Patrat perfect

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

1leftarrow blue.svg Intrare principală: pătrat (algebră) .

În matematică, un pătrat perfect sau un număr pătrat este un număr întreg care poate fi exprimat ca pătratul unui alt număr întreg, adică un număr a cărui rădăcină pătrată principală este, de asemenea, un număr întreg. De exemplu, 9 este un pătrat perfect, deoarece poate fi scris ca 3 × 3. Un număr este un pătrat perfect atunci când, atunci când este descompus, are toți exponenții: scrierea numărului ca produs al puterilor numerelor prime obținute din descompunere , avem că rădăcina pătrată a acestui produs este întreagă dacă toți factorii sunt extrasați din rădăcină, acest lucru se poate întâmpla numai dacă exponentul fiecărui factor este egal.

Uneori zero este exclus din aceste numere, adică prin pătrat perfect se înțelege un număr întreg pozitiv care este pătratul unui alt număr întreg pozitiv.

Exemple

Primele 100 de pătrate perfecte [1] sunt:

0 2 = 0
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100
11 2 = 121
12 2 = 144
13 2 = 169
14 2 = 196
15 2 = 225
16 2 = 256
17 2 = 289
18 2 = 324
19 2 = 361
20 2 = 400
21 2 = 441
22 2 = 484
23 2 = 529
24 2 = 576
25 2 = 625
26 2 = 676
27 2 = 729
28 2 = 784
29 2 = 841
30 2 = 900
31 2 = 961
32 2 = 1024
33 2 = 1089
34 2 = 1156
35 2 = 1225
36 2 = 1296
37 2 = 1369
38 2 = 1444
39 2 = 1521
40 2 = 1600
41 2 = 1681
42 2 = 1764
43 2 = 1849
44 2 = 1936
45 2 = 2025
46 2 = 2116
47 2 = 2209
48 2 = 2304
49 2 = 2401
50 2 = 2500
51 2 = 2601
52 2 = 2704
53 2 = 2809
54 2 = 2916
55 2 = 3025
56 2 = 3136
57 2 = 3249
58 2 = 3364
59 2 = 3481
60 2 = 3600
61 2 = 3721
62 2 = 3844
63 2 = 3969
64 2 = 4096
65 2 = 4225
66 2 = 4356
67 2 = 4489
68 2 = 4624
69 2 = 4761
70 2 = 4900
71 2 = 5041
72 2 = 5184
73 2 = 5329
74 2 = 5476
75 2 = 5625
76 2 = 5776
77 2 = 5929
78 2 = 6084
79 2 = 6241
80 2 = 6400
81 2 = 6561
82 2 = 6724
83 2 = 6889
84 2 = 7056
85 2 = 7225
86 2 = 7396
87 2 = 7569
88 2 = 7744
89 2 = 7921
90 2 = 8100
91 2 = 8281
92 2 = 8464
93 2 = 8649
94 2 = 8836
95 2 = 9025
96 2 = 9216
97 2 = 9409
98 2 = 9604
99 2 = 9801

Proprietate

Un număr m este un pătrat perfect numai dacă este posibil să aranjați m puncte pentru a forma un pătrat geometric, din acest motiv, elevarea la a doua putere se mai numește și pătrat.

1 Un punct izolat poate reprezenta pătratul ordinii minime, 1x1
4 Patru puncte pot fi aranjate pentru a forma un pătrat de 2x2
9 Nouă puncte pot fi aranjate pentru a forma un pătrat de 3x3
16Șaisprezece puncte pot fi aranjate pentru a forma un pătrat 4x4
25 Douăzeci și cinci de puncte pot fi aranjate pentru a forma un pătrat de 5x5

Formula celui de-al n - lea pătrat perfect este n 2 .

De asemenea, se remarcă faptul că succesiunea diferențelor dintre două pătrate perfecte consecutive este succesiunea numerelor impare pozitive:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 2 n - 1, 2 n + 1, ...

Al n-lea pătrat perfect este, prin urmare, echivalent cu suma primelor n numere impare, așa cum se poate vedea din figurile de mai sus, unde un pătrat este obținut din cel precedent prin adăugarea unui număr impar de puncte. De exemplu:

5 2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Suma numerelor impare poate fi scrisă ca o însumare: .

Al patrulea pătrat perfect poate fi calculat din cel precedent în felul următor:

n 2 = (n-1) 2 + (2n-1)

De exemplu:

6 2 = 5 2 + (2 × 6 - 1) = 25 + 11 = 36

Al patrulea pătrat perfect poate fi calculat din următorii doi, după cum urmează:

n 2 = 2 × (n-1) 2 - (n-2) 2 + 2

De exemplu:

6 2 = 2 × 5 2 - 4 2 + 2 = 2 × 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36

Al n-lea pătrat perfect poate fi calculat din trei precedente, după cum urmează:

n 2 = (n-1) 2 + (n-2) 2 - (n-3) 2 + 4

De exemplu:

6 2 = 5 2 + 4 2 - 3 2 + 4 = 25 + 16 - 9 + 4 = 45 - 9 = 36

Un pătrat perfect este, de asemenea, echivalent cu suma a două numere triunghiulare consecutive. Suma a două numere pătrate consecutive este un număr pătrat centrat . Fiecare număr pătrat impar este, de asemenea, un număr octogonal centrat .

Teorema celor patru pătrate spune că orice număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma a 4 pătrate perfecte. 3 pătrate perfecte nu sunt suficiente pentru numerele de forma 4 m (8 h + 7). Un număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma a două pătrate dacă și numai dacă factorizarea sa nu conține puteri impare ale numerelor prime sub forma 4 k +3. Acest rezultat este generalizat în problema Waring .

Un număr întreg pozitiv care nu are nici un pătrat perfect ca divizor, cu excepția 1, se numește fără pătrat .

Deoarece produsul a două numere negative este pozitiv, precum și produsul a două numere pozitive , niciun număr pătrat nu este negativ. Acest lucru are consecințe importante. Rezultă, în special, că nu este posibil să se extragă rădăcina pătrată a unui număr negativ din numere reale . Acest lucru lasă un gol în setul de reali pe care matematicienii l-au umplut prin crearea numerelor imaginare , începând cu i , care este, prin convenție, rădăcina pătrată a -1.

O modalitate de a găsi pătratul unui număr n este să luați două numere care au n pentru medie, să le înmulțiți împreună și să adăugați pătratul abaterii de la medie. De exemplu:

21 2 = 20 × 22 + 1 2 = 441

Acest lucru funcționează ca o consecință a identității:

(xy) (x + y) = x 2 –y 2

cunoscută sub numele de diferența de pătrate.

Pătrate perfecte raționale

Definiția unui pătrat perfect poate fi extinsă pe tărâmul numerelor raționale . Astfel, se introduce conceptul de pătrat perfect rațional , adică un număr rațional non-negativ care poate fi exprimat ca o fracție care în formă redusă are două pătrate perfecte ca numărător și numitor , al doilea din care este diferit de 0 .

De exemplu 4/9 = 2/3 × 2/3.

Pătratele perfecte raționale sunt singurele numere raționale non-negative a căror rădăcină pătrată principală este, de asemenea, un număr rațional (non-negativ); rădăcinile pătrate ale tuturor celorlalte numere raționale sunt numere iraționale , adică nu pot fi exprimate ca fracții.

Notă

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică