Omologie (topologie)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Omologia este un instrument matematic care „măsoară” forma unui obiect. Rezultatul acestei măsurări este un obiect algebric, o succesiune de grupuri . În mod informal, aceste grupuri codifică numărul și tipul de "găuri" prezente în obiect.

Omologia , împreună cu homotopia , este un concept fundamental al topologiei algebrice . Este o procedură prin care unui anumit obiect matematic (cum ar fi un spațiu topologic sau un grup ) i se atribuie o succesiune de grupuri abeliene , care oferă într-un fel informații despre obiectul luat în considerare.

În topologie , omologia unui spațiu topologic este un grup abelian

care măsoară informal numărul de "găuri". -dimensional "al spațiului . Un concept analog este grupul fundamental .

Descriere

Omologia unui spațiu topologic este o succesiune de grupuri abeliene , care sunt indicate după cum urmează:

În mod informal, grupul descrie „găurile -dimensional "de . Există diverse modalități (în esență echivalente) de definire a omologiei: prin urmare, în funcție de caz, vorbim de omologie singulară , omologie simplială etc.

O circumferință are o „gaură” unidimensională, deci are primul grup de omologie egal cu .
O sferă are o gaură bidimensională, deci are al doilea grup de omologie egal cu .

Un exemplu cheie este furnizat de sferă -dimensional, indicat în matematică cu simbolul . Această „sferă” este de fapt o circumferință de mărime , și este suprafața sferică obișnuită pentru . Poate fi descris ca locusul punctelor din spațiul euclidian -dimensional care satisface următoarea ecuație:

Omologia sferei este următorul:

Simbolurile Și indicați grupul de numere întregi și respectiv grupul trivial . Omologia sferei este deci banal pentru fiecare , cu excepția valorilor 0 și . Non-banalitate pentru este un fapt general, valabil pentru fiecare spațiu topologic. Informațiile pentru înregistrează în schimb existența unei "găuri" -dimensional.

Un cerc nu are găuri: toate grupurile sale de omologie sunt banale (cu excepția ).

Această gaură -dimensional poate fi „plafonat” prin adăugarea la sferă a părții sale interne (adică porțiunea de plan sau spațiu mărginită de sferă). Circumferința devine astfel un cerc, iar sfera devine o sferă solidă, adică o minge. În matematică, obiectul obținut prin conectarea sferei se numește disc (sau bilă ): este indicat de simbol și poate fi definit ca locusul punctelor care satisface următoarea inegalitate:

Omologia discului este afectată de faptul că gaura a fost înfundată:

Toate grupurile de omologie (cu excepția celui cu ) sunt banale: în mod informal, discul nu conține găuri.

Torul are o omologie mai complexă decât sfera. Grupul este intr-adevar .
Această suprafață cu 3 găuri are o omologie chiar mai complexă decât cea a torului. Grupul de omologie este intr-adevar . Mai general, grupul a unei astfel de suprafețe cu găuri este .

Un spațiu topologic poate avea mai multe găuri de diferite dimensiuni. De exemplu taurul are toate primele trei grupuri de omologie nontrivială:

Prin urmare, omologia este utilizată în primă instanță ca instrument de distingere a obiectelor topologice.

Definiție

Omologia unui spațiu topologic este construit printr-un proces algebric destul de rafinat. Este construit începând de la un complex de lanțuri . Complexul lanțului este o succesiune de grupuri abeliene și homomorfisme chemați operatori la bord . Toate aceste obiecte pot fi descrise printr-un lanț de simboluri după cum urmează:

unde este

 indică grupul banal . De asemenea, este necesar ca componența a doi operatori consecutivi la bord să fie nulă, adică

că pentru fiecare raportul merită

Acest lucru este echivalent cu a cere imaginea este cuprins în nucleul :

Dacă imaginea și nucleul coincid pentru fiecare se spune că secvența este exactă . În general, însă, acest lucru nu se întâmplă; omologia „măsoară” cât de departe este secvența de a fi exactă.

Din moment ce fiecare grup este Abelian , imaginile sunt toate subgrupuri normale și, prin urmare, este posibil să se definească -al grupul de omologie ca grup de coeficient

Următoarea notație este, de asemenea, adesea folosită

Elementele din Și se numesc bucle și respectiv margini . Omologia este deci

Complexul lanțului poate fi construit în diferite moduri, dar omologia rezultată este în general echivalentă. În funcție de metoda aleasă pentru construire vorbim deci de omologie simplicială , singulară , celulară etc.

Proprietate

Funcționalitate

Omologia este un functor din categoria spațiilor topologice în cea a grupurilor abeliene . Cu alte cuvinte, omologie (la fiecare nivel fix ) se asociază cu fiecare spațiu un grup funcțional : fiecare funcție continuă

induce un homomorfism al grupurilor

care satisface unele axiome naturale:

  • de sine atunci este identitate este identitatea,
  • operația „ comută ” cu compoziția: .

De exemplu, două fapte non-banale derivă din aceste două axiome:

  • de sine atunci este un homeomorfism este un izomorfism ,
  • de sine este o retragere pe un subset din , asa de este surjectiv (și incluziune induce o hartă injectiv ).

Inel cu coeficient

Omologia depinde nu numai de parametru , chiar și din alegerea unui inel . Grupurile a complexului lanțului se dovedesc a fi module activate . Chiar și grupurile de omologie sunt zei -module și sunt indicate cu simbolul

În cele mai multe cazuri este inelul numerelor întregi sau un câmp . De sine este un domeniu al grupurilor de omologie sunt spații vectoriale și dimensiunea lor (dacă este finită) se numește număr Betti :

Numărul lui Betti poate fi interpretat aproximativ ca „numărul de găuri”. -dimensional "de .

De sine grupul de omologie este inelul întregilor este un grup abelian care poate conține în general elemente de torsiune .

Homotopie

Omologia este invariantă de homotopie : deformările continue ale hărților și spațiilor lasă omologia neschimbată. Mai exact, două hărți

homotopii induc același homomorfism

Printre consecințele acestui fapt:

  • Două spații echivalente homotopic au grupuri de omologie izomorfă,
  • Dacă un subset din este o retractare de deformare a , incluziune induce un izomorfism în omologie.

Complexe celulare, soiuri

Dacă spațiul topologic poate fi descris ca un complex de celule, este posibil să se calculeze cu ușurință omologia folosind omologia celulară . În mod similar, dacă poate fi descris ca un complex simplicial, se poate folosi omologie simplicial .

De sine este un complex cu un număr finit de celule și inelul de bază este un domeniu , urmează următoarele fapte:

  • Spațiul vectorial are dimensiuni finite pentru fiecare .
  • De sine este dimensiunea maximă a celulelor, atunci pentru fiecare .

Prin aceste ipoteze, caracteristica Euler este deci bine definită

Caracteristica Euler este un important invariant al spațiului topologic . Spre deosebire de numerele Betti, caracteristica nu depinde de câmp alegere.

De exemplu, fiecare varietate compactă de mărime diferențiată poate fi descris ca un complex de celule finite.

Grup zero zero

Grupul de omologie este întotdeauna izomorfă pentru , unde este este numărul de componente conectate prin arcuri ale spațiului topologic . În special, dacă este conectat prin arcuri se menține următorul izomorfism:

Indexarea grupului unu

De sine este un spațiu conectat prin margini , grupul de omologie întregi de index 1 este determinat de grupul fundamental din . De fapt, este grupul fundamental abelianizat :

adică coeficient pentru subgrupul său derivat , cel mai mic subgrup normal de care conține toți comutatorii elementelor sale. Cocientul este de fapt un grup abelian: în general, grupurile de omologie sunt toate abeliene, în timp ce grupul fundamental poate să nu fie.

Analogia cu grupurile de homotopie se încheie la acest nivel: al doilea grup de omologie nu este determinat de al doilea grup de homotopie .

Grup index maxim

De sine este o varietate de dimensiuni , toate grupurile de omologie cu un indice mai mare de sunt banale. Grupul index maxim este determinată și de două condiții topologice: orientabilitatea și compactitatea . De sine este inelul de numere întregi sau un câmp și este conectat, urmează următorul fapt:

Prin „compact” înțelegem „compact fără margine” (adică închis ).

Exemple

O varietate compactă (mai general, un complex de celule finite) ca dimensiune are toate grupurile de ordine de omologie mai mari decât banal. Pentru a cunoaște omologia unui astfel de spațiu este, prin urmare, suficient să enumerăm grupurile de ordine până la . Omologia este definită pe un inel (în general, inelul întreg sau un câmp).

Sferele

După cum sa menționat deja, omologia sferei -dimensional este următorul:

Suprafețe

O suprafață orientabilă gen compact are următoarele grupuri de omologie:

Spații proiective

Spațiul proiectiv complex este o varietate de dimensiuni . Grupurile sale de omologie sunt după cum urmează.

Pe scurt, grupurile de ordin egal sunt izomorfe pentru iar cele de ordin ciudat sunt banale.

Omologia spațiului proiectiv real este mai complicată: aceasta depinde de fapt de inel . De exemplu, dacă este inelul întregilor, se obțin următoarele grupe:

Grupurile cu indice impar sunt deci grupuri ciclice de ordinul 2, cu excepția eventuală a ultimului. Spațiul proiectiv real este orientabil numai pentru ciudat: numai în acest caz grupul de omologie de ordin maxim este izomorfă la .

Aplicații

Teorema lui Brouwer

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: teorema punctului fix al lui Brouwer .
De sine nu are un punct fix, există o retragere a sferei de pe margine.

Cu omologie este posibil să se demonstreze teorema punctului fix al lui Brouwer , care afirmă că fiecare funcție continuă de pe disc -dimensional în sine are un punct fix . Dovada se desfășoară în felul următor: dacă absurd nu a existat un punct fix, punctele Și ar fi distincte pentru fiecare : intersectând linia care trece prin aceste două puncte cu marginea discului, se construiește o retragere de la disc până la marginea sa.

Cu toate acestea, nu există retragere de pe disc către marginea acestuia: de fapt, o astfel de hartă ar trebui să inducă o hartă surjectivă

în omologie. Acest lucru este imposibil, pentru că pentru omologia discului este banală și cea a sferei nu.

Spații non-homeomorfe

Omologia este un instrument util pentru distingerea spațiilor topologice. De exemplu, sfera și spațiul proiectiv complex sunt două soiuri de aceeași dimensiune . Amândoi sunt pur și simplu conectați . De sine , spațiile Și ele sunt de fapt homeomorfe . Pentru totuși nu sunt, deoarece au omologii diferite: cea a sferei este întotdeauna banală (cu excepția ) în timp ce cel al spațiului proiectiv este non-banal pentru fiecare chiar.

Instrumente

Succesiunea lui Mayer-Vietoris

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: succesiunea Mayer-Vietoris .
Omologia sferei poate fi calculată prin reprezentarea ca o uniune a două deschise și folosind secvența exactă.

Secvența Mayer-Vietoris este un instrument util important pentru calcularea omologiei unui spațiu topologic pornind de la „descompunerea” sa: mai precis, pornind de la acoperirea sa în două spații deschise . În mod similar teoremei lui Van Kampen pentru grupurile fundamentale, secvența raportează grupurile de omologie ale spațiilor , , Și . Omologiile acestor spații formează o succesiune lungă exactă :

Dacă cunoașteți omologiile iar hărțile naturale dintre acestea este deci posibil să se deducă omologia pentru .

Formula lui Künneth

Formula Künneth permite calcularea omologiei unui produs plecând de la omologiile factorilor unici Și . Când inelul este un câmp, formula este după cum urmează:

Formula folosește produsul tensor între spații vectoriale.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 45391 · LCCN ( EN ) sh85061770
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica