Undă sinusoidală

Graficul sinusoidal (roșu) și cosinusul (albastru)

În fizică , o undă sinusoidală este o undă descrisă matematic de funcția sinusoidală . O curbă sinusoidală sau sinusoidală este curba reprezentată de graficul sinusoidal . Un sinusoid este analog cu curba referitoare la funcția cosinusului , numită cosinusoidă , defazată de $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ .

Definiție

O undă sinusoidală este o undă în care variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este o funcție a formei:

{\begin{aligned}y(x)&=A\,\sin \left(2\pi fx+\phi \right)\\&=A\,\sin \left({2\pi  \over \tau }x+\phi \right)\\&=A\,\sin \left(\omega x+\phi \right)\\&=A\cos \left(2\pi f\,x+\phi '\right)\\&=A\cos \left({2\pi  \over \tau }x+\phi '\right)\\&=A\cos \left(\omega x+\phi '\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y (x) & = A \, \ sin \ left (2 \ pi fx + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left ({2 \ pi \ peste \ tau} x + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left (\ omega x + \ phi \ right) \\ & = A \ cos \ left (2 \ pi f \, x + \ phi '\ right) \\ & = A \ cos \ left ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi' \ right) \\ & = A \ cos \ left (\ omega x + \ phi ' \ dreapta) \ end {align}}}

\ begin {align} y (x) & = A \, \ sin \ left (2 \ pi fx + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi \ right) \\ & = A \, \ sin \ left (\ omega x + \ phi \ right) \\ & = A \ cos \ left (2 \ pi f \, x + \ phi '\ dreapta) \\ & = A \ cos \ left ({2 \ pi \ over \ tau} x + \ phi '\ right) \\ & = A \ cos \ left (\ omega x + \ phi' \ right) \ sfârșit {align}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este amplitudinea , în timp ce:

\omega \ =2\pi f={2\pi  \over \tau }

{\ displaystyle \ omega \ = 2 \ pi f = {2 \ pi \ over \ tau}}

\ omega \ = 2 \ pi f = {2 \ pi \ over \ tau}

este pulsația (sau viteza unghiulară, indică câte perioade există într-un interval de $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ). În plus:

f={\omega  \over 2\pi }={1 \over \tau }

{\ displaystyle f = {\ omega \ over 2 \ pi} = {1 \ over \ tau}}

f = {\ omega \ over 2 \ pi} = {1 \ over \ tau}

este frecvența , care indică de câte ori într-o unitate de timp funcția se repetă și:

\tau ={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {1} {f}} = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}}

\ tau = \ frac {1} {f} = \ frac {2 \ pi} {\ omega}

este perioada , cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sau $\phi '=\phi -{\tfrac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ phi '= \ phi - {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ phi '= \ phi - {\ tfrac {\ pi} {2}}}$ faza .

Graficul unei astfel de clase de funcții se află între linii $y=A$ ${\ displaystyle y = A}$ $y = A$ Și $y=-A$ ${\ displaystyle y = -A}$ $y = - A$ .

Deoarece este o funcție periodică , a spus $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ perioada este:

y(x\pm \tau )=y(x)

{\ displaystyle y (x \ pm \ tau) = y (x)}

y (x \ pm \ tau) = y (x)

Caracteristici

Unda care poate fi reprezentată printr-o mișcare armonică simplă. Conform teoremei lui Fourier, fiecare undă poate fi scrisă ca o sumă (posibil infinită) de unde armonice simple

Folosind formula lui Euler , o undă sinusoidală poate fi reprezentată ca parte reală a funcției:

f(\xi )=f_{\max }\,\Re {\left[\mathrm {e} ^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\omega t+\phi )}\right]}

{\ displaystyle f (\ xi) = f _ {\ max} \, \ Re {\ left [\ mathrm {e} ^ {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} + \ omega t + \ phi)} \ right]}}

f (\ xi) = f _ {\ max} \, \ Re {\ left [\ mathrm e ^ {i (\ vec k \ cdot \ vec r + \ omega t + \ phi)} \ right]}

unde este ${\vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ vec k}$ este vectorul de undă , care identifică direcția de propagare a undei în loc de viteza de propagare. Modulul său se numește pulsație spațială și este legat de lungimea de undă prin relația:

k=|{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }}

{\ displaystyle k = | {\ vec {k}} | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

k = | {\ vec k} | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}

Urcare $f_{\max }$ ${\ displaystyle f _ {\ max}}$ $f _ {\ max}$ este amplitudinea undei și reprezintă valoarea maximă a dimensiunii reprezentative a undei într-o perioadă. Termenul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ reprezintă faza inițială a undei.

