Homeomorfism local

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În topologie , un homeomorfism local este o funcție continuă între spațiile topologice care se comportă local (dar nu neapărat global) ca un homeomorfism .

Mai precis, o funcție continuă f : XY este un homeomorfism local dacă fiecare punct x al lui X are o vecinătate U astfel încât f (U) este deschisă în Y și restricția lui f de la U la f (U) este un homeomorfism .

Exemple

  • Fiecare homeomorfism este un homeomorfism local, dar invers nu este adevărat: de exemplu harta
în care linia reală acoperă circumferința S 1 este un homeomorfism local (surjectiv) dar nu un homeomorfism (deoarece nu este injectiv ).
  • Dacă U este un subgrup deschis de X , dotat cu topologia subspatiu , harta de includere i : UX este un homeomorfism local. Acest lucru nu este adevărat dacă U nu este deschis.
  • O funcție holomorfă dintr-un set deschis de C în C este un homeomorfism local dacă și numai dacă are derivată diferită de zero în orice punct. De exemplu, funcția
definit pe setul deschis C * = C \ {0} este un homeomorfism local pentru fiecare n natural pozitiv.

Proprietate

  • Fiecare homeomorfism local este o funcție continuă și deschisă .
  • Un homeomorfism local bigjectiv este un homeomorfism .
  • Un homeomorfism local f : XY surjectiv păstrează proprietățile topologice „locale”: spațiul X este conectat local, compact , contractabil , dacă și numai dacă Y este. Rețineți, însă, că surjectivitatea unui homeomorfism local f nu este suficientă pentru a păstra proprietatea unui spațiu care trebuie pur și simplu conectat : a se vedea primul exemplu de mai sus.
  • Compoziția a două homeomorfisme locale este un alt homeomorfism local.
  • Două spații topologice între care se poate stabili un homeomorfism local se numesc local homeomorf . După cum sa menționat mai sus, două spații homeomorfe sunt homeomorfe la nivel local, dar inversul nu este întotdeauna adevărat. În general, două spații topologice homeomorfe local împărtășesc toate proprietățile locale, dar nu și cele globale; de exemplu, un spațiu care este pur și simplu conectat poate fi local homeomorf (dar numai local) la un spațiu care nu este conectat pur și simplu; de fapt, torul este local homeomorf pentru plan .

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică