Operator (fizica)

În fizică, un operator este o funcție care merge de la o stare de spațiu într - un alt spațiu de stat. Cel mai simplu exemplu de utilitatea operatorilor este studiul de simetrie , care , în acest context , face conceptul de grup util. Din acest motiv, ele sunt instrumente foarte utile în mecanica clasică . Operatorii sunt chiar mai importante în mecanica cuantică , în cazul în care acestea formează o parte importantă a formulării teoriei lui. Trebuie, de asemenea, a spus că proprietățile matematice ale operatorilor fizice sunt un subiect de mare importanță în sine.

Operatorii în mecanica clasică

În mecanica clasică, mișcarea unei particule sau sistem de particule, este complet determinat de Lagrangianului ${\mathcal {L}}(\mathbf {\dot {q}} ,\mathbf {q} ,t)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {\ dot {q}} \ mathbf {q}, t)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {\ dot {q}} \ mathbf {q}, t)}$ sau, echivalent, de la hamiltonianul ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q} \ mathbf {p}, t)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ mathbf {q} \ mathbf {p}, t)}$ , Care sunt funcții de coordonate generalizate $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , A respectivelor viteze generalizate ${\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ dot q} _ {i}$ și conjugat momente $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ .

De sine ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ sau ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ele sunt independente de o coordonata generalizată $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , Care se numește ciclic , înseamnă că dinamica particulei este întotdeauna aceeași chiar și atunci când $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ se schimba. De aceea, prin teorema lui Noether , momentele liniare conjugate la coordonatele ciclice vor fi conservate și invarianța mișcării în raport cu coordonatei $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ este o simetrie . Operatorii mecanicii clasice sunt legate de aceste simetrii. Mai precis, atunci când ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ este invariant sub acțiunea unui anumit grup de transformări ${\mathcal {G}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ $\ Mathcal G$ :

g\in {\mathcal {G}}\implies {\mathcal {H}}(g(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ))={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )

{\ Displaystyle g \ în {\ mathcal {G}} \ implică {\ mathcal {H}} (g (\ mathbf {q} \ mathbf {p})) = {\ mathcal {H}} (\ mathbf { q}, \ mathbf {p})}

{\ Displaystyle g \ în {\ mathcal {G}} \ implică {\ mathcal {H}} (g (\ mathbf {q} \ mathbf {p})) = {\ mathcal {H}} (\ mathbf { q}, \ mathbf {p})}

.

elementele de ${\mathcal {G}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ $\ Mathcal G$ acestea sunt operatori fizice, care hartă stări fizice între ele.

Tabelul operatorilor mecanici clasice

Transformare	Operator	Poziţie	Viteză	Impuls
simetrie translațională	$X(\mathbf {r} ^{\prime })$ ${\ Displaystyle X (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$ ${\ Displaystyle X (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$	$\mathbf {r} \to \mathbf {r} +\mathbf {r} ^{\prime }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ a \ mathbf {r} + \ mathbf {r} ^ {\ prim}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ a \ mathbf {r} + \ mathbf {r} ^ {\ prim}}$	$\mathbf {v} \to \mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ a \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ a \ mathbf {v}}$	$\mathbf {p} \to \mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ a \ mathbf {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ a \ mathbf {p}}$
Simetrie translationala-temporale	$S(t_{0})$ ${\ Displaystyle S (T_ {0})}$ ${\ Displaystyle S (T_ {0})}$	$\mathbf {r} (t_{0})\to \mathbf {r} (t_{0}+t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (T_ {0}) \ a \ mathbf {r} (T_ {0} + t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (T_ {0}) \ a \ mathbf {r} (T_ {0} + t)}$	$\mathbf {v} (t_{0})\to \mathbf {v} (t_{0}+t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (T_ {0}) \ a \ mathbf {v} (T_ {0} + t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (T_ {0}) \ a \ mathbf {v} (T_ {0} + t)}$	$\mathbf {p} (t_{0})\to \mathbf {p} (t_{0}+t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} (T_ {0}) \ a \ mathbf {p} (T_ {0} + t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} (T_ {0}) \ a \ mathbf {p} (T_ {0} + t)}$
invarianta Rotational	$R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )$ ${\ Displaystyle R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta)}$ ${\ Displaystyle R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta)}$	$\mathbf {r} \to R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ R ({\ hat {\ mathbf {n}}} \ theta) \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ R ({\ hat {\ mathbf {n}}} \ theta) \ mathbf {r}}$	$\mathbf {v} \to R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta) \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta) \ mathbf {v}}$	$\mathbf {p} \to R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta) \ mathbf {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta) \ mathbf {p}}$
Transformări galileene	$G(\mathbf {v} )$ ${\ Displaystyle G (\ mathbf {v})}$ ${\ Displaystyle G (\ mathbf {v})}$	$\mathbf {r} \to \mathbf {r} +\mathbf {v} t$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ a \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ a \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}$	$\mathbf {v} _{0}\to \mathbf {v} _{0}+\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ a \ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ a \ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {v}}$	$\mathbf {p} \to \mathbf {p} +m\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ a \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ a \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}$
Paritate	$P(\mathbf {r} )$ ${\ Displaystyle P (\ mathbf {r})}$ ${\ Displaystyle P (\ mathbf {r})}$	$\mathbf {r} \to -\mathbf {r}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ to - \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ to - \ mathbf {r}}$	$\mathbf {v} \to -\mathbf {v}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ to - \ mathbf {v}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ to - \ mathbf {v}}$	$\mathbf {p} \to -\mathbf {p}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ to - \ mathbf {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ to - \ mathbf {p}}$
Simetria timpului	$T(t)$ ${\ displaystyle T (t)}$ ${\ T displaystyle (t)}$	$\mathbf {p} \to -\mathbf {p} (-t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ to - \ mathbf {p} (-t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ to - \ mathbf {p} (-t)}$	$\mathbf {v} \rightarrow -\mathbf {v} (-t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ rightarrow - \ mathbf {v} (-t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ rightarrow - \ mathbf {v} (-t)}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p} (-t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p} (-t)}$

