De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
În fizică , o undă sferică este o undă sferică dacă frontul său de undă este o sferă.
Aspecte generale
O sursă punctuală poate produce o undă sferică, astfel încât poziția frontului de undă depinde doar de distanța r de sursa însăși. În realitate, fiecare sursă, oricât de mică, nu este niciodată asemănătoare punctului la finit, astfel încât modelul de undă sferică este întotdeauna o aproximare fizică. În general, o undă sferică este reprezentabilă în același mod ca o undă plană. Formă:
- {\ displaystyle \ zeta ({\ vec {r}}, t)}
- unde este {\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}
satisface aceeași ecuație de undă a unei unde plane monocromatice , de fapt derivând de două ori față de x :
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ zeta ({\ vec {r}}, t)} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial r}} \ cdot {\ frac {\ partial r} {\ partial x}}}
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta ({\ vec {r}}, t)} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x} } \ cdot {\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ cdot \ left [{\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial r }} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial x}} \ right) \ right] = \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ cdot {\ frac { \ partial r} {\ partial x}} \ right] \ cdot \ left [{\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial r}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial x }} \ right) \ right] = {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial r ^ {2}}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial x} } \ dreapta) ^ {2}}
![{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta ({\ vec {r}}, t)} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x} } \ cdot {\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ cdot \ left [{\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial r }} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial x}} \ right) \ right] = \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ cdot {\ frac { \ partial r} {\ partial x}} \ right] \ cdot \ left [{\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial r}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial x }} \ right) \ right] = {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial r ^ {2}}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial r} {\ partial x} } \ dreapta) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64c25f4b0e52a31250f89358a1c3238295a4400)
Atâta timp cât {\ displaystyle r = \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ right) ^ {1/2}} 
atunci derivatele parțiale de mai sus devin:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial r} {\ partial x}} = {\ frac {x} {r}}}
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} r} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac {x ^ {2}} {r ^ {2}}}}
în cele din urmă obținem:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta ({\ vec {r}}, t)} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac {x ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial r ^ {2}}}}
În mod similar, în celelalte variabile:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta ({\ vec {r}}, t)} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {y ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial r ^ {2}}}}
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta ({\ vec {r}}, t)} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {z ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial r ^ {2}}}}
Adăugăm membru în membru:
- {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ zeta ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial r ^ {2}}} \ cdot \ left ({\ frac {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ partial r ^ {2}}} \ cdot \ left ({\ frac {r ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ partial ^ {2} \ zeta} {\ parțial r ^ {2}}}}
re-obținând ecuația D'Alembert în variabilă {\ displaystyle \ zeta (r, t)} 
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} (\ zeta)} {\ partial r ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} (\ zeta)} {\ partial t ^ {2}}} = 0}
a cărei soluție este încă sub forma:
- {\ displaystyle \ zeta (r, t) = f (r - {\ vec {v}} t) + g (r - {\ vec {v}} t)}
Exact ca și ecuația de undă unidimensională, care are sens, deoarece oriunde te uiți, valoarea undei, dacă fronturile de undă sunt sferice și stabilesc o rază, trebuie să fie egală
Undă electromagnetică sferică
Ecuațiile de undă:
- {\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} {\ vec {E}} - \ varepsilon \ mu {\ frac {{\ partial} ^ {2} {\ vec {E}}} {{\ partial t} ^ {2}}} = 0}
- {\ displaystyle \, \, \, \, \, {\ nabla} ^ {2} {\ vec {B}} - \ varepsilon \ mu {\ frac {{\ partial} ^ {2} {\ vec {B }}} {{\ partial t} ^ {2}}} = 0}
.
sunt ecuații diferențiale parțiale care, dacă dorim să satisfacem ecuațiile lui Maxwell, trebuie să impunem condițiile inițiale sau condițiile la limită. Condițiile de graniță care corespund unei unde sferice sunt cele în care fronturile sale de undă sunt sfere. În acest caz, derivatele ecuațiilor de undă ale câmpului electric și magnetic pot fi exprimate în termeni de coordonate sferice prin setarea derivatelor cu privire la egal cu zero {\ displaystyle \ theta} 
este la {\ displaystyle \ phi} 
. Prin urmare, luând în considerare simetria sferică în spațiu, ecuația noastră de undă este de tipul:
- {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2} (r \ psi)} {\ partial r ^ {2}}}}
a cărei soluție generală este de forma:
- {\ displaystyle \ psi (r, t) = {\ frac {f (tr / c)} {r}}}
unde c este viteza luminii, care este valabilă în vid {\ displaystyle c = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}}} \ simeq 2.99 \ cdot 10 ^ {8} m / s} 
.
Exemplul tipic al unei unde sferice este acela în care sursa, situată la origine, este o distribuție a sarcinii care poate fi considerată ca punctuală: {\ displaystyle Q (t)} 
. Căutăm o soluție precum:
- {\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = V (r, t) = {\ frac {Q (tr / c)} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ cdot r}} }
acest lucru trebuie să se aplice peste tot, cu excepția punctului sursă.
Atenuare
Undele sferice sunt supuse așa-numitei atenuări izotrope sau faptului că energia undei generate într-un punct este disipată izotrop în spațiul fizic, distribuindu-se pe suprafețele fronturilor de undă sferice sau ale unei zone egale cu {\ displaystyle 4 {\ pi} R ^ {2}} 
atenuându-se astfel cu pătratul distanței de la origine. Dacă unda traversează un mediu fizic altul decât vidul , o atenuare specifică se adaugă atenuării izotrope datorită mediului de propagare în sine și este inclusă într-un factor exponențial negativ cu distanța: o parte din energie este, prin urmare, transferată la particulele mediului în sine.
Exemple
De exemplu, undele seismice sunt unde sferice atunci când se propagă de la hipocentru la epicentru , undele sonore produse de o mică sursă omnidirecțională volumetrică în spațiu ca o detonare . Dacă o undă sferică ajunge la o suprafață, ea produce o undă circulară la suprafață.
Bibliografie
Elemente conexe