Undele sinusoidale sunt o soluție specială a ecuației undelor . Unda este o funcție a spațiului și a timpului, prin care o undă unidimensională se asociază cu fiecare poziție spațială $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și în orice moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ o amplitudine de oscilație $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în jurul poziției de echilibru:

y=f(x,t)\,

{\ displaystyle y = f (x, t) \,}

y = f (x, t) \,

Prin urmare, sunt posibile două puncte de vedere:

Prin alegerea evaluării dimensiunii timpului ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este fixă), oscilația este exprimată $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în funcție de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ca $y=f(t)\,$ ${\ displaystyle y = f (t) \,}$ $y = f (t) \,$ .
Prin alegerea de a concentra atenția asupra stării unui mediu perturbat la un anumit moment ( ${\mathit {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {t}}}$ $\ mathit {t}$ este fix) avem „instantaneul” undei, adică forma undei (profilul acesteia la timpul fix de observație). Leagănul $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ poate fi exprimat în funcție de poziție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ca ${\mathit {y=f(x)}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {y = f (x)}}}$ $\ mathit {y = f (x)}$ .

În ambele cazuri putem pleca de la dependența co-sinusoidală a variabilelor în mișcarea armonică, obținută considerând-o pe aceasta din urmă ca pe o proiecție adecvată a unei mișcări circulare uniforme:

y=y_{\max }\cos(\omega t+\phi )

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \ cos (\ omega t + \ phi)}

y = y _ {\ max} \ cos (\ omega t + \ phi)

unde este $y_{\max }$ ${\ displaystyle y _ {\ max}}$ $y _ {\ max}$ este amplitudinea oscilației e $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este etapa inițială. Prin atribuirea lui $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ o valoare de 90 de grade poate fi trecută de la o formă în cosinus la una în sinus, deci expresiile sunt echivalente. Expresia este în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ pentru a implementa „vizualizarea” oscilației de-a lungul axei verticale a sistemului coordonat.

Prin fixarea variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem:

y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ tau}} t \ dreapta)}

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {\ tau} t \ right)

unde este $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ este perioada valului. Faza inițială este nulă și dacă perturbarea pe mediu se propagă de la început, mișcându-se cu viteza de fază ${\mathit {v}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {v}}}$ $\ mathit {v}$ apoi va ajunge la un alt punct (în dreapta originii) la o anumită distanță ${\mathit {x}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {x}}}$ $\ mathit {x}$ dupa o vreme:

t1={\frac {x}{v}}

{\ displaystyle t1 = {\ frac {x} {v}}}

t1 = \ frac {x} {v}

Aceasta înseamnă că punctul de pe coordonată ${\mathit {x}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {x}}}$ $\ mathit {x}$ va avea, la momentul respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , o deplasare verticală egală cu cea care avea punctul de plecare t1 secunde înainte. Prin urmare, propagarea este descrisă prin expresia:

y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}(t-t1)\right]=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\tau }}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [{\ frac {2 \ pi} {\ tau}} (t-t1) \ right] = y _ {\ max} \, \ cos \ left [{\ frac {2 \ pi} {\ tau}} \ left (t - {\ frac {x} {v}} \ right) \ right]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {\ tau} (t-t1) \ right] = y _ {\ max} \, \ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {\ tau} \ left (t- \ frac {x} {v} \ right) \ right]

Adunare $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ puteți trece la o formă mai comună care se găsește uneori pe texte:

y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {t}{\tau }}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right]

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {t} {\ tau}} - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) \ dreapta]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left (\ frac {t} {\ tau} - \ frac {x} {\ lambda} \ right) \ right]

Dacă se numește număr de undă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ cantitatea $2\pi /\lambda$ ${\ displaystyle 2 \ pi / \ lambda}$ $2 \ pi / \ lambda$ , și dacă pulsația este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , relația deja cunoscută din studiul mișcării circulare $2\pi /\tau$ ${\ displaystyle 2 \ pi / \ tau}$ $2 \ pi / \ tau$ permite să ajungă formal la ecuația undelor armonice :

y=y_{\max }\,\cos(\omega t-kx)

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t-kx)}

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t-kx)

Dacă s-ar fi adăugat o fază de 90 ° la expresia inițială a cosinusului, s-ar fi obținut de atunci o expresie de sinus negativ $\cos(\alpha +90)=\sin(-\alpha )$ ${\ displaystyle \ cos (\ alpha +90) = \ sin (- \ alpha)}$ $\ cos (\ alfa + 90) = \ sin (- \ alfa)$ , iar acest lucru ar fi condus la o expresie sinusoidală cu semnele interne inversate, adică $y=y_{\max }\,\sin(kx-\omega t)$ ${\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ sin (kx- \ omega t)}$ $y = y _ {\ max} \, \ sin (kx- \ omega t)$ , care este uneori prezentat pe texte.

Având în vedere al doilea caz al listei de mai sus, la un moment fix:

y=y_{\max }\,\cos(\omega t+\phi )=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\tau }}t\right)=y_{\max }\,\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}x\right)

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ tau}} t \ right) = y _ {\ max} \, \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} x \ right)}

y = y _ {\ max} \, \ cos (\ omega t + \ phi) = y _ {\ max} \, \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {\ tau} t \ right) = y_ {\ max} \, \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x \ right)

Profilul unei unde sinusoidale progresive care variază în timp,

y=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{2\pi }}-{\frac {t}{2\pi }}\right)\right]

{\ displaystyle y = \ sin \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {2 \ pi}} - {\ frac {t} {2 \ pi}} \ right) \ right]}

y = \ sin \ left [2 \ pi \ left (\ frac {x} {2 \ pi} - \ frac {t} {2 \ pi} \ right) \ right]

Timpul a fost exprimat ca $t=x/v$ ${\ displaystyle t = x / v}$ $t = x / v$ , substituind și folosind relația fundamentală a undelor ${\mathit {\lambda =v\tau }}$ ${\ displaystyle {\ mathit {\ lambda = v \ tau}}}$ $\ mathit {\ lambda = v \ tau}$ (lungimea de undă este spațiul parcurs de o undă cu viteza de fază $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ într-o perioadă $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ ): în orice caz, ceea ce contează este că obținem un cosinus al perioadei spațiale $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ dependent doar de poziție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Dacă impulsul se mișcă de-a lungul axei absciselor, inducând o oscilație pe ordonate, la un anumit moment următor celui fixat punctul la coordonata anumită $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ va avea o înălțime egală cu cea a punctului $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de la care a plecat impulsul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ cu câteva secunde înainte. Unda se propagă apoi (spre dreapta) cu un profil dat de:

y=y_{\max }\,\cos \left[{\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right]

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [{\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} (x-vt) \ right]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [\ frac {2 \ pi} {\ lambda} (x-vt) \ right]

întrucât ar fi trebuit să se ia în considerare o expresie între paranteze rotunde $(x+vt)$ ${\ displaystyle (x + vt)}$ $(x + vt)$ dacă am vrea să descriem propagarea spre stânga. Exprimând ${\mathit {v={\frac {\lambda }{\tau }}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {v = {\ frac {\ lambda} {\ tau}}}}}$ $\ mathit {v = \ frac {\ lambda} {\ tau}}$ și înlocuind, avem expresia:

y=y_{\max }\,\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{\tau }}\right)\right]

{\ displaystyle y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} - {\ frac {t} {\ tau}} \ right) \ dreapta]}

y = y _ {\ max} \, \ cos \ left [2 \ pi \ left (\ frac {x} {\ lambda} - \ frac {t} {\ tau} \ right) \ right]

că având în vedere relația goniometrică $\cos(-\alpha )=\cos \left(\alpha \right)$ ${\ displaystyle \ cos (- \ alpha) = \ cos \ left (\ alpha \ right)}$ $\ cos (- \ alpha) = \ cos \ left (\ alpha \ right)$ este analog cu cel obținut anterior (deoarece semnele argumentului sunt modificate).

Parametrul A (Amplitudine) determină o expansiune de-a lungul axei y
Parametrul $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ (pulsație) determină dilatarea de-a lungul axei x
Parametrul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ (fază) determină o traducere orizontală
Parametrul k determină o translație verticală

Bibliografie

( EN ) M. Abramowitz, IA Stegun, "Manual de funcții matematice", Dover, retipărire (1972) pp. §4.3

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Sine Wave

linkuri externe

(EN) Yu.A. Gor'kov, Sinusoid , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Yu.A. Gor'kov, Sine , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică