Homotopie
În topologie , două funcții continue dintr-un spațiu topologic altcuiva acestea se numesc homotop (din grecesc homos = identic și topos = loc) dacă unul din cele două poate fi „deformat continuu” în cealaltă, iar această transformare se numește homotopie între cele două funcții.
O utilizare importantă a homotopiei este în definirea grupurilor de homotopie (cea mai importantă dintre acestea este grupul fundamental ), invarianți foarte importanți pentru a distinge spațiile topologice non- homeomorfe și pentru a formaliza riguros noțiuni intuitive precum „numărul de găuri” ale unui spațiu. Homotopia definește o relație de echivalență pe setul de funcții continue din la .
Definiție formală
În mod formal, o omotopie între două funcții continue Și dintr-un spațiu topologic către un spațiu topologic este o funcție continuă din produsul spațiului cu intervalul unitar la astfel încât, pentru toate punctele în , Și .
Dacă ne gândim la al doilea parametru al ca „timpul” atunci descrie o „deformare continuă” a în : în momentul în care avem funcția , la momentul avem funcția .
Exemple
Două funcții continue oricare dintre spațiile euclidiene sunt homotopice. De fapt, unul se poate transforma continuu unul în celălalt cu următoarea homotopie:
Același rezultat este valabil pentru orice pereche de funcții definit pe un spațiu topologic arbitrar. Observăm că, deși Și sunt injectivi , „deformarea la acel moment " dat de s-ar putea să nu fie injectiv.
Proprietate
Relația de echivalență
A fi homotopi este o relație de echivalență pe ansamblul tuturor funcțiilor continue din la . Această relație de homotopie este compatibilă cu compoziția funcțiilor în acest sens: dacă sunt homotopice și compozițiile lor sunt și homotopice Și Sunt homotopic.
O functie se spune homotopic nul dacă este homotopic cu funcție constantă. De sine este conectat prin margini , funcții constante de la în toate sunt homotopice între ele. Un spațiu topologic conectat prin arcuri deci fiecare funcție continuă omotopic nimic nu se numește contractil sau contractibil . După cum s-a văzut mai sus, un spațiu euclidian este contractil. Intuitiv, un spațiu contractil poate fi „contractat într-un punct” continuu.
Un spațiu este contractil dacă și numai dacă aplicația identică dă în sine nu este omotopic nimic.
Spații echivalente din punct de vedere homotopic
Având două spații Și , spunem că sunt echivalente din punct de vedere homotopic sau că au același tip de omotopie dacă există două funcții Și astfel încât este omotopic funcției identitare pe Și este omotopic funcției identitare pe . Aplicații Și se numesc echivalențe homotopice .
Se arată cu ușurință că un spațiu este contractil dacă și numai dacă este echivalent homotopic spațiului topologic realizat dintr-un singur punct. În mod clar, fiecare homeomorfism este o echivalență a homotopiei, dar inversul nu este întotdeauna adevărat: un spațiu euclidian este contractil, dar nu este homeomorf până la un punct.
Intuitiv, două spații Și sunt echivalente din punct de vedere homotopic dacă pot fi transformate una în cealaltă cu operații de deformare, contracție și expansiune. De exemplu, o minge este echivalentă omotopic cu un punct while este echivalent homotopic cu circumferința .
Un spațiu echivalent homotopic cu un punct se numește contractil sau contractibil . Exemple de spații contractabile sunt mingea -dimensional e , pentru orice . Un alt exemplu este suprafața hipersferei pentru ciudat, care are o caracteristică Euler , egală cu cea a punctului (pentru chiar, caracteristica este valabilă , cum ar fi cea a suprafeței sferice).
Proprietăți invariante pentru homotopie
Multe dintre proprietățile invariante sub homeomorfism sunt de fapt invariante și sub homotopie. De sine Și atunci sunt echivalente din punct de vedere homotopic
- de sine este conectat , apoi este și conectat
- de sine este conectat prin șiruri , apoi este și conectat
- de sine Și sunt conectate prin margini, apoi grupurile fundamentale ale Și sunt izomorfe, la fel ca și grupurile de homotopie superioare.
- în special, dacă este pur și simplu conectat , apoi este și conectat
- grupurile de omologie și cohomologie ale Și sunt izomorfe
- genul unei suprafețe este invariant de homotopie.
În special, un spațiu contractabil este pur și simplu conectat. Reversul nu este adevărat: sfera este pur și simplu conectat pentru fiecare mai mare de 1 și care nu se pliază.
Pe de altă parte, există concepte care disting spațiile homotopice, dar nu homeomorfe. Există exemple de spații Și echivalent homotopic unde:
- este compact și Nu ( este un punct și un spațiu euclidian)
- este o varietate topologică sau diferențiată e Nu
- Și sunt soiuri topologice de diferite dimensiuni
- Și au o omologie de suport compactă diferită
Categoria de homotopii și invarianți pentru homotopii
Mai abstract, se poate recurge la conceptele de teorie a categoriilor . Putem defini o categorie de homotopii , ale căror obiecte sunt spații topologice și ale căror morfisme sunt clase de homotopie de aplicații continue. Două spații topologice Și sunt izomorfi în această categorie dacă și numai dacă sunt echivalenți homotopic.
Un invariant pentru homotopii este orice funcție pe spațiu (sau pe aplicații), care respectă relația de echivalență a homotopiei (respectiv homotopie ); astfel de invarianți fac parte din teoria homotopiilor .
Un exemplu de invariant pentru homotopii este grupul fundamental al unui spațiu.
În practică, teoria homotopiilor se realizează lucrând la complexe CW , pentru comoditate tehnică.
Homotopie relativă
Este necesar să se definească noțiunea de homotopie referitoare la un sub spațiu , în special pentru a defini grupul fundamental . Există homotopii care mențin fixate elementele unui subspațiu. În mod formal: dacă Și sunt aplicații continue de la la Și este un subset de , atunci să spunem asta Și sunt homotopici în raport cu dacă există o homotopie între Și astfel încât pentru fiecare Și .
Izotopie
În cazul în care cele două funcții continue date Și din spațiul topologic la spațiul topologic sunt un homeomorfism cu imaginea (adică sunt un homeomorfism dacă este restricționat de la imaginea lor), se poate întreba dacă pot fi conectate „prin homeomorfisme cu imaginea”. Aceasta dă naștere conceptului de izotopie , adică o homotopie (în notația utilizată anterior) astfel încât pentru fiecare fix, este un homeomorfism asupra imaginii.
Cererea ca două funcții să fie izotopice este o cerere mult mai puternică decât cererea de homotopie. De exemplu:
- aplicația de pe discul unității definit de , care constă dintr-o rotație de 180 de grade față de origine, este izotop pe hartă identic: cele două hărți pot fi conectate prin rotații unghiulare cu variind de la 0 grade la 180
- aplicarea din interval în definit de nu este izotop pentru identitate! (pe de altă parte, toate hărțile cu valori în Sunt homotopic, pentru că este contractil)
- În general, aplicarea din mingea în definit de este izotop pentru identitate dacă și numai dacă este chiar: asta pentru că pentru ciudat această hartă schimbă orientarea mingii.
Izotopie ambientală
O izotopie ambientală a unui spațiu topologic este o izotopie între funcția de identitate și un alt homeomorfism .
Izotopia ambientală este utilizată pentru a construi relații de echivalență între subspaiile unor spații topologice, de exemplu în teoria nodurilor : când este sensibil să considerăm două noduri ca echivalente? Să luăm două noduri Și într-un spațiu tridimensional . Ideea intuitivă de „deformare” a unui nod în celălalt corespunde tocmai unei izotopii de mediu între funcția de identitate și un homeomorfism care aduce primul nod în al doilea, adică astfel încât .
Bibliografie
- Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008. ISBN 978-88-470-0756-7 .
- Allen Hatcher, topologie algebrică. (2002) Cambridge University Press, xii + 544 pp. ISBN 0-521-79160-X și ISBN 0-521-79540-0 .
- MA Armstrong, Topologie de bază , Springer, 1979, ISBN 0-387-90839-0 .
- Edwin Spanier, Algebraic Topology , Springer, decembrie 1994, ISBN 0-387-94426-5 .
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe homotopie
linkuri externe
- ( EN ) Homotopy , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Controlul autorității | Tesauro BNCF 45393 · LCCN (EN) sh85061803 · GND (DE) 4025803-8 · BNF (FR) cb11939592h (dată) · NDL (EN, JA) 00.563.393 |
---|