Val

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Wave (dezambiguizare) .
Unda de suprafață în apă (exemplu de undă capilară )

Valul , în fizică , indică o perturbare care apare dintr-o sursă și se propagă în timp și spațiu , transportând energie sau impuls fără a implica o deplasare asociată a materiei . [1] Din punct de vedere matematic , o undă este o soluție a ecuației undei sau a variantelor sale mai complicate, a căror expresie variază în funcție de tipul perturbației.

O undă se poate propaga atât prin materie, cât și în vid , de exemplu, radiația electromagnetică și radiația gravitațională pot exista și se propagă chiar și în absența materiei, în timp ce alte fenomene de undă există doar într-un mediu fizic, care prin deformare produce forțele de întoarcere (care poate fi elastic , de exemplu, sau legat de gravitație , presiune sau tensiune superficială ) capabil să permită propagarea undei ( undă marină , undă sonoră , undă seismică etc ...). Valurile atunci când întâlnesc un obstacol pot genera diferite efecte posibile, cum ar fi reflexia , refracția , difuzia , difracția și interferența . Undele neliniare pot da naștere unor fenomene mai specifice, cum ar fi solitonii sau turbulența undelor , care constituie un domeniu de cercetare în expansiune în diferite ramuri ale fizicii.

În fizica clasică, fenomenele valurilor sunt opuse fenomenelor corpusculare . Unda, în raport cu corpusculul, apare în general ca un fenomen fizic „delocalizat”, diferit de traiectoriile urmate de particulele asemănătoare punctelor. Plecând de la fizica modernă și mecanica cuantică , asistăm la unificarea celor două clase de fenomene, cu binecunoscutuldualism undă-particulă și principiul complementarității . Acest dualism înseamnă atât că la nivel microscopic particulele elementare au și proprietăți de undă, dar și că anumite tipuri de unde pot fi tratate ca particule (vorbim în acest caz de cvasiparticule ). Exemple de cvasiparticule de acest tip sunt fononii (unde sonore cuantificate), magnonii (cuantificarea unei unde de spin) sau plasmonii (cuantificarea oscilațiilor într-o plasmă ).

Definiție

Nu este ușor să se dea o definiție autonomă și precisă a termenului undă , deși acest termen este frecvent utilizat în contexte foarte diferite. Definiția caracteristicilor necesare și suficiente care identifică fenomenul de undă este flexibilă. Intuitiv, conceptul de undă este calificat drept transportul unei perturbații în spațiu fără a implica un transport net al materiei mediului, dacă este prezent, care ocupă spațiul în sine. Fizicienii Albert Einstein și Leopold Infeld au încercat să răspundă la întrebarea „Ce este un val?” combinând acest fapt cu experiența comună:

( EN )

„O mică bârfă care începe la Washington ajunge foarte repede la New York, chiar dacă niciun individ care participă la răspândirea ei nu călătorește între aceste două orașe. Există două mișcări destul de diferite implicate, cea a zvonului, de la Washington la New York și cea a persoanelor care au răspândit zvonul. Vântul, trecând peste un câmp de cereale, înființează un val care se întinde pe tot câmpul. Aici trebuie să facem distincția între mișcarea undei și mișcarea plantelor separate, care suferă doar mici oscilații [...] Particulele care constituie mediul efectuează doar vibrații mici, dar întreaga mișcare este cea a unei unde progresive. Lucrul esențial nou aici este că pentru prima dată luăm în considerare mișcarea a ceva care nu este materie, ci energie propagată prin materie. "

( IT )

„Un zvon din Washington ajunge foarte repede la New York, chiar dacă nu una dintre persoanele care participă la răspândirea cuvântului călătorește între aceste două orașe. Există două mișcări foarte diferite în discuție: cea a vocii, de la Washington la New York și cea a oamenilor care răspândesc vestea. Vântul care trece peste un câmp de grâu generează un val care se răspândește pe tot câmpul. Aici trebuie totuși să facem distincția între mișcarea undei și mișcarea plantelor individuale, care suferă doar mici oscilații [...] Particulele care alcătuiesc mediul efectuează doar vibrații mici, dar întreaga mișcare este cea a unei unde progresive. . Lucrul esențial nou este că pentru prima dată avem în vedere mișcarea a ceva care nu este materie, ci a energiei propagate prin materie. "

