Undele de presiune sunt definite ca acele unde care se propagă în gaze prin fenomene locale de compresie sau decompresie , cum ar fi undele sonore .
Parametrii necesari pentru a descrie undele de presiune
Mai întâi trebuie să introduceți modulul de compresibilitate {\ displaystyle \ beta}
- {\ displaystyle \ beta = -V {\ frac {dp} {dV}},}
amintind că masa este dată de produs {\ displaystyle m = V \ cdot \ rho} de volum și densitate și că această cantitate trebuie păstrată, se obține
- {\ displaystyle Vd \ rho + dV \ rho = 0 \!}
de la care
- {\ displaystyle {\ frac {dV} {V}} = - {\ frac {d \ rho} {\ rho}} \!.}
Înlocuind în prima expresie, rezultă
- {\ displaystyle \ beta = \ rho {\ frac {dp} {d \ rho}}.}
Având în vedere acum un gaz adiabatic , modulul său de compresibilitate este egal cu
- {\ displaystyle pV ^ {\ gamma} = constant \ Rightarrow {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}} = constant}
(de fapt, înmulțirea și împărțirea la {\ displaystyle m ^ {\ gamma}} , cu {\ displaystyle m} masa conținută în volum {\ displaystyle V} , primesti
- {\ displaystyle pV ^ {\ gamma} = {\ frac {pV ^ {\ gamma} m ^ {\ gamma}} {m ^ {\ gamma}}} = {\ frac {pm ^ {\ gamma}} {\ rho ^ {\ gamma}}} = constant} ;
indicând cu {\ displaystyle k} această constantă:
- {\ displaystyle {\ frac {pm ^ {\ gamma}} {\ rho ^ {\ gamma}}} = k}
dacă masa este constantă, atunci este încorporată în constantă {\ displaystyle k} către al doilea membru, pentru care avem expresia:
- {\ displaystyle {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}} = k '} unde este: {\ displaystyle k '= k / m ^ {\ gamma} = constant}
de la care:
- {\ displaystyle {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}} = constant} )
- {\ displaystyle \ Rightarrow p = C \ rho ^ {\ gamma}}
- {\ displaystyle {\ frac {dp} {d \ rho}} = \ gamma C \ rho ^ {\ gamma -1} = {\ frac {\ gamma C \ rho ^ {\ gamma}} {\ rho}} = {\ frac {\ gamma p} {\ rho}}}
- {\ displaystyle \ beta _ {s} = \ gamma p}
unde este {\ displaystyle \ beta _ {s}} se numește modulul de compresibilitate adiabatică .
În general, un gaz este un sistem cu proprietăți elastice considerabile și, prin urmare, este legitim să se facă analogii cu undele care sunt create, de exemplu, într-o bară solidă . În acest caz, modulul de compresibilitate are exact același rol ca modulul lui Young {\ displaystyle E} a unei bare solide, iar undele se vor propaga în gaz cu viteză
- {\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {\ beta} {\ rho}}}.}
Valuri într-un gaz
În practică, pentru a verifica dacă fenomenele de propagare guvernate de ecuația undei apar și într-un gaz, este posibil să examinăm cazul unui gaz conținut într-un tub rigid dispus într-un sistem de referință cartezian paralel cu axa {\ displaystyle x} abscisei, indicând cu {\ displaystyle \ rho _ {0}} Și {\ displaystyle p_ {0}} valorile de repaus ale densității și respectiv ale presiunii . Apoi, presupuneți că comprimați un volum mic de gaz cu o membrană elastică, dând astfel naștere la variații ale acesteia {\ displaystyle d \ rho} Și {\ displaystyle dp} . Prin urmare, va exista un volum mic de gaz la presiune și densitate
- {\ displaystyle p = p_ {0} + dp \ qquad \ rho = \ rho _ {0} + d \ rho.}
Mai mult, lăsați deplasările din poziția de echilibru a particulelor, indicate de funcție, să fie mici {\ displaystyle s = s (x, t)} precum și derivatul acestei funcții cu privire la {\ displaystyle x} . Luați în considerare acum o masă de gaz conținută între două planuri perpendiculare pe axă {\ displaystyle x} , care intersectează această axă în puncte {\ displaystyle x} Și {\ displaystyle x + dx} , dacă secțiunea cilindrului are o valoare unitară, masa de gaz conținută între cele două planuri este {\ displaystyle dm = \ rho _ {0} dx} . La un moment dat {\ displaystyle t} masa {\ displaystyle dm} va fi suferit efectele tulburării și va fi între
- {\ displaystyle x + s (x, t) \ qquad {\ mbox {e}} \ qquad x + dx + s (x + dx, t)}
astfel încât dimensiunea sa liniară va fi devenit
- {\ displaystyle dx + s (x + dx, t) -s (x, t) = dx + {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} dx.}
Deoarece este o masă al cărei volum s-a schimbat, rezultă că și densitatea sa s-a schimbat și acum va fi {\ displaystyle \ rho _ {0} + d \ rho}
- {\ displaystyle dm = (\ rho _ {0} + d \ rho) \ left (dx + {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} dx \ right) = dx \ left (\ rho _ {0 } + \ rho _ {0} {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} + d \ rho + d \ rho {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} \ right).}
Prin echivalarea acestei expresii cu {\ displaystyle dm = \ rho _ {0} dx} și neglijând al patrulea addendum ca infinitesimal de ordin superior:
- {\ displaystyle d \ rho = - \ rho _ {0} {\ frac {\ partial s} {\ partial x}}}
care exprimă legătura dintre mișcarea gazului și variația densității acestuia. După cum sa menționat mai sus, o variație a densității va corespunde unei variații a presiunii egală cu
- {\ displaystyle dp = {\ frac {\ beta} {\ rho _ {0}}} d \ rho \ Rightarrow p = p_ {0} - \ beta {\ frac {\ partial s} {\ partial x}}. }
Schimbarea presiunii determină o mișcare a gazului. Prin urmare, amintindu-ne că secțiunea tubului este unitară, forța rezultată acționând asupra masei {\ displaystyle dm} Sara:
- {\ displaystyle p (x, t) -p (x + dx, t) = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} dx = \ beta {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial x ^ {2}}} dx.}
Pentru a doua lege a dinamicii , această forță va provoca o accelerație {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial t ^ {2}}}} prin urmare
- {\ displaystyle \ beta {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial x ^ {2}}} dx = dm {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial t ^ {2} }} = \ rho _ {0} dx {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial t ^ {2}}}.}
Care duce la:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ beta} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial ^ { 2} s} {\ partial x ^ {2}}}.}
Prin urmare, deplasarea moleculelor de gaz urmează ecuația undei . Pentru a obține comportamentul de presiune, începând de la {\ displaystyle p = p_ {0} - \ beta {\ frac {\ partial s} {\ partial x}}} derivăm cu privire la {\ displaystyle x} și apoi în ceea ce privește timpul:
- {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial x ^ {2}}} = - \ beta {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial x ^ {2}}} = - \ rho _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {2 } s} {\ partial t ^ {2}}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial t ^ {2}}} = - \ beta {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial t ^ {2}}} {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} = - \ beta {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial t ^ {2}}} \\\ Rightarrow {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ beta} { \ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial x ^ {2}}} \ end {align}}}
și repetând raționamentul pentru densitate, rezultatul este același:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ beta} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ rho} {\ partial x ^ {2}}}.}
Elemente conexe