Radiatie electromagnetica

O undă electromagnetică sinusoidală polarizată liniar care se propagă în direcția + z într-un mediu omogen, izotrop și fără pierderi, cum ar fi vidul, ar putea fi. Câmpul electric (săgeți albastre) oscilează în direcția ± x , iar câmpul magnetic ortogonal (săgeți roșii) oscilează în fază cu câmpul electric în direcția ± y .

În fizică, radiația electromagnetică este propagarea în spațiu a energiei câmpului electromagnetic ^[1] .

Conform electrodinamicii clasice , aceasta constă din unde electromagnetice, constând din oscilații sincronizate ale câmpurilor electrice și magnetice care se deplasează cu viteza luminii în vid. În mediile izotrope și omogene, oscilațiile celor două câmpuri sunt perpendiculare între ele și pe direcția de propagare a undelor, prin urmare ele constituie o undă transversală . Frontul de undă al unei unde electromagnetice emis de o sursă punctuală (cum ar fi un bec) este o sferă. Poziția unei unde electromagnetice în spectrul electromagnetic poate fi determinată pe baza frecvenței de oscilație sau a lungimii de undă . Undele electromagnetice cu frecvențe diferite au nume diferite, deoarece sunt generate de surse diferite și au efecte diferite asupra materiei. Radiațiile în ordinea creșterii frecvenței și a lungimii de undă descrescătoare sunt: unde radio , microunde , radiații infraroșii , lumină vizibilă , radiații ultraviolete , raze X și raze gamma ^[2] . Undele electromagnetice sunt emise de particule încărcate accelerate ^[3] și, prin urmare, pot interacționa cu alte particule încărcate.

În mecanica cuantică , radiația electromagnetică este interpretată ca fiind compusă din fotoni , particule elementare neutre cu masă de repaus zero, care sunt cuantele câmpului electromagnetic responsabil de toate interacțiunile electromagnetice ^[4] . Electrodinamica cuantică este teoria care explică interacțiunea radiației electromagnetice cu materia la nivel atomic ^[5] . Efectele cuantice furnizează surse suplimentare de unde electromagnetice, cum ar fi tranziția electronică la un nivel inferior de energie într-un atom și radiația corpului negru ^[6] . Energia fiecărui foton individual este cuantificată și este mai mare pentru fotonii cu frecvență mai mare. Constanta lui Planck $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ raportează frecvența $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a fotonului cu energia sa $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ conform legii lui Planck , $E=hf$ ${\ displaystyle E = hf}$ ${\ displaystyle E = hf}$ .

Radiațiile electromagnetice se pot propaga în vid, cum ar fi spațiul interplanetar , în medii de densitate redusă, cum ar fi atmosfera , sau în structuri de ghidare, cum ar fi ghidurile de undă . Aplicațiile tehnologice care exploatează radiațiile electromagnetice sunt variate. În general, se pot distinge două macrofamilii de aplicații: în prima există undele electromagnetice utilizate pentru transportul informațiilor ( radiocomunicații precum radio , televiziune , telefoane mobile , sateliți artificiali , radar , radiografii ), în a doua cele pentru transportul energiei, precum ca cuptorul cu microunde .

Origini

Undele electromagnetice au fost teoretic prezise înainte de a fi detectate experimental: ecuațiile lui Maxwell , care rezumă electromagnetismul clasic, admit o soluție ondulantă care se propagă în vid cu viteza luminii. Apoi, experiențele lui Hertz au confirmat existența așa-numitelor „valuri hertziene” și au măsurat viteza acestora. Experimentul Michelson-Morley a dovedit independența vitezei luminii față de direcția de propagare și, grație altor experiențe considerate suficiente pentru falsificarea așa-numitelor teorii balistice ale luminii , experiența crucială care a subminat mecanica clasică care necesită formularea de relativitate specială. Pe baza acestei teorii, una dintre cele mai bune teorii controlate empiric, este posibil să se stabilească proprietățile radiației electromagnetice în vid.

Studiile asupra efectului fotoelectric , printre care contribuția lui Albert Einstein din 1905 (care i-a adus premiul Nobel ), au evidențiat existența unei frecvențe prag sub care acest efect nu are loc, indiferent de intensitatea (amplitudinea) radiației incidente. Experiențe conexe, cum ar fi măsurarea spectrului corpului negru și încercările aferente de justificare teoretică, i-au determinat pe fizicienii de la începutul secolului trecut să redeschidă dezbaterea veche de secole despre natura luminii, din care ecuațiile lui Maxwell păreau să constituie soluția definitivă., introducând noțiunea cuantică de energie . Cuantica radiației electromagnetice se numește foton și este o particulă (în sensul mecanicii cuantice ) care urmează statisticii Bose - Einstein , adică un boson .

Ecuația undelor electromagnetice

Același subiect în detaliu: ecuația undelor .

Ecuația care descrie propagarea unei unde electromagnetice este ecuația undei, care poate fi scrisă din câmpurile electrice și magnetice și este o ecuație omogenă. În mod echivalent, ecuația undei poate fi exprimată în termeni de surse ale câmpului: în acest caz apelăm la utilizarea potențialelor și este o ecuație neomogenă.

Ecuație omogenă

Să presupunem că ne aflăm într-un dielectric omogen și izotrop, neutru electric și perfect și lipsit de sarcini localizate libere, surse ale câmpului electromagnetic . Ecuațiile care descriu propagarea câmpului sunt ecuațiile de undă pentru câmpul electric și magnetic , două ecuații diferențiale parțiale vectoriale: ^[7]

{\nabla }^{2}\mathbf {E} -\varepsilon \mu {\frac {{\partial }^{2}\mathbf {E} }{{\partial t}^{2}}}=0\qquad {\nabla }^{2}\mathbf {B} -\varepsilon \mu {\frac {{\partial }^{2}\mathbf {B} }{{\partial t}^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {E} - \ varepsilon \ mu {\ frac {{\ partial} ^ {2} \ mathbf {E}} {{\ partial t} ^ {2}} } = 0 \ qquad {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {B} - \ varepsilon \ mu {\ frac {{\ partial} ^ {2} \ mathbf {B}} {{\ partial t} ^ {2 }}} = 0}

{\ nabla} ^ 2 \ mathbf E - \ varepsilon \ mu \ frac {{\ partial} ^ 2 \ mathbf E} {{\ partial t} ^ 2} = 0 \ qquad {\ nabla} ^ 2 \ mathbf B - \ varepsilon \ mu \ frac {{\ partial} ^ 2 \ mathbf B} {{\ partial t} ^ 2} = 0

Prin urmare, există șase ecuații scalare și se obțin din ecuațiile lui Maxwell prin aplicarea operatorului rotorului . Aceasta implică faptul că, având în vedere o soluție a ecuațiilor de undă, aceeași soluție adăugată la un câmp irotațional este încă o soluție. Mai mult, soluțiile nu sunt neapărat solenoide: această condiție suplimentară trebuie impusă de fapt în faza de rezoluție.

Soluția generală a ecuației undei într-o dimensiune este o undă : ^[8]

u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt)

{\ displaystyle u (x, t) = F (x-vt) + G (x + vt)}

u (x, t) = F (x - v t) + G (x + v t)

care se răspândește cu viteză $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ constant:

v={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}

{\ displaystyle v = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon \ mu}}}}

v = \ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon \ mu}}

În gol $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ devine viteza luminii :

c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}}

c = \ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon_0 \ mu_0}}

Soluția acestor ecuații nu este unică și este necesar să se impună solenoiditatea acesteia, cerându-i să satisfacă ecuațiile lui Maxwell. În general, soluția ecuațiilor de undă este o funcție $f(\mathbf {r} ,t)=f(\xi )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {r}, t) = f (\ xi)}$ $f (\ mathbf r, t) = f (\ xi)$ direcția de propagare și timp.

O reprezentare compactă a ecuației de undă este obținută prin utilizarea operatorului d'Alembert , definit ca: ^[9]

\Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}-{1 \over c^{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} = \ nabla ^ {2} - {1 \ over c ^ {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}}

\ Box = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} - \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} = \ nabla ^ 2 - {1 \ over c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ parțial t ^ 2}

și în acest fel ecuațiile de undă sunt scrise: ^[10]

\Box \mathbf {E} =0\qquad \Box \mathbf {B} =0

{\ displaystyle \ Box \ mathbf {E} = 0 \ qquad \ Box \ mathbf {B} = 0}

\ Box \ mathbf E = 0 \ qquad \ Box \ mathbf B = 0

Derivare

Același subiect în detaliu: ecuațiile lui Maxwell .

Să presupunem că suntem într-un dielectric omogen și izotrop, neutru din punct de vedere electric și perfect și lipsit de sarcini localizate libere, astfel încât $\rho =0\$ ${\ displaystyle \ rho = 0 \}$ $\ rho = 0 \$ Și $\mathbf {J} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = 0}$ $\ mathbf J = 0$ . Ecuațiile lui Maxwell devin în acest caz: ^[11]

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =0\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = 0 \ qquad \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}

\ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf E = 0 \ qquad \ mathbf \ nabla \ times \ mathbf E = - \ frac {\ partial \ mathbf B} {\ partial t}

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\varepsilon \mu {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ qquad \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} = \ varepsilon \ mu {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}}}

\ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf B = 0 \ qquad \ mathbf \ nabla \ times \ mathbf B = \ varepsilon \ mu \ frac {\ partial \ mathbf E} {\ partial t}

Este posibil să procedați indiferent luând a treia sau a patra ecuație Maxwell și aplicând rotorul. ^[7] Luați-o pe a treia atunci:

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}

\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf E = - \ frac {\ partial \ mathbf B} {\ partial t}

aplicând rotorul ambelor elemente:

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B}} {\ partial t }}}

\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf \ nabla \ times \ mathbf E = - \ frac {\ partial \ mathbf \ nabla \ times \ mathbf B} {\ partial t}

a patra ecuație este înlocuită cu al doilea membru în locul lui $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B}}$ $\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf B$ :

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\varepsilon \mu {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} = \ varepsilon \ mu {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}}}

\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf B = \ varepsilon \ mu \ frac {\ partial \ mathbf E} {\ partial t}

în timp ce relația este exploatată către primul membru:

\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} )=-\nabla ^{2}\cdot \mathbf {E} +\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} )

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E}) = - \ nabla ^ {2} \ cdot \ mathbf {E} + \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E})}

\ mathbf \ nabla \ times (\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf E) = - \ nabla ^ 2 \ cdot \ mathbf E + \ mathbf \ nabla (\ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf E)

și din moment ce se presupune absența taxelor gratuite, surse din domeniu, avem asta $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = 0}$ $\ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf E = 0$ . Prin urmare, obținem:

-\nabla ^{2}\cdot \mathbf {E} =\mathbf {-} \nabla \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle - \ nabla ^ {2} \ cdot \ mathbf {E} = \ mathbf {-} \ nabla \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = - \ varepsilon \ mu {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle - \ nabla ^ {2} \ cdot \ mathbf {E} = \ mathbf {-} \ nabla \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = - \ varepsilon \ mu {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}}}

acesta este:

{\nabla }^{2}\mathbf {E} =\varepsilon \mu {\frac {{\partial }^{2}\mathbf {E} }{{\partial t}^{2}}}

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {E} = \ varepsilon \ mu {\ frac {{\ partial} ^ {2} \ mathbf {E}} {{\ partial t} ^ {2}} }}

{\ nabla} ^ 2 \ mathbf E = \ varepsilon \ mu \ frac {{\ partial} ^ 2 \ mathbf E} {{\ partial t} ^ 2}

În mod similar, aplicând aceeași procedură la a patra ecuație obținem:

{\nabla }^{2}\mathbf {B} =\varepsilon \mu {\frac {{\partial }^{2}\mathbf {B} }{{\partial t}^{2}}}

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ mathbf {B} = \ varepsilon \ mu {\ frac {{\ partial} ^ {2} \ mathbf {B}} {{\ partial t} ^ {2}} }}

{\ nabla} ^ 2 \ mathbf B = \ varepsilon \ mu \ frac {{\ partial} ^ 2 \ mathbf B} {{\ partial t} ^ 2}

care sunt ambele ecuații de undă pe care le căutați.

Ecuație neomogenă

Același subiect în detaliu: câmp electromagnetic .

Ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul generat de o distribuție a sarcinii, descrisă prin densitate $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , și curent, exprimat cu densitatea $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ , poate fi scris în funcție de potențialele câmpului în următoarea formă:

\nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\rho  \over \varepsilon _{0}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {{\ partial} \ over \ partial t} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0 }}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {{\ partial} \ over \ partial t} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0 }}}

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A}  \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} - \ nabla \ left ({1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} - \ nabla \ left ({1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

unde este:

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\partial \mathbf {A}  \over \partial t}\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ partial \ mathbf {A} \ over \ partial t} \ qquad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}

\ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ partial \ mathbf {A} \ over \ partial t} \ qquad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}

Dacă apare starea Lorenz :

{1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0

{\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

{\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

se obține ecuația neomogenă:

\nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi  \over \partial t^{2}}=-{\rho  \over \varepsilon _{0}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}}

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A}  \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

.

În notația relativistă, ecuația undei este scrisă sub formă covariantă:

\Box A^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-\mu _{0}J^{\mu }

{\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {A ^ {\ mu, \ beta}} _ {\ beta} = - \ mu _ {0} J ^ {\ mu}}

\ Box A ^ {\ mu} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} A ^ {\ mu} \ \ stackrel {\ mathrm {def }} {=} \ {A ^ {\ mu, \ beta}} _ {\ beta} = - \ mu_0 J ^ {\ mu}

unde este $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt respectiv patru-curent și patru-potențial :

J^{\mu }=\left(c\rho ,\mathbf {J} \right)\qquad A^{\mu }=(\varphi ,\mathbf {A} c)

{\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ left (c \ rho, \ mathbf {J} \ right) \ qquad A ^ {\ mu} = (\ varphi, \ mathbf {A} c)}

J ^ {\ mu} = \ left (c \ rho, \ mathbf {J} \ right) \ qquad A ^ {\ mu} = (\ varphi, \ mathbf {A} c)

În gabaritul Lorenz avem:

\partial _{\mu }A^{\mu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0}

\ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0

unde este:

{\partial  \over {\partial x^{a}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {}_{,a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\partial /\partial ct,\nabla )

{\ displaystyle {\ partial \ over {\ partial x ^ {a}}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ partial _ {a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def} } {=}} \ {} _ {, a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ (\ partial / \ partial ct, \ nabla)}

{\ partial \ over {\ partial x ^ a}} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ partial_a \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {} _ {, a} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ (\ partial / \ partial ct, \ nabla)

este quadrigradientul .

Soluții

Unda plană polarizată liniar.

Soluția generală pentru ecuația undelor electromagnetice este o combinație liniară de unde de formă:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\qquad \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf { r}) \ qquad \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf { r}) \ qquad \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = g (\ phi (\ mathbf {r}, t)) = g (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})}

unde este $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ este vectorul de undă e $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o funcție continuă, care nu este neapărat periodică (generalizarea soluției unidimensionale anterioare). În plus, vectorul de undă și frecvența unghiulară sunt legate de relația de dispersie :

k=|\mathbf {k} |={\omega  \over c}={2\pi  \over \lambda }

{\ displaystyle k = | \ mathbf {k} | = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}

k = | \ mathbf {k} | = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}

cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ numărul de undă e $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ lungimea de undă .

Soluțiile ecuației de undă în coordonate cilindrice sunt funcțiile Bessel de ordin întreg, în timp ce în coordonate sferice avem expresiile:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{r}}\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\qquad \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{r}}\mathbf {E} _{0}\sin(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {E} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0}) \ qquad \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {E} _ {0 } \ sin (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {E} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0}) \ qquad \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {E} _ {0 } \ sin (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{r}}\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\qquad \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{r}}\mathbf {B} _{0}\sin(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {B} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0}) \ qquad \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {B} _ {0 } \ sin (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {B} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0}) \ qquad \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {r}} \ mathbf {B} _ {0 } \ sin (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

care pot fi scrise prin armonici sferice .

Soluții sinusoidale și expansiune multipolară

Același subiect în detaliu: dezvoltarea multipolelor .

Cea mai simplă clasă de soluții este dată presupunând că unda este sinusoidală (monocromatică):

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathrm {Re} \{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathrm {Re} \ {\ mathbf {E} (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t} \}}

\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathrm {Re} \ {\ mathbf {E} (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t} \}

unde este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este pulsația $\omega =2\pi *f$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi * f}$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi * f}$ f este frecvența e $\textstyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)\,$ ${\ displaystyle \ textstyle e ^ {i \ omega t} = \ cos (\ omega t) + i \ sin (\ omega t) \,}$ $\ textstyle e ^ {i \ omega t} = \ cos (\ omega t) + i \ sin (\ omega t) \,$ Formula lui Euler .

Ecuațiile lui Maxwell pentru câmpurile dependente de timp $e^{-i\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {- i \ omega t}}$ $e ^ {- i \ omega t}$ au forma:

\nabla \times \mathbf {E} -i\omega \mathbf {B} =0\qquad \nabla \times \mathbf {B} +i\omega \mu \varepsilon \mathbf {E} =0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} -i \ omega \ mathbf {B} = 0 \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {B} + i \ omega \ mu \ varepsilon \ mathbf {E} = 0}

\ nabla \ times \ mathbf {E} - i \ omega \ mathbf {B} = 0 \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {B} + i \ omega \ mu \ varepsilon \ mathbf {E} = 0

iar liniaritatea ecuațiilor permite descompunerea unei soluții generice într-o combinație de sinusoide prin transformata Fourier . Soluțiile sinusoidale au forma:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {E} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {E} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t\pm \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {B} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {B} _ {0} \ cos (\ omega t \ pm \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} + \ phi _ {0})}

Prin urmare, presupunând că un câmp electromagnetic cu o frecvență fixă constantă are o dependență armonică de timp, ecuațiile lui Maxwell ne permit să reducem ecuația undei pentru câmpuri la ecuația Helmholtz :

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0\qquad \mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E}

{\ displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) \ mathbf {E} = 0 \ qquad \ mathbf {B} = - {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf { ȘI} }

(\ nabla ^ 2 + k ^ 2) \ mathbf {E} = 0 \ qquad \ mathbf {B} = - \ frac {i} {k} \ nabla \ times \ mathbf {E}

În mod similar ajungem la:

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0\qquad \mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B}

{\ displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) \ mathbf {B} = 0 \ qquad \ mathbf {E} = - {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf { B}}

(\ nabla ^ 2 + k ^ 2) \ mathbf {B} = 0 \ qquad \ mathbf {E} = - \ frac {i} {k} \ nabla \ times \ mathbf {B}

Aceste ecuații sunt satisfăcute de fiecare componentă a câmpurilor, cu condiția ca:

k^{2}{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{EB}}\cdot {\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{EB}}=\mu \varepsilon \omega ^{2}

{\ displaystyle k ^ {2} {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}} {EB}} \ cdot {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}} {EB }} = \ mu \ varepsilon \ omega ^ {2}}

k ^ 2 \ frac {\ mathbf E \ times \ mathbf {B}} {E B} \ cdot \ frac {\ mathbf E \ times \ mathbf {B}} {E B} = \ mu \ varepsilon \ omega ^ 2

acesta este ${\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{EB}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}} {EB}}}$ $\ frac {\ mathbf E \ times \ mathbf {B}} {E B}$ este vectorul propagării undei.

Un câmp electromagnetic generic cu frecvență $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este o sumă de soluții ale acestor ecuații, care pot fi exprimate utilizând expansiunea în armonici sferice cu coeficienți proporționali cu funcțiile sferice Bessel . Pentru a obține soluții cu divergență zero, termenul care se dezvoltă în armonici este $\mathbf {r} \cdot \mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {E}}$ $\ mathbf r \ cdot \ mathbf E$ sau $\mathbf {r} \cdot \mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {B}}$ $\ mathbf r \ cdot \ mathbf B$ , obținând:

\mathbf {E} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]

{\ displaystyle \ mathbf {E} = e ^ {- i \ omega t} \ sum _ {l, m} {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} + a_ {M} (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} \ right]}

\ mathbf {E} = e ^ {- i \ omega t} \ sum_ {l, m} \ sqrt {l (l + 1)} \ left [a_E (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} + a_M (l, m) \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} \ right]

\mathbf {B} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]

{\ displaystyle \ mathbf {B} = e ^ {- i \ omega t} \ sum _ {l, m} {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [a_ {E} (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} + a_ {M} (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} \ right]}

\ mathbf {B} = e ^ {- i \ omega t} \ sum_ {l, m} \ sqrt {l (l + 1)} \ left [a_E (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} + a_M (l, m) \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} \ right]

unde este $\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)}}$ $\ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)}$ Și $\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)}}$ $\ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)}$ sunt câmpurile multipolare ale ordinii $(l,m)$ ${\ displaystyle (l, m)}$ $(l, m)$ , $\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)}}$ $\ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)}$ Și $\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)}}$ $\ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)}$ sunt câmpurile magnetice corespunzătoare, în timp ce $a_{E}(l,m)$ ${\ displaystyle a_ {E} (l, m)}$ $a_E (l, m)$ Și $a_{M}(l,m)$ ${\ displaystyle a_ {M} (l, m)}$ $a_M (l, m)$ sunt coeficienții expansiunii. Câmpurile sunt date de:

\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\qquad \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}

{\ displaystyle \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} = {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [B_ {l} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + B_ {l} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ qquad \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} = {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)}}

\ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)} = \ sqrt {l (l + 1)} \ left [B_l ^ {(1)} h_l ^ {(1)} (kr) + B_l ^ {(2)} h_l ^ {(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ qquad \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(E)} = \ frac {i} {k} \ nabla \ times \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(E)}

\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\qquad \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} = {\ sqrt {l (l + 1)}} \ left [E_ {l} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + E_ {l} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ qquad \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} = - {\ frac {i} {k}} \ nabla \ times \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} }

\ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)} = \ sqrt {l (l + 1)} \ left [E_l ^ {(1)} h_l ^ {(1)} (kr) + E_l ^ {(2)} h_l ^ {(2)} (kr) \ right] \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} \ qquad \ mathbf {B} _ {l, m} ^ {(M)} = - \ frac {i} {k} \ nabla \ times \ mathbf {E} _ {l, m} ^ {(M)}

unde este $h_{l}^{(1,2)}(x)$ ${\ displaystyle h_ {l} ^ {(1,2)} (x)}$ $h_l ^ {(1,2)} (x)$ sunt funcțiile sferice Hankel , $E_{l}^{(1,2)}$ ${\ displaystyle E_ {l} ^ {(1,2)}}$ $E_l ^ {(1,2)}$ Și $B_{l}^{(1,2)}$ ${\ displaystyle B_ {l} ^ {(1,2)}}$ $B_l ^ {(1,2)}$ sunt condițiile limită și:

\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}

{\ displaystyle \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} = {\ frac {1} {\ sqrt {l (l + 1)}}} (\ mathbf {r} \ times \ nabla) Y_ {l, m}}

\ mathbf {\ Phi} _ {l, m} = \ frac {1} {\ sqrt {l (l + 1)}} (\ mathbf {r} \ times \ nabla) Y_ {l, m}

sunt armonicele sferice vectoriale, care sunt normalizate în așa fel încât:

\int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}

{\ displaystyle \ int \ mathbf {\ Phi} _ {l, m} ^ {*} \ cdot \ mathbf {\ Phi} _ {l ', m'} d \ Omega = \ delta _ {l, l '} \ delta _ {m, m '}}

\ int \ mathbf {\ Phi} ^ * _ {l, m} \ cdot \ mathbf {\ Phi} _ {l ', m'} d \ Omega = \ delta_ {l, l '} \ delta_ {m, m '}

Valuri plate

Același subiect în detaliu: Val plat .

Luați în considerare planul definit de vectorul perpendicular pe acesta:

\mathbf {n} ={\mathbf {k}  \over k}

{\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ mathbf {k} \ peste k}}

\ mathbf {n} = {\ mathbf {k} \ peste k}

Soluțiile planare ale ecuației de undă sunt:

\mathbf {E} (\mathbf {r} )=E_{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\qquad \mathbf {B} (\mathbf {r} )=B_{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = E_ {0} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ qquad \ mathbf {B} (\ mathbf {r }) = B_ {0} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

\ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = E_0 e ^ {-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ qquad \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = B_0 e ^ {-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}

unde este $\mathbf {r} =(x,y,z)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$ $\ mathbf r = (x, y, z)$ este locația. Ambele expresii satisfac ecuația Helmholtz : ^[12]

(\nabla ^{2}+\mu \varepsilon \omega ^{2})\mathbf {E} =0\qquad (\nabla ^{2}+\mu \varepsilon \omega ^{2})\mathbf {B} =0

{\ displaystyle (\ nabla ^ {2} + \ mu \ varepsilon \ omega ^ {2}) \ mathbf {E} = 0 \ qquad (\ nabla ^ {2} + \ mu \ varepsilon \ omega ^ {2}) \ mathbf {B} = 0}

(\ nabla ^ 2 + \ mu \ varepsilon \ omega ^ 2) \ mathbf E = 0 \ qquad (\ nabla ^ 2 + \ mu \ varepsilon \ omega ^ 2) \ mathbf B = 0

Soluțiile de acest tip reprezintă unde plane care se propagă în direcția vectorului unitar normal către plan. Dacă apare $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ direcția vectorului unitar e $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ direcția câmpului electric, atunci câmpul magnetic are direcție $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și avem asta $\textstyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}$ ${\ displaystyle \ textstyle c ^ {2} {\ partial B \ over \ partial z} = {\ partial E \ over \ partial t}}$ $\ textstyle c ^ 2 {\ partial B \ over \ partial z} = {\ partial E \ over \ partial t}$ . Mai mult, deoarece divergența câmpului magnetic este zero, nu există câmpuri în direcția propagării.

Proprietățile unei unde electromagnetice

Ecuațiile lui Maxwell oferă diverse informații cu privire la propagarea undelor electromagnetice. Luați în considerare un câmp generic:

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)

{\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} f \ left ({\ hat {\ mathbf {k}}} \ cdot \ mathbf {x} -c_ {0} t \ right)}

\ mathbf {E} = \ mathbf {E} _0 f \ left (\ hat {\ mathbf {k}} \ cdot \ mathbf {x} - c_0 t \ right)

unde este $\mathbf {E} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0}}$ $\ mathbf {E} _0$ este amplitudinea constantă, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție diferențială de ordinul doi, ${\hat {\mathbf {k} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}$ $\ hat {\ mathbf {k}}$ este vectorul direcției de propagare e ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ mathbf {x}}$ pozitia. Este notat ca $f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)$ ${\ displaystyle f \ left ({\ hat {\ mathbf {k}}} \ cdot \ mathbf {x} -c_ {0} t \ right)}$ $f \ left (\ hat {\ mathbf {k}} \ cdot \ mathbf {x} - c_0 t \ right)$ este o soluție generică a ecuației undei, adică:

\nabla ^{2}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f \ left ({\ hat {\ mathbf {k}}} \ cdot \ mathbf {x} -c_ {0} t \ right) = {\ frac {1} {{c_ {0}} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} f \ left ({\ hat {\ mathbf {k}}} \ cdot \ mathbf {x} -c_ {0} t \ right)}

\ nabla ^ 2 f \ left (\ hat {\ mathbf {k}} \ cdot \ mathbf {x} - c_0 t \ right) = \ frac {1} {{c_0} ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 } {\ partial t ^ 2} f \ left (\ hat {\ mathbf {k}} \ cdot \ mathbf {x} - c_0 t \ right)

pentru o undă generică care se propagă în direcție ${\hat {\mathbf {k} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}$ $\ hat {\ mathbf {k}}$ . Această funcție trebuie să satisfacă și ecuațiile lui Maxwell: ^[13]

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=0\qquad \mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=0\qquad \mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0

\nabla \cdot \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right) = 0 \qquad \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{k}} = 0

\nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E}

\nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E}

\nabla \times \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right) = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \mathbf{B} = \frac{1}{c_0} \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}

La prima equazione implica quindi che il campo elettrico è ortogonale alla direzione di propagazione, mentre la seconda definisce il campo magnetico, ortogonale sia al campo elettrico che alla direzione di propagazione.

Dalle equazioni di Maxwell si evince dunque che in un'onda elettromagnetica i campi sono ortogonali fra loro e ortogonali alla direzione di propagazione, che le loro ampiezze sono proporzionali, e che la costante di tale proporzionalità è la velocità di propagazione, che dipende dalle caratteristiche del mezzo in cui si propaga. Infine bisogna ricordare che un'onda elettromagnetica può essere definita tale solo se entrambi i campi elettrico e magnetico che la costituiscono rispettano sia l'equazione delle onde che le 4 equazioni di Maxwell.

Energia e vettore di Poynting

Lo stesso argomento in dettaglio: Energia del campo elettromagnetico e Vettore di Poynting .

Ogni onda elettromagnetica è in grado di trasferire energia tra due punti dello spazio. Si consideri il caso di un' onda piana , e si prenda un volume arbitrario τ contenente un campo elettromagnetico. Al suo interno la densità di energia elettrica vale: ^[14]

u_{e}={\dfrac {1}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}

u_{e}={\dfrac {1}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}

u_e=\dfrac{1}{2}\mathbf E\cdot \mathbf D

mentre la densità di energia magnetica vale:

u_{m}={\dfrac {1}{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {H}

u_{m}={\dfrac {1}{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {H}

u_m=\dfrac{1}{2} \mathbf B \cdot \mathbf H

L'energia totale all'interno del volume sarà quindi: ^[15]

U=\int _{V}u_{E}dV+\int _{V}u_{B}dV=\int _{V}\left({\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }{2}}\right)dV

U=\int _{V}u_{E}dV+\int _{V}u_{B}dV=\int _{V}\left({\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }{2}}\right)dV

U = \int_{V} u_E dV + \int_{V} u_B dV = \int_{V} \left(\frac {\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf H \cdot \mathbf B}{2} \right) dV

Derivando quest'equazione e sfruttando le relazioni tra gli operatori rotore e divergenza si ottiene:

{\frac {\partial U}{\partial t}}=-\int _{S}(\mathbf {E} \times \mathbf {H} )dS-\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} dV

{\frac {\partial U}{\partial t}}=-\int _{S}(\mathbf {E} \times \mathbf {H} )dS-\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} dV

\frac{\partial U}{\partial t} = - \int_{S} (\mathbf E \times \mathbf H) dS - \int_{V} \mathbf E \cdot \mathbf J dV

Il termine:

\mathbf {P} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}

\mathbf {P} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}

\mathbf P = \mathbf E \times \mathbf H

è il vettore di Poynting, mentre il secondo integrale al secondo membro rappresenta il contributo dell'energia del campo elettrico per la presenza della carica contenuta nel volume $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ . ^[16] Dal punto di vista fisico la precedente espressione esprime il fatto che la variazione nel tempo dell'energia contenuta nel volume $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ delimitato dalla superficie $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ è pari al flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie, più l'energia dissipata per effetto Joule nella materia contenuta all'interno. In generale, dunque, secondo l'interpretazione classica ondulatoria l'energia posseduta del campo è riconducibile all'ampiezza (precisamente al quadrato dell'ampiezza) dell'onda che ne descrive la propagazione.

Intensità dell'onda elettromagnetica

Nel caso di un' onda piana , sapendo che i campi elettrico e magnetico sono ortogonali tra loro:

\mathbf {E} =\mathbf {B} \times \mathbf {v}

\mathbf {E} =\mathbf {B} \times \mathbf {v}

\mathbf E = \mathbf B \times \mathbf v

e che oscillano ortogonali alla direzione di propagazione dell'onda, ponendo che non vi siano effetti dissipativi si ha:

\mathbf {P} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{\mu }}={\frac {1}{\mu }}(\mathbf {B} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {B} ={\frac {B^{2}}{\mu }}\mathbf {v}

\mathbf {P} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{\mu }}={\frac {1}{\mu }}(\mathbf {B} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {B} ={\frac {B^{2}}{\mu }}\mathbf {v}

\mathbf P = \frac{\mathbf E \times \mathbf B}{\mu} = \frac{1}{\mu} (\mathbf B \times \mathbf v) \times \mathbf B = \frac{B^2}{\mu} \mathbf v

dove $\mathbf {v}$ $\mathbf {v}$ $\mathbf v$ è la velocità di propagazione dell'onda. Oppure, in termini di campo elettrico:

\mathbf {P} =\varepsilon E^{2}\mathbf {v} ={\frac {E^{2}}{Z}}{\hat {n}}

\mathbf {P} =\varepsilon E^{2}\mathbf {v} ={\frac {E^{2}}{Z}}{\hat {n}}

\mathbf P = \varepsilon E^2 \mathbf v = \frac{E^2}{Z} \hat n

dove ${\hat {n}}$ ${\hat {n}}$ $\hat n$ è il versore che identifica la direzione di propagazione dell'onda e:

Z={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}

Z={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}

Z = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}

è l' impedenza caratteristica del materiale entro cui si propaga l'onda.

Il modulo del vettore di Poynting è l'intensità dell'onda, cioè l'energia che attraversa la superficie ortogonale alla velocità di propagazione, nell'unità di tempo:

P={\frac {E^{2}}{Z}}=E^{2}{\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}=H^{2}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}

P={\frac {E^{2}}{Z}}=E^{2}{\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}=H^{2}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}

P = \frac{E^2}{Z} = E^2 \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} = H^2 \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}

Se l'onda piana è approssimabile con un'onda monocromatica, essa è caratterizzata da un andamento sinusoidale del tipo:

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)

\mathbf E = \mathbf E_0 \cos (\mathbf k \cdot \mathbf r - \omega t)

e lo stesso vale per il campo magnetico. Segue che l'intensità dell'onda è anch'essa una funzione sinusoidale negli stessi argomenti, e deve essere mediata su un periodo:

{\bar {P}}={\frac {E_{0}^{2}}{2Z}}={\frac {E_{\text{eff}}^{2}}{Z}}

{\bar {P}}={\frac {E_{0}^{2}}{2Z}}={\frac {E_{\text{eff}}^{2}}{Z}}

\bar P = \frac{E_{0}^{2}}{2Z} = \frac{E_\text{eff}^{2}}{Z}

dove $E_{\text{eff}}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}$ $E_{\text{eff}}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}$ $E_\text{eff} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ è il valore medio dell'intensità d'onda calcolato su un periodo.

Nel caso di un' onda sferica il fronte d'onda è una superficie sferica e la velocità è radiale. Per cui l'intensità d'onda dipende da $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf r$ :

{\bar {P}}={\frac {E_{0}^{2}}{2Zr^{2}}}={\frac {E_{\text{eff}}^{2}}{Zr^{2}}}

{\bar {P}}={\frac {E_{0}^{2}}{2Zr^{2}}}={\frac {E_{\text{eff}}^{2}}{Zr^{2}}}

\bar P = \frac{E_{0}^{2}}{2Zr^2} = \frac{E_\text{eff}^{2}}{Zr^2}

dunque essa diminuisce come l'inverso del quadrato della distanza. ^[17]

Polarizzazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Polarizzazione della radiazione elettromagnetica .

Interazione tra radiazione elettromagnetica e materia

Un'onda elettromagnetica che incide o si propaga in un materiale trasferisce ad esso una certa quantità di energia, e la sua forma cambia a seconda delle caratteristiche del mezzo considerato.

Onda incidente su un materiale

Lo stesso argomento in dettaglio: Forza di Lorentz .

Si consideri un'onda elettromagnetica incidente su un certo materiale, la forza esercitata dal campo elettromagnetico per unità di volume è data dalla forza di Lorentz generalizzata: ^[18]

d\mathbf {F} =nq(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{d}\times \mathbf {B} )

d\mathbf {F} =nq(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{d}\times \mathbf {B} )

d \mathbf F = nq(\mathbf E + \mathbf v_d \times \mathbf B)

dove $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ è il numero di cariche $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ contenute nel volume $d\tau$ $d\tau$ $d \tau$ , e $\mathbf {v} _{d}$ $\mathbf {v} _{d}$ $\mathbf v_d$ la loro velocità di deriva media.

La potenza trasferita dall'onda elettromagnetica per unità di volume al materiale è dovuta solamente al campo elettrico, in quanto la forza relativa al campo magnetico non compie lavoro . Moltiplicando scalarmente la precedente espressione per la velocità, che è ortogonale al vettore $\mathbf {v} \times \mathbf {B}$ $\mathbf {v} \times \mathbf {B}$ $\mathbf v \times \mathbf B$ , si ottiene infatti l'espressione della densità di potenza: ^[19]

w=\mathbf {E} \cdot \mathbf {J}

w=\mathbf {E} \cdot \mathbf {J}

w = \mathbf E \cdot \mathbf J

dove $\mathbf {J} =nq\mathbf {v}$ $\mathbf {J} =nq\mathbf {v}$ $\mathbf J = nq \mathbf v$ è la densità di corrente , che è proporzionale al campo:

\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}

\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}

\mathbf J = \sigma \mathbf E

La costante di proporzionalità, detta conducibilità elettrica , è un numero complesso . Si ha quindi in generale:

w=\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\sigma E^{2}

w=\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\sigma E^{2}

w = \mathbf E \cdot \mathbf J = \sigma E^2

Nel caso considerevole in cui l'onda ha una rappresentazione sinusoidale, anche la densità di corrente ha una dipendenza sinusoidale, per cui la densità di potenza deve essere mediata su un periodo:

\langle w\rangle =\langle \mathbf {E} \cdot \mathbf {J} \rangle ={\frac {E_{0}^{2}}{2}}\sigma \cos \alpha

\langle w\rangle =\langle \mathbf {E} \cdot \mathbf {J} \rangle ={\frac {E_{0}^{2}}{2}}\sigma \cos \alpha

\langle w \rangle = \langle\mathbf E \cdot \mathbf J\rangle = \frac{E_0^2}{2} \sigma \cos \alpha

dove si è sviluppato il prodotto scalare , e $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ è l'angolo tra il campo elettrico e il vettore densità di corrente.

Quantità di moto

Lo stesso argomento in dettaglio: Quantità di moto .

Oltre all'energia, un'onda trasferisce una certa quantità di moto $\mathbf {q}$ $\mathbf {q}$ $\mathbf q$ , il cui modulo è pari all'energia trasferita all'unità di volume del materiale e per unità di tempo divisa per la velocità di propagazione. La quantità di moto è data dalla media temporale della forza subita dall'unità di volume definita in precedenza: ^[19]

\langle \mathbf {q} \rangle ={\frac {\langle W\rangle }{v}}{\hat {v}}

\langle \mathbf {q} \rangle ={\frac {\langle W\rangle }{v}}{\hat {v}}

\langle\mathbf q\rangle = \frac{\langle W\rangle}{v} \hat v

diretta lungo la direzione di propagazione dell'onda. Nel vuoto si ha: ^[20]

\langle \mathbf {q} \rangle ={\frac {\langle W\rangle }{c}}{\hat {v}}

\langle \mathbf {q} \rangle ={\frac {\langle W\rangle }{c}}{\hat {v}}

\langle\mathbf q\rangle = \frac{\langle W\rangle}{c} \hat v

dove $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ è la velocità della luce .

Momento angolare

Lo stesso argomento in dettaglio: Momento angolare .

Avendo definito la quantità di moto di un'onda elettromagnetica, è possibile ricavare il relativo momento angolare : ^[21]

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {q}

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {q}

\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf q

Inoltre, l'onda possiede anche un momento angolare intrinseco quando essa è polarizzata circolarmente , dato da:

\mathbf {L} =\pm \omega \mathbf {P}

\mathbf {L} =\pm \omega \mathbf {P}

\mathbf L = \pm \omega \mathbf P

dove il segno dipende dal verso della rotazione e la direzione è longitudinale alla direzione di propagazione dell'onda.

Propagazione della radiazione nei materiali

Lo studio della propagazione delle radiazione in un materiale cambia a seconda ci si trovi in presenza di un conduttore o di un dielettrico.

Propagazione in un conduttore

Lo stesso argomento in dettaglio: Onda elettromagnetica in un conduttore .

Un'onda elettromagnetica che incide su un conduttore elettrico ha come effetto di accelerare gli elettroni di conduzione, che effettuano un moto oscillatorio dipendente dalla forma dell'onda. L'onda non penetra oltre gli strati superficiali del conduttore, e viene per la maggior parte riflessa o dissipata per effetto Joule . ^[22] Lo studio del comportamento dei campi nel conduttore si basa sull'estensione delle equazioni di Maxwell al caso in cui la radiazione si propaghi in un conduttore elettrico, le quali permettono di ricavare l' equazione delle onde per il campo elettrico ed il campo magnetico all'interno di un conduttore. ^[23]

Si consideri un conduttore ohmico omogeneo e isotropo , l'equazione delle onde elettromagnetiche ha la forma:

\nabla ^{2}\mathbf {E} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0

\nabla ^{2}\mathbf {E} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0

\nabla^2 \mathbf E - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0

\nabla ^{2}\mathbf {H} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}=0

\nabla ^{2}\mathbf {H} -\varepsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}=0

\nabla^2 \mathbf H - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf H}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf H}{\partial t} = 0

dove $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ è la conducibilità elettrica . L'equazione delle onde si può ricavare introducendo nelle equazioni di Maxwell la legge di Ohm generalizzata: ^[22]

\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}

\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}

\mathbf J = \sigma \mathbf E

dove $\mathbf {J}$ $\mathbf {J}$ $\mathbf J$ è la densità di corrente . La precedente relazione locale vale anche nel caso non stazionario, sebbene la conducibilità elettrica dipenda in generale dal campo.

La soluzione generale nel caso di onda piana che si propaga nella direzione $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è: ^[7]

\phi (x,t)=\Phi (x)e^{j\omega t}\

\phi (x,t)=\Phi (x)e^{j\omega t}\

\phi (x,t) = \Phi(x) e^{j \omega t} \

dove $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ è l'unità immaginaria e la funzione complessa $\Phi (x)$ $\Phi (x)$ $\Phi(x)$ ha soluzione del tipo: ^[24]

\Phi (x)=Ae^{j\alpha x}\

\Phi (x)=Ae^{j\alpha x}\

\Phi (x) = A e^{j \alpha x} \

dove:

\alpha ^{2}=\omega ^{2}\varepsilon \mu -j\omega \sigma \mu \

\alpha ^{2}=\omega ^{2}\varepsilon \mu -j\omega \sigma \mu \

\alpha^2 = \omega^2 \varepsilon \mu - j \omega \sigma \mu \

con parte reale $\Re$ $\Re$ $\Re$ e parte immaginaria $\Im$ $\Im$ $\Im$ date da:

\Re (\alpha )=\omega {\sqrt {{\frac {\varepsilon \mu }{2}}\left(1\pm {\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{\omega ^{2}\varepsilon ^{2}}}}}\right)}}

\Re (\alpha )=\omega {\sqrt {{\frac {\varepsilon \mu }{2}}\left(1\pm {\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{\omega ^{2}\varepsilon ^{2}}}}}\right)}}

\Re(\alpha) = \omega \sqrt{\frac{\varepsilon \mu}{2} \left( 1\pm \sqrt{1+ \frac{\sigma^2}{\omega^2 \varepsilon^2}} \right)}

\Im (\alpha )={\frac {\omega \sigma \mu }{2\cdot \Re (\alpha )}}

\Im (\alpha )={\frac {\omega \sigma \mu }{2\cdot \Re (\alpha )}}

\Im(\alpha) = \frac{\omega \sigma \mu}{2 \cdot \Re(\alpha)}

In definitiva l'onda piana assume una soluzione del tipo: ^[8]

\phi (x,t)=Ae^{\Im (\alpha )\cdot x}e^{j(\Re (\alpha )\cdot x+\omega t)}

\phi (x,t)=Ae^{\Im (\alpha )\cdot x}e^{j(\Re (\alpha )\cdot x+\omega t)}

\phi(x,t) = A e^{\Im(\alpha) \cdot x} e^{j(\Re(\alpha) \cdot x + \omega t)}

A questo punto l'onda trasferisce un'oscillazione smorzata per $\Re (\alpha )<0$ $\Re (\alpha )<0$ $\Re(\alpha) < 0$ con coefficiente di attenuazione $|\Im (\alpha )|$ $|\Im (\alpha )|$ $|\Im(\alpha)|$ .

Propagazione in un dielettrico

Nelle misure reali dei campi elettromagnetici, tipicamente ad alta frequenza, si utilizza la relazione tra il campo magnetico ed il campo elettrico espressa attraverso l' impedenza caratteristica del mezzo nel quale si propaga la radiazione. L'impedenza d'onda $Z$ ${\displaystyle Z}$ $Z$ è espressa attraverso i parametri dell'onda elettromagnetica e del mezzo in cui essa si propaga:

Z={\sqrt {j\omega \mu  \over \sigma +j\omega \varepsilon }}

Z={\sqrt {j\omega \mu \over \sigma +j\omega \varepsilon }}

Z = \sqrt {j \omega \mu \over \sigma + j \omega \varepsilon}

dove $\mu$ $\mu$ $\mu$ è la permeabilità magnetica , $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ la permittività elettrica e $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ la conducibilità elettrica del materiale in cui l'onda si propaga. In questa equazione, $j$ ${\displaystyle j}$ $j$ è l' unità immaginaria , e $\omega$ $\omega$ $\omega$ la frequenza angolare dell'onda.

Nel caso di un dielettrico , in cui la conducibilità è trascurabile, l'equazione si riduce nella seguente: ^[13]

Z={\sqrt {\mu  \over \varepsilon }}

Z={\sqrt {\mu \over \varepsilon }}

Z = \sqrt {\mu \over \varepsilon}

Nel vuoto, e quindi approssimativamente anche in aria, tale rapporto vale circa 377 ohm:

Z_{0}={\sqrt {\dfrac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=376,730\ 313\ 461\ 77\ldots \Omega \simeq 120\pi \Omega \simeq 377\Omega

Z_{0}={\sqrt {\dfrac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=376,730\ 313\ 461\ 77\ldots \Omega \simeq 120\pi \Omega \simeq 377\Omega

Z_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 376,730\ 313\ 461\ 77 \ldots \Omega\simeq 120\pi \Omega \simeq 377 \Omega

La relazione tra i campi in tale caso diventa:

Z={\dfrac {E}{H}}

Z={\dfrac {E}{H}}

Z= \dfrac{E}{H}

Questa formula può essere utilizzata solo in campo lontano dalla sorgente, e viene utilizzata in particolare per la valutazione dell'esposizione umana ai campi elettromagnetici.

Velocità di propagazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Velocità della luce .

La velocità di propagazione di un'onda elettromagnetica è indipendente dalla velocità della sorgente, dalla direzione di propagazione, e dalla velocità dell'osservatore. La velocità dipende soltanto dal mezzo in cui si propaga la radiazione, e nel vuoto è pari alla velocità della luce, la quale è l'esempio più noto di onda elettromagnetica.

La velocità della luce nel vuoto si indica in genere con la lettera $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ ed il suo valore numerico, misurato con grande precisione, in unità del sistema internazionale è 299 792 458 m/s. È importante notare che tale valore è stato assunto come esatto: ciò vuol dire che la velocità della luce è posta per definizione uguale a $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ , e per questo motivo essa non è affetta da alcuna incertezza, al contrario di ciò che avviene per i valori che derivano da un processo di misura. Quest'assunzione ha comportato anche la modifica della definizione del metro .

Nei mezzi materiali e nelle guide d'onda la propagazione della radiazione elettromagnetica diviene un fenomeno più complesso. Innanzitutto la sua velocità è diversa rispetto a quella nel vuoto secondo un fattore che dipende dalle proprietà del mezzo o della guida d'onda. Può dipendere inoltre dalla frequenza della radiazione, secondo una relazione di dispersione . Restano definite due velocità, dette velocità di gruppo e velocità di fase .

L'astronomo danese Ole Rømer fu il primo a determinare empiricamente la velocità della luce per mezzo dell'osservazione del satellite di Giove di nome "Io". Annunciò la sua scoperta nel 1675 ^{[ senza fonte ]} .

Romer misurò il tempo che il satellite impiegava ad attraversare il cono d'ombra provocato da Giove notando che il tempo impiegato era diverso ad ogni misurazione. Questo perché quando "Io" entrava nel cono d'ombra di Giove la distanza di questi dalla terra era una, mentre, quando "Io" usciva dal cono d'ombra, la distanza dalla terra era diversa. Così ogni volta che la misura viene ripetuta il tempo impiegato appare diverso (a seconda che la terra si stia avvicinando a Giove, tempo più breve del reale, o che si stia allontanando, tempo più lungo). Attraverso l'osservazione di questo fenomeno riuscì infine a calcolare la velocità della luce ottenendo un valore ( Errore del parser (funzione sconosciuta '\s'): {\displaystyle 2.2 \times 10^8 m\s} ^{[ senza fonte ]} ) molto simile al valore reale (299 792 458 m/s).

Oggi la velocità della luce viene misurata direttamente, calcolando il tempo che impiega un impulso luminoso emesso da un laser a percorrere un determinato spazio. Dal momento che questa procedura è molto precisa e la velocità della luce è costante nel vuoto, si è pensato di definire il metro in termini di velocità della luce (vedere in proposito metro ).

Effetti biologici delle radiazioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Radiazioni ionizzanti , Malattia da radiazione ed Elettrosmog .

Gli effetti della radiazione elettromagnetica sugli esseri viventi dipendono principalmente da due fattori:

la frequenza della radiazione, ovvero il tipo
la modalità di esposizione ovvero l'intensità della radiazione, la durata dell'esposizione, le parti del corpo esposte.

Per quanto riguarda la frequenza della radiazione si usa distinguere tra:

radiazioni ionizzanti , di frequenza sufficientemente alta da essere in grado di ionizzare gli atomi della sostanza esposta; possono quindi modificare le strutture molecolari, potendo anche produrre effetti biologici a lungo termine sui viventi interagendo con il DNA cellulare. Essendo le più energetiche sono, a grandi linee, le più pericolose (esempi: radiologia , armi nucleari ).
radiazioni non ionizzanti ; si designano come non ionizzanti quelle radiazioni elettromagnetiche non in grado di produrre ionizzazione nei materiali ad esse esposti. Un esempio di radiazioni non ionizzanti sono le onde radio . L'energia più bassa le pone, in generale in classi di rischio più basse delle precedenti.

Si ritiene comunemente, vedere in proposito la voce elettrosmog , che le radiazioni non ionizzanti possano avere effetti sui viventi non solo per i loro effetti termici.

Radiazione elettromagnetica naturale

Note

^ Britannica - Electromagnetic radiation , su britannica.com . URL consultato il 22-06-11 .
^ J. Clerk Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field , in Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 155, 1865, pp. 459–512, Bibcode : 1865RSPT..155..459C , DOI : 10.1098/rstl.1865.0008 .
^ Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Springer Science and Business Media, 1995, pp. 28–33, ISBN 978-0-387-91501-2 .
^ The Dual Nature of Light as Reflected in the Nobel Archives , su www.nobelprize.org .
^ Electromagnetic Spectrum facts, information, pictures | Encyclopedia.com articles about Electromagnetic Spectrum , su encyclopedia.com .
^ P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Fisica vol.II , EdiSES, 1998, ISBN 88-7959-152-5 .
^ ^a ^b ^c Mencuccini, Silvestrini , Pag. 461 .
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 462 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 464 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 463 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 460 .
^ Jackson , Pag. 296 .
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 468 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 471 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 491 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 492 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 494 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 495 .
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 496 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 497 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 498 .
^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , Pag. 480 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 481 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 482 .

Bibliografia

Giuliano Toraldo di Francia e Piero Bruscaglioni, Onde elettromagnetiche , Bologna, Zanichelli, 1988, ISBN 978-88-08-05004-5 .
Richard Feynman , La fisica di Feynman , vol II , Bologna, Zanichelli, 2017, ISBN 978-88-08-60629-7 . § 21-1
Richard Feynman, La fisica di Feynman, vol II , Bologna, Zanichelli, 2017, ISBN 978-88-08-60629-7 . § 21-4
Richard Feynman, La fisica di Feynman, vol I , Bologna, Zanichelli, 2017, ISBN 978-88-08-22107-0 . cap. 28
Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) John D Jackson, Classical Electrodynamics , 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su radiazione elettromagnetica

Collegamenti esterni

( EN ) Radiazione elettromagnetica , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Direttiva 89/336/CEE sui disturbi di radiofrequenza ( PDF ), su italtec.it .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 5540 · LCCN ( EN ) sh85042179 · GND ( DE ) 4014297-8

Portale Elettromagnetismo : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di elettromagnetismo

[britannica-1] Britannica - Electromagnetic radiation , su britannica.com . URL consultato il 22-06-11 .

[2] J. Clerk Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field , in Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol. 155, 1865, pp. 459–512, Bibcode : 1865RSPT..155..459C , DOI : 10.1098/rstl.1865.0008 .

[3] Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Springer Science and Business Media, 1995, pp. 28–33, ISBN 978-0-387-91501-2 .

[4] The Dual Nature of Light as Reflected in the Nobel Archives , su www.nobelprize.org .

[5] Electromagnetic Spectrum facts, information, pictures | Encyclopedia.com articles about Electromagnetic Spectrum , su encyclopedia.com .

[6] P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Fisica vol.II , EdiSES, 1998, ISBN 88-7959-152-5 .

[eq-7] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 461 .

[sol-8] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 462 .

[9] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 464 .

[10] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 463 .

[11] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 460 .

[12] Jackson , Pag. 296 .

[vel-13] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 468 .

[14] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 471 .

[15] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 491 .

[16] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 492 .

[17] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 494 .

[18] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 495 .

[int-19] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 496 .

[20] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 497 .

[21] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 498 .

[con-22] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 480 .

[eq2-23] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 481 .

[sol2-24] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 482 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]