Număr transcendent

În matematică, un număr transcendent este un număr irațional care nu este un număr algebric , adică nu este soluția oricărei ecuații polinomiale de formă:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0

{\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

a_n x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_1 x + a_0 = 0

unde este $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ ge 1$ iar coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ nu toate sunt raționale .

Setul de numere transcendente nu este închis în ceea ce privește adunarea sau produsul; de fapt dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este transcendent, așa va fi $-a$ ${\ displaystyle -a}$ $-la$ , dar suma lor, care este 0, este evident un număr algebric; în mod similar pentru a și 1 / a.

Setul de numere algebrice este numărabilă , în timp ce mulțimea tuturor numerelor reale este nenumărat ; aceasta implică faptul că setul numerelor transcendente este de nenumărat, adică există infinit mai multe numere transcendente decât cele algebrice. Acest rezultat a fost demonstrat de Georg Cantor la sfârșitul secolului al XIX-lea .

Dovedirea faptului că un număr dat este transcendent poate fi foarte dificilă. Normalitatea , o altă proprietate a numerelor, ar putea ajuta la determinarea transcendenței lor.

Existența numerelor transcendente a fost demonstrată pentru prima dată în 1844 de Joseph Liouville , care a reușit să construiască o întreagă clasă de numere transcendente, numite de aceea numere Liouville ; în special printre acestea se află constanta Liouville :

\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- k!} = 0.110001000000000000000001000 \ ldots}

\ sum_ {k = 1} ^ \ infty 10 ^ {- k!} = 0.110001000000000000000001000 \ ldots

din care $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea cifră după virgulă este egală cu una dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un factorial (de exemplu 1, 2, 6, 24, 120, 720, ... etc.) și 0 în caz contrar. Primul număr construit ne-intenționat care s-a dovedit a fi transcendent este și ; Charles Hermite a demonstrat acest lucru în 1873 . În 1882 Ferdinand von Lindemann a publicat o dovadă bazată pe lucrarea anterioară a lui Hermite despre transcendența lui π . În 1874 Georg Cantor demonstrase existența și nenumerabilitatea numerelor transcendente.

Descoperirea numerelor transcendente a permis demonstrarea imposibilității mai multor probleme geometrice antice referitoare la construcția cu rigla și busola ; pătrarea cercului , cea mai faimoasă dintre aceste probleme, este imposibilă deoarece π este transcendentă în timp ce toate numerele care pot fi construite cu o riglă și busolă sunt algebrice.

Unele numere transcendente

$e^{a}$ ${\ displaystyle e ^ {a}}$ $și ^ {a}$ de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este algebric și diferit de 0 . În special, același număr e este transcendent (a se vedea o dovadă a transcendenței lui e ). Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema Lindemann-Weierstrass .
$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , pi (constanta matematica) .
$la$ $b$ {\ displaystyle a ^ {b}} $a ^ b$ unde este $la$ {\ displaystyle a} $la$ este algebric diferit de 0 și 1 și $b$ {\ displaystyle b} $b$ este algebric , dar nu rațional . Aceasta este teorema lui Gelfond care rezolvă a șaptea problemă a lui Hilbert . Transcendența numărului derivă din această teoremă
- $e^{\pi }$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi}}$ $și ^ \ pi$ numită constantă a lui Gelfond de atunci $e^{\pi }={\frac {1}{e^{-\pi }}}={\frac {1}{i^{2i}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pi} = {\ frac {1} {e ^ {- \ pi}}} = {\ frac {1} {i ^ {2i}}}}$ $e ^ \ pi = \ frac {1} {e ^ {- \ pi}} = \ frac {1} {i ^ {2i}}$ , Și $i^{2i}$ ${\ displaystyle i ^ {2i}}$ $i ^ {2i}$ este transcendent;
- $2^{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ sqrt {2}}}$ $2 ^ {\ sqrt2}$ .
Funcțiile trigonometrice $\sin(a)$ ${\ displaystyle \ sin (a)}$ $\ sin (a)$ , $\cos(a)$ ${\ displaystyle \ cos (a)}$ $\Ce)$ , $\tan(a)$ ${\ displaystyle \ tan (a)}$ $\ tan (a)$ , $\cot(a)$ ${\ displaystyle \ cot (a)}$ $\ cot (a)$ , $\sec(a)$ ${\ displaystyle \ sec (a)}$ $\ sec (a)$ , $\csc(a)$ ${\ displaystyle \ csc (a)}$ $\ csc (a)$ pentru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ algebric (excluzând evident cazurile banale precum $\sin(0)=0$ ${\ displaystyle \ sin (0) = 0}$ ${\ displaystyle \ sin (0) = 0}$ ), bazat pe teorema Lindemann-Weierstrass .
logaritmul natural $\ln a$ ${\ displaystyle \ ln a}$ $\ ln a$ , de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un număr rațional pozitiv, altul decât 1 , din nou de teorema Lindemann-Weierstrass.
$\Gamma (1/3)$ ${\ displaystyle \ Gamma (1/3)}$ $\ Gamma (1/3)$ , $\Gamma (1/4)$ ${\ displaystyle \ Gamma (1/4)}$ $\ Gamma (1/4)$ Și $\Gamma (1/6)$ ${\ displaystyle \ Gamma (1/6)}$ $\ Gamma (1/6)$ (vezi funcția gamma ).
$\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ constanta lui Chaitin .
$\sum _{k=0}^{\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\qquad \beta >1,$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} 10 ^ {- \ lfloor \ beta ^ {k} \ rfloor}; \ qquad \ beta> 1,}$ $\ sum_ {k = 0} ^ \ infty 10 ^ {- \ lfloor \ beta ^ {k} \ rfloor}; \ qquad \ beta> 1,$

unde este

\beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor

{\ displaystyle \ beta \ mapsto \ lfloor \ beta \ rfloor}

\ beta \ mapsto \ lfloor \ beta \ rfloor

este funcția părții întregi . De exemplu dacă

\beta =2

{\ displaystyle \ beta = 2}

\ beta = 2

atunci acest număr este 0.11010001000000010000000000000001000 ...

funcția Riemann zeta $\zeta (n)$ ${\ displaystyle \ zeta (n)}$ $\ zeta (n)$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ chiar, deoarece sunt multipli raționali ai $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

S-a speculat că alte numere ca $\zeta (n)$ ${\ displaystyle \ zeta (n)}$ $\ zeta (n)$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ impar sau constanta Euler-Mascheroni $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ sunt transcendente, dar nu s-a dovedit încă că sunt.