Omologie singulară

În topologie, omologia singulară este o construcție care permite asocierea unui obiect algebric numit omologie unui spațiu topologic .

Există alte construcții care produc în esență aceeași omologie, de exemplu omologie simplială și omologie celulară . Omologia singulară este construcția care funcționează în cea mai largă generalitate: pentru construcția sa nu este necesar ca spațiul topologic să fie un complex simplicial sau un complex de celule .

Definiție

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic . Ca orice omologie , omologia singulară este definită pornind de la un complex de lanțuri

\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0.

{\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0.}

{\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0.}

Complexul de lanț de aici este construit din noțiunea de simplex singular .

Simplex standard

Același subiect în detaliu: Simplex .

Simplexul standard al dimensiunii 2 este un triunghi în spațiu

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ R ^ 3

. Vârfurile sale sunt punctele care definesc baza canonică a

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ R ^ 3

.

Simplexul standard $\Delta _{n}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ este plicul convex în $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$ puncte

e_{0},\ldots ,e_{n}

{\ displaystyle e_ {0}, \ ldots, e_ {n}}

{\ displaystyle e_ {0}, \ ldots, e_ {n}}

care formează baza canonică a $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$ . Pentru $n=1,2,3$ ${\ displaystyle n = 1,2,3}$ ${\ displaystyle n = 1,2,3}$ simplexul standard este respectiv un segment, un triunghi , un tetraedru . Punctele $e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}$ ${\ displaystyle e_ {0}, e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$ ${\ displaystyle e_ {0}, e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$ sunt vârfurile simplexului. Simplexul $\Delta _{n}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ are dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

O față de dimensiune $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ din $\Delta _{n}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ este plicul convex al $k+1$ ${\ displaystyle k + 1}$ $k + 1$ vârfuri distincte

e_{i_{0}},\ldots ,e_{i_{k}}.

{\ displaystyle e_ {i_ {0}}, \ ldots, e_ {i_ {k}}.}

{\ displaystyle e_ {i_ {0}}, \ ldots, e_ {i_ {k}}.}

Această față este identificată canonic cu simplexul standard $\Delta _{k}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {k}}$ : faptul că această identificare este canonică este un punct esențial al teoriei, care depinde de faptul că vârfurile simplexului standard sunt ordonate. De sine $i_{0}<\ldots <i_{k}$ ${\ displaystyle i_ {0} <\ ldots <i_ {k}}$ ${\ displaystyle i_ {0} <\ ldots <i_ {k}}$ , Identificare $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este astfel încât

F(e_{i_{j}})=e_{j}

{\ displaystyle F (e_ {i_ {j}}) = e_ {j}}

{\ displaystyle F (e_ {i_ {j}}) = e_ {j}}

și se extinde prin combinație convexă pe întreaga față.

Dacă dimensiunea nu este specificată, pe fața de $\Delta _{n}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ ne referim la o față a dimensiunii $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ : acestea joacă un rol important în construcția omologiei singulare. Simplexul $\Delta _{n}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ are deci $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ fețe $f_{0},\ldots ,f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {0}, \ ldots, f_ {n}}$ opus vârfurilor $e_{0},\ldots ,e_{n}$ ${\ displaystyle e_ {0}, \ ldots, e_ {n}}$ ${\ displaystyle e_ {0}, \ ldots, e_ {n}}$ .

Simplex unic

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic Un simplex singular este o hartă continuă

\sigma \colon \Delta _{n}\to X

{\ displaystyle \ sigma \ colon \ Delta _ {n} \ to X}

{\ displaystyle \ sigma \ colon \ Delta _ {n} \ to X}

de la simplex standard în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . De asemenea aici $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este dimensiunea simplexului singular. Marginea $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea $\partial _{i}\sigma$ ${\ displaystyle \ partial _ {i} \ sigma}$ ${\ displaystyle \ partial _ {i} \ sigma}$ a simplexului singular $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este simplexul singular al dimensiunii $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ ca urmare a:

\partial _{i}\sigma \colon \Delta _{n-1}\to X

{\ displaystyle \ partial _ {i} \ sigma \ colon \ Delta _ {n-1} \ to X}

{\ displaystyle \ partial _ {i} \ sigma \ colon \ Delta _ {n-1} \ to X}

definit prin îngustare $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ la $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a fața a $\Delta _{n}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n}}$ (identificat canonic cu $\Delta _{n-1}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n-1}}$ ).

Complexul lanțului

Un lanț este o combinație formală liniară de simplexuri singulare (toate de aceeași dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), cu coeficienți întregi

a_{1}\sigma _{1}+\ldots +a_{h}\sigma _{h}.

{\ displaystyle a_ {1} \ sigma _ {1} + \ ldots + a_ {h} \ sigma _ {h}.}

{\ displaystyle a_ {1} \ sigma _ {1} + \ ldots + a_ {h} \ sigma _ {h}.}

Numarul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ de elemente este variabilă (furnizat finit) și coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt numere întregi. Un lanț nu este o hartă: poate fi interpretat doar în mod abstract, ca o combinație formală liniară de obiecte. Lanțurile pot fi adăugate în mod natural și formează un grup abelian , notat cu $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ . Cu alte cuvinte, $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ este grupul abelian liber generat de setul tuturor simplexurilor singulare. Acest set este în general foarte mare (poate avea cardinalitate mai mult decât numărabilă chiar și pentru spații $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ foarte simplu).

În cele din urmă, pentru a defini un complex de lanțuri este necesar să se introducă o hartă de margine

\partial \colon C_{n}\to C_{n-1}.

{\ displaystyle \ partial \ colon C_ {n} \ to C_ {n-1}.}

{\ displaystyle \ partial \ colon C_ {n} \ to C_ {n-1}.}

pentru fiecare $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ . Harta este definită pe fiecare simplex singular $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în felul următor:

\partial \sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\partial _{i}\sigma .

{\ displaystyle \ partial \ sigma = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ partial _ {i} \ sigma.}

{\ displaystyle \ partial \ sigma = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ partial _ {i} \ sigma.}

Harta $\partial$ ${\ displaystyle \ partial}$ $\ parțial$ se extinde deci prin liniaritate la orice $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ .

Omologie

Construcția descrisă produce în cele din urmă un complex de lanțuri

\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0.

{\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0.}

{\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0.}

Alternanța semnelor în definiția $\partial$ ${\ displaystyle \ partial}$ $\ parțial$ are un efect important: compoziția a două margini succesive este întotdeauna harta banală, adică cea care trimite fiecare simplex în zero (zero în $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ este combinația liniară goală). De fapt, faceți marginea unui de două ori $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - complex singular obținem un lanț în care fiecare $(n-2)$ ${\ displaystyle (n-2)}$ ${\ displaystyle (n-2)}$ - subcomplexul singular apare de două ori, dar cu semne opuse. Prin urmare, proprietatea este valabilă

\partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0.

{\ displaystyle \ partial _ {n} \ circ \ partial _ {n + 1} = 0.}

{\ displaystyle \ partial _ {n} \ circ \ partial _ {n + 1} = 0.}

În acest moment, omologia singulară este definită pornind de la acest complex cu o procedură standard, utilizată în toate teoriile omologice . Acesta definește $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - al treilea grup de omologie singulară $H_{n}(X)$ ${\ displaystyle H_ {n} (X)}$ $H_ {n} (X)$ ca grup de coeficient

H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1}).

{\ displaystyle H_ {n} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1}).}

H_ {n} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / {\ mathrm {im}} (\ partial _ {{n + 1}}).

Bibliografie

(EN) Allen Hatcher, topologie algebrică. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X și ISBN 0-521-79540-0
( EN ) JP May, Un curs concis de topologie algebrică , Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9
( EN ) Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1