( Albert Einstein și Leopold Infeld, Ce este un val? În evoluția fizicii [2] )

O vibrație poate fi definită ca mișcarea înainte și înapoi în jurul unui punct definit x , totuși o vibrație nu este neapărat o undă. De fapt, într-o undă de la suprafața apei sau de-a lungul unui șir, energia vibrațională se mișcă de la sursă sub forma unei perturbații fără o mișcare colectivă a particulelor de apă sau a frânghiei în care se propagă. [3] Cu toate acestea, această reprezentare devine problematică atunci când avem de-a face cu unde staționare (de exemplu, undele de pe corzile unei chitare), unde energia în toate direcțiile este identică și nu este transportată prin spațiu, deci uneori doar în definiția undei propagarea unei perturbări este menționată fără a necesita transportul de energie sau impuls . [4] Pentru undele electromagnetice (de exemplu, lumina) este necesar să se ia în considerare în continuare că conceptul de mediu nu poate fi aplicat, deoarece acestea se propagă și în spațiul gol.

Din aceste motive, teoria undelor reprezintă o anumită ramură a fizicii teoretice referitoare la studiul undelor, indiferent de originea lor fizică. Această particularitate derivă din faptul că teoria matematică a undelor poate fi aplicată pentru a descrie fenomenele de undă în contexte foarte diferite. De exemplu, acustica se distinge de optică prin aceea că prima se ocupă de transportul vibrațional al energiei mecanice, în timp ce a doua se referă la perturbațiile câmpului electric și magnetic. Concepte precum masa , inerția , impulsul , elasticitatea devin, prin urmare, cruciale pentru a descrie procesele de undă acustică, spre deosebire de optică . Structura particulară a mediului introduce, de asemenea, câțiva factori care trebuie luați în considerare, cum ar fi fenomenele turbionante pentru aer și apă sau structura cristalină complexă în cazul unor solide.

Cu toate acestea, alte proprietăți pot fi folosite pentru a descrie indiferent toate tipurile de unde. De exemplu, pe baza originii mecanice a undelor acustice, poate exista mișcare în spațiu și timp a unei perturbații dacă și numai dacă mediul nu este nici infinit de flexibil, nici infinit de rigid. Dacă toate părțile care alcătuiesc mediul sunt dispuse rigid una față de cealaltă, nu va fi posibilă nici o mișcare infinitesimală și, prin urmare, nu va exista nicio undă (de exemplu, idealizarea corpului rigid ). Dimpotrivă, dacă toate părțile sunt independente una de cealaltă, fără niciun fel de interacțiune reciprocă, nu va exista nicio undă, deoarece nu va exista o transmisie de energie între diferitele părți componente ale corpului. Deși aceste considerații nu pot fi aplicate undelor care nu se propagă în nici un sens, caracteristicile comune tuturor undelor pot fi încă găsite: de exemplu, într-o undă faza este diferită pentru punctele adiacente din spațiu, deoarece vibrația atinge aceste puncte la diferite ori.

În mod similar, unele fenomene care au fost descoperite în anumite contexte au fost apoi generalizate cu alte fenomene de undă. Interferența a fost studiată de Young în cazul particular al undelor de lumină, totuși a fost recent analizată în unele probleme referitoare la proprietățile atomice cuantice ale electronului . [5] [6]

Studiu

A = Valuri de apă adâncă.
B = valurile mării de suprafață. Mișcarea eliptică / circulară a suprafeței mării caracterizează un val mixt.
1 = Direcția de propagare a undei
2 = Crest
3 = Burta

O undă poate fi caracterizată printr-o singură oscilație sau printr-un tren sau o succesiune de unde cu caracteristici similare, precum periodicitatea intrinsecă. În general, valurile sunt caracterizate printr-o creastă (punct înalt), o burtă (punctul cel mai de jos) și fronturi de propagare a valurilor în cazul trenurilor de undă și sunt clasificate mai întâi ca longitudinale sau transversale . În undele transversale vibrația este perpendiculară pe direcția de propagare (de exemplu, undele de pe un șir, părțile infinitezimale se deplasează vertical în sus și în jos, în timp ce unda se propagă orizontal).

Undele longitudinale, pe de altă parte, sunt caracterizate printr-o vibrație care este de acord cu direcția de propagare a undei (de exemplu, undele sonore, particulele de aer se mișcă infinit în aceeași direcție de propagare a sunetului). Există valuri care sunt atât longitudinale, cât și transversale și se numesc valuri mixte (de exemplu valuri la suprafața mării). Parametrii de referință ai unei unde sunt amplitudinea , lungimea de undă , perioada , frecvența , faza , viteza de propagare , energia și puterea asociate acesteia. În ceea ce privește viteza unei unde, se pot defini viteza de fază și viteza de grup .

Tipuri de valuri

În funcție de caracteristicile lor, undele pot fi clasificate în mai multe moduri:

În ceea ce privește tipul de vehicul:

  • Unde mecanice : ele se propagă exclusiv în medii materiale , altele decât cele de vid, deoarece exploatează proprietățile de deformare ale mediului de propagare a acestora, deoarece aceste deformări declanșează forțe de rechemare care pot fi de un elastic de tip ( unde elastice , tipic de solide), gravitațională ( valuri de mare ), sau alt tip (legate de exemplu de tensiunea superficială sau variațiile de presiune).
  • Undele nemecanice: se pot propaga în mijloace nemateriale, adică în vid ( unde electromagnetice și unde gravitaționale ). [7]

În ceea ce privește dimensiunea mediului în care se propagă:

  • Undele unidimensionale sau liniare (de exemplu, oscilația unei frânghii)
  • Undele bidimensionale (de exemplu, undele circulare pe suprafața apei)
  • Undele tridimensionale (de exemplu , undele sonore )

În ceea ce privește direcția mișcării de oscilație față de cea de propagare:

În ceea ce privește propagarea:

În funcție de mediul în care se propagă și de caracteristica fizică pe care o folosim pentru a le reprezenta:

Unele valuri caracteristice sunt:

Mijloace de propagare

Mediul în care se deplasează undele poate fi clasificat în funcție de următoarele proprietăți:

  • Pe jumătate limitat dacă are o întindere finită (altfel se numește nelimitat )
  • Mediu omogen dacă proprietățile fizice ale mediului în oricare dintre punctele sale nu se modifică după o translație (mișcare rectilinie) din acel punct
  • Mediu izotrop dacă proprietățile fizice ale mediului în orice punct nu se modifică ca urmare a unei rotații din acel punct. A spune că un mediu este izotrop înseamnă a spune că „este la fel” în toate direcțiile (altfel se numește anizotrop )

În timpul propagării în mediu, unda este supusă atenuării de către mediu până când energia transportată este epuizată.

Efecte

Toate valurile au un comportament comun în situații standard și pot suferi următoarele efecte sau fenomene:

  • Atenuarea amplitudinii în timpul propagării în mediu.
  • Reflecție , schimbarea direcției de propagare datorată unei coliziuni cu un material reflectorizant.
  • Refracție , schimbarea direcției unei unde cauzată de schimbarea mediului de propagare (de exemplu, de densitate diferită).
  • Difracția , răspândirea valurilor, de exemplu atunci când acestea trec printr-o fantă îngustă.
  • Dispersia , împărțirea unei unde în sub unde în funcție de frecvența acestora.
  • Interferența , suma vectorială (se poate anula reciproc) a două unde care intră în contact una cu cealaltă.
  • Efect Doppler , schimbarea frecvenței unei unde periodice călătoare în raport cu direcția de observare.

Polarizare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: polarizarea radiației electromagnetice .

O undă este polarizată dacă poate oscila doar într-o singură direcție. Polarizarea unei unde transversale descrie direcția de oscilație, în plan perpendicular pe direcția de mișcare. Undele longitudinale, cum ar fi undele sonore, nu au polarizare, deoarece pentru aceste unde direcția oscilației este de-a lungul direcției mișcării. O undă poate fi polarizată cu un filtru polarizant.

Descrierea matematică

Fenomenele valurilor pot fi descrise matematic prin ecuația undei, cel puțin ca o primă aproximare. Această ecuație simplă oferă instrumente utile pentru analiza tuturor undelor și adesea, ca în cazul unei corzi vibrante , soluțiile sale reprezintă o primă aproximare valabilă pentru perturbări mici.

Ecuația undei

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: ecuația undei .

Ecuația de undă pentru o funcție scalară este o ecuație diferențială parțială hiperbolică a formei:

Într-o dimensiune, această ecuație se reduce la:

a cărei soluție generală se obține prin definirea variabilelor: [8]

și rescrierea ecuației:

a cărei soluție este deci:

adică:

Această soluție se bazează pe principiul Duhamel . [9]

Caracteristicile soluțiilor ecuației de undă

O functie de aceea reprezintă o undă cu amplitudine constantă care se propagă de-a lungul axei a unui sistem cartezian de referință dacă dependența de spațiu și în timp este dată doar de combinație : [10]

unde este este o constantă pozitivă. În funcție de subiect sau , unda se spune respectiv regresivă sau progresivă .

Un val progresiv de viteză depinde de subiect și se deplasează de-a lungul spațiului și timpului cu o viteză constantă, fără a-și schimba forma. De fapt, dacă luăm în considerare aceeași perturbare la timp , avem, pentru definiția undei:

Deoarece valul este doar o funcție a , apoi traducerea poate fi văzut ca o simplă traducere spațială a :

și apoi valul mai târziu nu este altceva decât același val al momentului , cu aceeași formă, dar tradus doar de .

Acesta definește frontul de undă locusul punctelor din spațiu în care își asumă aceeași valoare la un moment dat.

Descrierea valului

De sine este periodic în argumentul său, apoi descrie o undă periodică . Periodicitatea undei este identificată de perioadă , care reprezintă timpul necesar unui ciclu complet de oscilare. Frecvența undă este, de asemenea, numărul de perioade pe unitate de timp; dacă unitatea de timp este a doua, frecvența se măsoară în hertz .

Perioada și frecvența sunt legate de relație:

O perioadă spațială numită lungime de undă corespunde unei perioade de timp , iar relația deține:

Undă sinusoidală

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Sinusoidal .
Unda care poate fi reprezentată printr-o mișcare armonică simplă. Conform teoremei lui Fourier, fiecare undă poate fi scrisă ca o sumă (posibil infinită) de unde armonice simple

În cazul unei unde periodice, reprezentarea în seria Fourier permite descrierea undei ca suma termenilor sinusoidali de tipul:

În mod echivalent, folosind formula lui Euler , acești termeni pot fi reprezentați ca parte reală a unei funcții imaginare:

În aceste formule este vectorul de undă , care identifică direcția de propagare a undei în loc de viteza de propagare. Modulul său se numește pulsație spațială și este legat de lungimea de undă prin relația:

Urcare este amplitudinea undei și reprezintă valoarea maximă a dimensiunii reprezentative a undei într-o perioadă. Termenul reprezintă faza inițială a undei.

O undă poate fi descrisă prin frecvența sa unghiulară , care este legată de frecvență conform raportului:

Undele liniare și dispersive

În unele cazuri undele au caracteristici, cum ar fi dispersia (viteza de propagare depinde de frecvență) sau neliniaritatea (comportamentul undei depinde de amplitudinea acesteia) care nu pot fi descrise de soluțiile ecuației undei. Din acest motiv, aceste unde trebuie descrise prin ecuații mai complicate, cum ar fi ecuația sine-Gordon (care în cazul clasic poate descrie propagarea unei unde de torsiune într-un șir elastic, la care un sistem de pendule este cuplat oscilează în plan transversal la șir), ecuația neliniară Schrödinger , ecuația Korteweg-de Vries sau ecuația Boussinesq . Aceste ecuații permit descrierea fenomenelor neprevăzute de ecuația undei D'Alembert, cum ar fi solitonii , undele cnoidale sau turbulența undelor (legate de efectele de interacțiune rezonante între unde). Fenomenele de acest tip sunt observate într-un număr mare de ramuri ale fizicii, cum ar fi dinamica fluidelor , fizica plasmei , optica neliniară , condensatele Bose-Einstein sau relativitatea generală , chiar dacă în cele mai simple cazuri putem duce adesea înapoi la linia aproximare furnizată de ecuația undei D'Alembert.

De exemplu, ecuația Boussinesq unidimensională (cu mărimi fizice adimensionale) are forma:

cu coordonata de timp e cel spațial. Termenul pătratic în este responsabil pentru efectele neliniare, în timp ce a patra derivată în raport cu spațiul celor dispersive. În măsura în care acești termeni sunt neglijabili, găsim ecuația D'Alembert.

Fenomenele valurilor

Fenomenele valurilor reprezintă o clasă extrem de importantă de fenomene naturale în fizică; câteva exemple de unde sunt: unde elastice , unde de presiune ( unde acustice și de șoc ), unde de mare , unde electromagnetice ( lumină ), unde gravitaționale , unde seismice . Ca primă aproximare, conform modelului conceptual al fizicii clasice , se poate afirma că în natură, dincolo de noțiunile de spațiu , timp , energie și sarcină electrică , tot ceea ce nu este materie (adică cu masă ) este o undă , adică „propagarea energiei”. Diferența substanțială dintre corp și corpuscul material este că, în timp ce corpusculul la un anumit moment este întotdeauna localizat într-un volum precis de spațiu, unda apare în schimb mai delocalizată în spațiu.

Numai cu fizica modernă se ajunge la un punct de contact în realitatea fizică între cele două clase foarte diferite de fenomene, val și corpuscular: la începutul secolului al XX-lea, mecanica cuantică , prin principiul complementarității , a sancționat so- numit dualism de undă. particula din fenomenele fizice care apar la scara atomică și subatomică, conform căreia aceleași particule microscopice cu propria masă, pe lângă proprietățile clasice precum energia mecanică și impulsul , iau proprietăți de undă în interpretare a anumitor contexte și fenomene.

Unda staționară

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Val permanent .
O undă permanentă, punctele roșii reprezintă punctele care nu sunt implicate în oscilație, numite noduri

Un caz particular al unei unde, care poate fi descris matematic pornind de la ecuația undei prin impunerea unor condiții limită adecvate, este unda staționară, adică o undă care rămâne într-o poziție spațială constantă fixată în timp, fără a se propaga oscilând între punctele fixe numite noduri. Acest fenomen poate apărea de exemplu atunci când mediul se deplasează în direcția opusă undei sau ca urmare a unei interferențe între două unde, de amplitudine și frecvență egale, călătorind în direcții opuse. [11]

Într-o undă staționară există câteva puncte, numite noduri, care rămân fixe și nu oscilează. [12] Acest fapt determină strict pentru acest tip de perturbare caracteristici intrinsec diferite de o „undă” în sensul strict al termenului. Ca atare, un val staționar poate permite, de exemplu, să stocheze energie într-o regiune spațială, dar, prin urmare, nu reprezintă niciun transport net de energie între diferite puncte din spațiu. [13]

Suprapunerea a două unde care se mișcă în direcții opuse cu amplitudine și frecvență egale, dar faza opusă este un fenomen tipic indus de reflectarea unei singure unde împotriva unui obstacol fix, exact ceea ce se întâmplă de exemplu într-o undă electromagnetică care lovește o placă de conductoare. material. Questo meccanismo è usato per generare onde stazionarie ed è alla base del funzionamento di alcuni strumenti musicali a corda, a fiato [14] e delle cavità risonanti . [15]

Stringa vibrante

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Corda vibrante .
Un'onda che si propaga lungo una stringa venendo riflessa e sfasata all'incontro degli estremi fissi di oscillazione

Le onde che possono svilupparsi lungo una stringa sono di tipo trasversale e soddisfano l' equazione delle onde di d'Alembert solamente se l'ampiezza della perturbazione che genera il fenomeno ondulatorio è piccola. In questo limite si ricava che la velocità di propagazione è pari a:

dove è la tensione a cui è sottoposta la stringa mentre è la sua densità lineare o massa lineica, cioè la massa per unità di lunghezza. Un'onda su una stringa può essere riflessa in seguito all'urto contro un estremo fisso oppure essere parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa in seguito all'incontro di una giunzione fra due stringhe di differente densità lineare . Questo tipo di onde, insieme al fenomeno delle onde stazionarie, sono alla base del funzionamento di molti strumenti a corda .

Onde marine

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Onda marina .

Onde sonore

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Onda sonora .

Onde elettromagnetiche

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Radiazione elettromagnetica .
Un'onda elettromagnetica è composta dall'oscillazione ortogonale alla direzione del moto del campo elettrico (in rosso) e del campo magnetico (in blu)

Un'onda elettromagnetica è un fenomeno ondulatorio dato dalla propagazione in fase del campo elettrico e del campo magnetico , oscillanti in piani tra loro ortogonali e ortogonali alla direzione di propagazione. Tale fenomeno è descritto matematicamente come soluzione dell' equazione delle onde , a sua volta ottenuta a partire dalle equazioni di Maxwell secondo la teoria dell' elettrodinamica classica . [16] Questo tipo di radiazione viaggia nella direzione sempre perpendicolare alle direzioni di oscillazione dei campi, ed è quindi un'onda trasversale. [17] Nel diciannovesimo secolo James Clerk Maxwell ha scoperto infatti che i campi elettrici e magnetici soddisfano l' equazione delle onde , con una velocità di propagazione vuoto pari alla velocità della luce , come determinato sperimentalmente da Heinrich Hertz . [18] Le onde elettromagnetiche, come ad esempio la luce visibile, hanno caratteristiche di propagazione nei mezzi o in presenza di ostacoli dipendenti dalla frequenza [19] (e quindi dalla lunghezza d'onda), alcuni materiali sono trasparenti al passaggio della radiazione elettromagnetica sulla lunghezza d'onda del visibile (come alcuni tipi di vetro ), mentre le onde radio sono difficilmente ostacolate nella propagazione da oggetti di piccola dimensione, come anche piccoli edifici, [20] infine la radiazione elettromagnetica a lunghezza d'onda inferiore a quella degli ultravioletti può essere dannosa per la salute dell'uomo. [21] Un caso particolare di onda elettromagnetica è l' onda monocromatica .

Onde gravitazionali

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Onda gravitazionale .
Distorsioni dello spaziotempo generate da due pulsar orbitanti l'una attorno all'altra

Le onde gravitazionali sono distorsioni della curvatura dello spazio tempo che viaggiano come un'onda, propagandosi da una sorgente, come ad esempio un corpo massivo. La loro esistenza è stata prevista da Albert Einstein nel 1916 in base alla relatività generale [22] e dovrebbero teoricamente trasportare energia sotto forma di radiazione gravitazionale. Le principali possibili sorgenti dovrebbero essere i sistemi binari composti da pulsar o buchi neri . [23] L'11 febbraio 2016 il team del rivelatore Advanced LIGO ha annunciato di aver rilevato il 14 settembre 2015 onde gravitazionali causate dalla collisione di due buchi neri.

Le onde gravitazionali sono in generale non lineari e interagiscono con la materia e l'energia. [24] Tuttavia questo fenomeno può essere lineare quando le onde sono molto lontane dalle sorgenti e per piccole perturbazioni dello spazio tempo.

Applicazioni

Le onde hanno applicazioni diffusissime nella vita comune e in molti campi di studio tecnico-scientifico: dallo studio delle proprietà delle onde elettromagnetiche emesse da un corpo è possibile risalire alle caratteristiche chimico-fisiche del corpo ( spettroscopia ); le stesse onde elettromagnetiche (ad es. le onde portanti modulate oppure onda quadra ) sono anche il mezzo utilizzato per veicolare informazione all'interno dei sistemi di telecomunicazioni attraverso segnali (es. onda radio nelle radiocomunicazioni ); inoltre molte tecniche di diagnostica medica , prospezione geofisica , telerilevamento , applicazioni radar ecc., utilizzano particolari onde elettromagnetiche o acustiche.

