezeu a creat toate lucrurile în șase zile tocmai pentru că acesta este un număr perfect ».

Cunostinte actuale

Până în prezent [1] , se cunosc 51 de numere perfecte, dintre care cel mai mare are 49 724 095 cifre.

Exemplu: Din cauza expresiei , fiecare număr par perfect este neapărat:

  • este, de asemenea, un număr practic
  • are o expresie binară valori egale cu una urmată de zerouri (cu Număr prim). Aici indicele indică baza în care este exprimat numărul:
6 10 = 110 2
28 10 = 11 100 2
496 10 = 111110000 2
8128 10 = 1111111000000 2
33550336 10 = 1111111111111000000000000 2 .

Aceste numere au fost obținute pentru n = 2, 3, 5, 7, 13. Cazul n = 11 dă o valoare de care nu este prim.

Primele 12 numere perfecte sunt:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8 128
  • 33 550 336 (8 cifre)
  • 8 589 869 056 (10 cifre)
  • 137 438 691 328 (12 cifre)
  • 2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre)
  • 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre)
  • 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre)
  • 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128 (65 cifre)
  • 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128 (77 cifre)

Următorul număr perfect, al treisprezecelea, este alcătuit din 314 cifre. Până în prezent [1] sunt cunoscute doar 51 de primi Mersenne și, prin urmare, 51 de numere perfecte [2] . Cel mai mare dintre acestea este 2 82589932 × (2 82589933 - 1), format (în baza 10) de 49 724 095 cifre.

Primele 47 de numere perfecte sunt pare și, prin urmare, pot fi exprimate ca 2 p-1 (2 p - 1) cu:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 [3] .

Sunt cunoscute alte patru numere perfecte majore, cu

p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933

Cu toate acestea, nu s-a verificat încă dacă există altele între ele [4] și nici nu se știe dacă numerele perfecte continuă la nesfârșit și dacă există numere perfecte impare.

Toate numerele pare perfecte se termină cu 6 sau 8.

De fapt, din 2 n-1 × (2 n - 1) avem că:
  • 2 n-1 este egal și se termină cu 2, 4, 8, 6;
  • (2 n - 1) este impar și se termină cu 3, 7, 5, 1.
Ultima cifră „5” trebuie aruncată deoarece știm că (2 n - 1) trebuie să fie primă, deci perechile care rămân sunt (2,3), (4,7) și (6,1), ale căror produse dau cifrele 6 și 8 ca finalizări ale fiecărui număr par perfect.

Dacă suma divizorilor lui este mai mare decât , numarul se numește abundent , în timp ce dacă este mai mic de 2N se numește defect . Orice număr care verifică se spune că este ușor abundent , în timp ce un număr care verifică se spune că este ușor defect . Până acum, nimeni nu a reușit să găsească numere ușor mari. Pe de altă parte, deși este ușor de verificat că toate puterile a două sunt numere ușor defecte, nu se știe încă dacă există alte numere ușor defecte decât puterile a două.

Notă

  1. ^ a b Până în ianuarie 2019.
  2. ^ Acasă GIMPS
  3. ^ (EN) secvența A000043 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  4. ^ Raportul GIMPS Milestones , pe mersenne.org . Adus pe 2 ianuarie 2019 .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității GND ( DE ) 7683309-4
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică