Homotopie

Ilustrarea unei homotopii

H.

{\ displaystyle H}

H.

între două curbe,

\gamma _{0}

{\ displaystyle \ gamma _ {0}}

\ gamma _ {{0}}

Și

\gamma _{1}

{\ displaystyle \ gamma _ {1}}

\ gamma _ {{1}}

În topologie , două funcții continue dintr-un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ altcuiva $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ acestea se numesc homotop (din grecesc homos = identic și topos = loc) dacă unul din cele două poate fi „deformat continuu” în cealaltă, iar această transformare se numește homotopie între cele două funcții.

O utilizare importantă a homotopiei este în definirea grupurilor de homotopie (cea mai importantă dintre acestea este grupul fundamental ), invarianți foarte importanți pentru a distinge spațiile topologice non- homeomorfe și pentru a formaliza riguros noțiuni intuitive precum „numărul de găuri” ale unui spațiu. Homotopia definește o relație de echivalență pe setul de funcții continue din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Definiție formală

O homotopie între o ceașcă și o gogoașă.

În mod formal, o omotopie între două funcții continue $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ dintr-un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ către un spațiu topologic $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este o funcție continuă $H\colon X\times [0,1]\to Y$ ${\ displaystyle H \ colon X \ times [0,1] \ to Y}$ $H \ colon X \ times [0,1] \ to Y$ din produsul spațiului $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu intervalul unitar $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât, pentru toate punctele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $H(x,0)=f(x)$ ${\ displaystyle H (x, 0) = f (x)}$ $H (x, 0) = f (x)$ Și $H(x,1)=g(x)$ ${\ displaystyle H (x, 1) = g (x)}$ $H (x, 1) = g (x)$ .

Dacă ne gândim la al doilea parametru al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ ca „timpul” atunci $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ descrie o „deformare continuă” a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : în momentul în care avem funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , la momentul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ avem funcția $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Exemple

Două funcții continue $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle f, g \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ $f, g \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}$ oricare dintre spațiile euclidiene sunt homotopice. De fapt, unul se poate transforma continuu unul în celălalt cu următoarea homotopie:

G\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{m}

{\ displaystyle G \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ times [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {m}}

G \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ times [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {m}

G(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)

{\ displaystyle G (x, t) = tf (x) + (1-t) g (x)}

G (x, t) = tf (x) + (1-t) g (x)

Același rezultat este valabil pentru orice pereche de funcții $f,g\colon X\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle f, g \ colon X \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ $f, g \ colon X \ to \ mathbb {R} ^ {m}$ definit pe un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ arbitrar. Observăm că, deși $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt injectivi , „deformarea la acel moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ " dat de $tf(x)+(1-t)g(x)$ ${\ displaystyle tf (x) + (1-t) g (x)}$ $tf (x) + (1-t) g (x)$ s-ar putea să nu fie injectiv.

Proprietate

Relația de echivalență

A fi homotopi este o relație de echivalență pe ansamblul tuturor funcțiilor continue din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Această relație de homotopie este compatibilă cu compoziția funcțiilor în acest sens: dacă $f_{1},g_{1}\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f_ {1}, g_ {1} \ colon X \ to Y}$ $f_ {1}, g_ {1} \ colon X \ to Y$ sunt homotopice și $f_{2},g_{2}\colon Y\to Z$ ${\ displaystyle f_ {2}, g_ {2} \ colon Y \ to Z}$ $f_ {2}, g_ {2} \ colon Y \ to Z$ compozițiile lor sunt și homotopice $f_{2}\circ f_{1}\colon X\to Z$ ${\ displaystyle f_ {2} \ circ f_ {1} \ colon X \ to Z}$ $f_ {2} \ circ f_ {1} \ colon X \ to Z$ Și $g_{2}\circ g_{1}\colon X\to Z$ ${\ displaystyle g_ {2} \ circ g_ {1} \ colon X \ to Z}$ $g_ {2} \ circ g_ {1} \ colon X \ to Z$ Sunt homotopic.

O functie $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ se spune homotopic nul dacă este homotopic cu funcție constantă. De sine $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este conectat prin margini , funcții constante de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ toate sunt homotopice între ele. Un spațiu topologic conectat prin arcuri $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ deci fiecare funcție continuă $f\colon X\to X$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ $f \ colon X \ to X$ omotopic nimic nu se numește contractil sau contractibil . După cum s-a văzut mai sus, un spațiu euclidian este contractil. Intuitiv, un spațiu contractil poate fi „contractat într-un punct” continuu.

Un spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este contractil dacă și numai dacă aplicația identică dă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în sine nu este omotopic nimic.

Spații echivalente din punct de vedere homotopic

Având două spații $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , spunem că sunt echivalente din punct de vedere homotopic sau că au același tip de omotopie dacă există două funcții $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ Și $g\colon Y\to X$ ${\ displaystyle g \ colon Y \ to X}$ $g \ colon Y \ la X$ astfel încât $g\circ f$ ${\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ este omotopic funcției identitare $\mathrm {id} _{X}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {X}}$ ${\ mathrm {id}} _ {X}$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $f\circ g$ ${\ displaystyle f \ circ g}$ $f \ circ g$ este omotopic funcției identitare $\mathrm {id} _{Y}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {Y}}$ ${\ mathrm {id}} _ {Y}$ pe $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Aplicații $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ se numesc echivalențe homotopice .

Se arată cu ușurință că un spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este contractil dacă și numai dacă este echivalent homotopic spațiului topologic $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ realizat dintr-un singur punct. În mod clar, fiecare homeomorfism este o echivalență a homotopiei, dar inversul nu este întotdeauna adevărat: un spațiu euclidian este contractil, dar nu este homeomorf până la un punct.

Intuitiv, două spații $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt echivalente din punct de vedere homotopic dacă pot fi transformate una în cealaltă cu operații de deformare, contracție și expansiune. De exemplu, o minge este echivalentă omotopic cu un punct while $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}}$ $\ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}$ este echivalent homotopic cu circumferința $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ .

Un spațiu echivalent homotopic cu un punct se numește contractil sau contractibil . Exemple de spații contractabile sunt mingea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional e $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , pentru orice $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Un alt exemplu este suprafața hipersferei $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ciudat, care are o caracteristică Euler $\chi =0$ ${\ displaystyle \ chi = 0}$ $\ chi = 0$ , egală cu cea a punctului (pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ chiar, caracteristica este valabilă $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , cum ar fi cea a suprafeței sferice).

Proprietăți invariante pentru homotopie

Multe dintre proprietățile invariante sub homeomorfism sunt de fapt invariante și sub homotopie. De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ atunci sunt echivalente din punct de vedere homotopic

de sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este conectat , apoi este și conectat $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$
de sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este conectat prin șiruri , apoi este și conectat $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$
de sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt conectate prin margini, apoi grupurile fundamentale ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt izomorfe, la fel ca și grupurile de homotopie superioare.
în special, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este pur și simplu conectat , apoi este și conectat $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$
grupurile de omologie și cohomologie ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt izomorfe
genul unei suprafețe este invariant de homotopie.

În special, un spațiu contractabil este pur și simplu conectat. Reversul nu este adevărat: sfera $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ este pur și simplu conectat pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai mare de 1 și care nu se pliază.

Pe de altă parte, există concepte care disting spațiile homotopice, dar nu homeomorfe. Există exemple de spații $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ echivalent homotopic unde:

$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Nu ( $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un punct și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ un spațiu euclidian)
$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate topologică sau diferențiată e $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Nu
$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt soiuri topologice de diferite dimensiuni
$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ au o omologie de suport compactă diferită

Categoria de homotopii și invarianți pentru homotopii

Mai abstract, se poate recurge la conceptele de teorie a categoriilor . Putem defini o categorie de homotopii , ale căror obiecte sunt spații topologice și ale căror morfisme sunt clase de homotopie de aplicații continue. Două spații topologice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt izomorfi în această categorie dacă și numai dacă sunt echivalenți homotopic.

Un invariant pentru homotopii este orice funcție pe spațiu (sau pe aplicații), care respectă relația de echivalență a homotopiei (respectiv homotopie ); astfel de invarianți fac parte din teoria homotopiilor .

Un exemplu de invariant pentru homotopii este grupul fundamental al unui spațiu.

În practică, teoria homotopiilor se realizează lucrând la complexe CW , pentru comoditate tehnică.

Homotopie relativă

Este necesar să se definească noțiunea de homotopie referitoare la un sub spațiu , în special pentru a defini grupul fundamental . Există homotopii care mențin fixate elementele unui subspațiu. În mod formal: dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt aplicații continue de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , atunci să spunem asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt homotopici în raport cu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dacă există o homotopie $H\colon X\times [0,1]\to Y$ ${\ displaystyle H \ colon X \ times [0,1] \ to Y}$ $H \ colon X \ times [0,1] \ to Y$ între $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ astfel încât $H(k,t)=f(k)=g(k)$ ${\ displaystyle H (k, t) = f (k) = g (k)}$ $H (k, t) = f (k) = g (k)$ pentru fiecare $k\in K$ ${\ displaystyle k \ în K}$ $k \ în K$ Și $t\in [0,1]$ ${\ displaystyle t \ in [0,1]}$ $t \ in [0,1]$ .

Izotopie

În cazul în care cele două funcții continue date $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din spațiul topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la spațiul topologic $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt un homeomorfism cu imaginea (adică sunt un homeomorfism dacă este restricționat de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la imaginea lor), se poate întreba dacă pot fi conectate „prin homeomorfisme cu imaginea”. Aceasta dă naștere conceptului de izotopie , adică o homotopie $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (în notația utilizată anterior) astfel încât pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ fix, $H(x,t)$ ${\ displaystyle H (x, t)}$ $H (x, t)$ este un homeomorfism asupra imaginii.

Cererea ca două funcții să fie izotopice este o cerere mult mai puternică decât cererea de homotopie. De exemplu:

aplicația de pe discul unității $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ definit de $f(x,y)=(-x,-y)$ ${\ displaystyle f (x, y) = (- x, -y)}$ $f (x, y) = (- x, -y)$ , care constă dintr-o rotație de 180 de grade față de origine, este izotop pe hartă identic: cele două hărți pot fi conectate prin rotații unghiulare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ variind de la 0 grade la 180
aplicarea din interval $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ definit de $f(x)=-x$ ${\ displaystyle f (x) = - x}$ $f (x) = - x$ nu este izotop pentru identitate! (pe de altă parte, toate hărțile cu valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ Sunt homotopic, pentru că $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ este contractil)
În general, aplicarea din mingea în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ definit de $f(v)=-v$ ${\ displaystyle f (v) = - v}$ $f (v) = - v$ este izotop pentru identitate dacă și numai dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este chiar: asta pentru că pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ciudat această hartă schimbă orientarea mingii.

Izotopie ambientală

O izotopie ambientală a unui spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o izotopie între funcția de identitate $\mathrm {id} \colon X\to X$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} \ colon X \ to X}$ ${\ mathrm {id}} \ colon X \ to X$ și un alt homeomorfism $f\colon X\to X$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ $f \ colon X \ to X$ .

Izotopia ambientală este utilizată pentru a construi relații de echivalență între subspaiile unor spații topologice, de exemplu în teoria nodurilor : când este sensibil să considerăm două noduri ca echivalente? Să luăm două noduri $K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ Și $K_{2}$ ${\ displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ într-un spațiu tridimensional . Ideea intuitivă de „deformare” a unui nod în celălalt corespunde tocmai unei izotopii de mediu între funcția de identitate $\mathrm {id} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ mathrm {id}} \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}$ și un homeomorfism $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ $f \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}$ care aduce primul nod în al doilea, adică astfel încât $f(K_{1})=K_{2}$ ${\ displaystyle f (K_ {1}) = K_ {2}}$ $f (K_ {1}) = K_ {2}$ .

Bibliografie

Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008. ISBN 978-88-470-0756-7 .
Allen Hatcher, topologie algebrică. (2002) Cambridge University Press, xii + 544 pp. ISBN 0-521-79160-X și ISBN 0-521-79540-0 .
MA Armstrong, Topologie de bază , Springer, 1979, ISBN 0-387-90839-0 .
Edwin Spanier, Algebraic Topology , Springer, decembrie 1994, ISBN 0-387-94426-5 .