Note

  1. ^ ( EN ) Albert Einstein, Leopold Infeld, The Evolution of Physics , CUP Archive, 1971, p. 101, ISBN 0-521-09687-1 .
  2. ^ Einstein , pp. 100-106 .
  3. ^ ( EN ) Julian L. Davis, Mathematics of wave propagation , Princeton University Press, 2000, pp. 9-15, ISBN 0-691-02643-2 .
  4. ^ wave , su britannica.com . URL consultato il 12 gennaio 2011 .
  5. ^ ( EN ) Chiara Macchiavello, GM Palma; Anton Zeilinger, Quantum computation and quantum information theory , World Scientific, 2000, p. 19, ISBN 981-02-4117-8 .
  6. ^ ( EN ) Victoria M. Nield, David A. Keen, Diffuse neutron scattering from crystalline materials , Oxford University Press, 2001, pp. 5-7, ISBN 0-19-851790-4 .
  7. ^ Onde Elastiche E Acustica Archiviato il 17 aprile 2012 in Internet Archive ..
  8. ^ Eric W. Weisstein ,d'Alembert's Solution , su mathworld.wolfram.com , MathWorld . URL consultato il 21 gennaio 2009 .
  9. ^ . Jalal M. Ihsan Shatah, Michael Struwe,The linear wave equation , in Geometric wave equations , American Mathematical Society Bookstore, 2000, pp. 37 ff , ISBN 0-8218-2749-9 . .
  10. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 462 .
  11. ^ ( EN ) John Avison, The World of Physics , Nelson Thornes, 1989, pp. 460-461, ISBN 0-17-438733-4 .
  12. ^ ( EN ) David Parker,Fields, flows, and waves: an introduction to continuum models , Springer, 2003, p. 86, ISBN 1-85233-708-7 .
  13. ^ ( EN ) William F. Hughes, John A. Brighton,Schaum's outline of theory and problems of fluid dynamics , McGraw-Hill Professional, 1999, p. 322, ISBN 0-07-031118-8 .
  14. ^ ( EN ) Mikio Tohyama, Hideo Suzuki; Yoichi Ando, The nature and technology of acoustic space , Elsevier, 1995, pp. 116-122, ISBN 0-12-692590-9 .
  15. ^ ( EN ) WN Cottingham, DA Greenwood, Electricity and magnetism , Cambridge University Press, 1991, p. 51, ISBN 0-521-36803-0 .
  16. ^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 467 .
  17. ^ ( EN ) Kenneth Frederick Sander, Geoffrey Alexander Leslie Reed, Transmission and propagation of electromagnetic waves , CUP Archive, 1986, pp. 1-10, ISBN 0-521-31192-6 .
  18. ^ ( EN ) Morris H. Shamos,Great experiments in physics: firsthand accounts from Galileo to Einstein , Courier Dover Publications, 1987, pp. 184-197, ISBN 0-486-25346-5 .
  19. ^ ( EN ) Julius Adams Stratton, Electromagnetic theory , Wiley-IEEE, 2007, pp. 324-329, ISBN 0-470-13153-5 .
  20. ^ ( EN ) Ardéshir Guran, Raj Mittra; Philip J. Moser, Electromagnetic wave interactions , World Scientific, 1996, p. 101, ISBN 981-02-2629-2 .
  21. ^ ( EN ) James F. McKenzie, RR Pinger; Jerome Edward Kotecki, An introduction to community health , Jones & Bartlett Learning, 2005, p. 488, ISBN 0-7637-2953-1 .
  22. ^ ( EN ) Barry Barish, The Detection of Gravitational Waves with LIGO ( PDF ), su dpf99.library.ucla.edu . URL consultato il 20 novembre 2011 (archiviato dall' url originale il 3 marzo 2016) .
  23. ^ ( EN ) Joel M. Weisberg, Joseph H. Taylor, The Relativistic Binary Pulsar B1913+16: Thirty Years of Observations and Analysis ( PDF ), in Binary Radio Pulsars , vol. 328, 2005.
  24. ^ Kip Thorne, Multipole expansions of gravitational radiation , in Reviews of Modern Physics , vol. 52, aprile 1980, p. 299, DOI : 10.1103/RevModPhys.52.299 .

Bibliografia

  • Daniel Fleisch, Laura Kinnaman, Guida allo studio delle onde , Editori riuniti Univ. Press, collana Leonardo, 2016, ISBN 978-88-6473-183-4 .
  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
  • ( EN ) Murray Campbell e Clive Greated, The Musician's Guide to Acoustics , Oxford, Oxford University Press, 1996, ISBN 978-01-98-16505-7 .
  • ( EN ) AP French, Vibrations and Waves (MIT Introductory physics series) , Nelson Thornes, 1971, ISBN 0-393-09936-9 , OCLC 163810889 .
  • ( EN ) DE Hall, Musical Acoustics: An Introduction , Belmont, California, Wadsworth Publishing Company, 1980, ISBN 0-534-00758-9 .
  • ( EN ) LA Ostrovsky e AS Potapov,Modulated Waves, Theory and Applications , Baltimore, The Johns Hopkins University Press, 1999, ISBN 0-8018-5870-4 .
  • ( EN ) Vassilakis, PN (2001) . Perceptual and Physical Properties of Amplitude Fluctuation and their Musical Significance . Doctoral Dissertation. University of California, Los Angeles.

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 5359 · LCCN ( EN ) sh85145789 · GND ( DE ) 4065310-9 · BNF ( FR ) cb11941861b (data) · NDL ( EN , JA ) 00562750