unde este $R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )$ ${\ Displaystyle R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta)}$ ${\ Displaystyle R ({\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta)}$ tensorul rotațiile axei definite de către unitatea de vector ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ și de la colț $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Generatoare

În cazul în care transformarea este infinitezimal, acțiunea operatorului trebuie să fie de forma

\mathbf {I} +\varepsilon A

{\ Displaystyle \ mathbf {I} + \ varepsilon A}

{\ Displaystyle \ mathbf {I} + \ varepsilon A}

unde este $\mathbf {I}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$ este tensorul de identitate, $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ un parametru infinitezimal, e $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ aceasta va depinde de transformare în curs de desfășurare și se numește un set de generatoare . Un alt exemplu este obținut prin derivarea generatoarea traducerilor spațiale asupra funcțiilor unidimensionale.

După cum sa menționat deja, $T_{a}f(x)=f(x-a)$ ${\ T_ displaystyle {a} f (x) = f (xa)}$ ${\ T_ displaystyle {a} f (x) = f (x-a)}$ , de sine $a=\varepsilon$ ${\ Displaystyle a = \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle a = \ varepsilon}$ atunci va avea ca

T_{\varepsilon }f(x)=f(x-\varepsilon )\simeq f(x)-\varepsilon f'(x)

{\ T displaystyle _ {\ varepsilon} f (x) = f (x- \ varepsilon) \ simeq f (x) - \ varepsilon f „(x)}

{\ T displaystyle _ {\ varepsilon} f (x) = f (x- \ varepsilon) \ simeq f (x) - \ varepsilon f „(x)}

Această formulă poate fi rescrisă ca

T_{\varepsilon }f(x)=(\mathbf {I} -\varepsilon D)f(x)

{\ T displaystyle _ {\ varepsilon} f (x) = (\ mathbf {I} - \ varepsilon D) f (x)}

{\ T displaystyle _ {\ varepsilon} f (x) = (\ mathbf {I} - \ varepsilon D) f (x)}

unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este generatorul grupului de translație, care în acest caz reprezintă operatorul derivat. Prin urmare, generatorul traducerilor este declarat a fi derivatul.

Exponențială hartă

Același subiect în detaliu: C * algebră și Gelfand-Naimark Teorema .

Ca regulă generală, întregul grup poate fi derivată din generatoarele, prin harta exponențială. În cazul traducerii, ideea de bază este aceasta.

Traducerea pentru o valoare finită egal cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ poate fi obținut prin aplicarea în mod repetat o traducere infinitezimal:

T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ lim _ {N \ a \ infty} T_ {a / N} \ cdots T_ {a / N} f (x)}

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ lim _ {N \ a \ infty} T_ {a / N} \ cdots T_ {a / N} f (x)}

De sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este mare, fiecare factor poate fi considerat infim:

T_{a}f(x)=\lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -(a/n)D)^{n}f(x)

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ lim _ {n \ a \ infty} (\ mathbf {I} - (a / n) D) ^ {n} f (x)}

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ lim _ {n \ a \ infty} (\ mathbf {I} - (a / n) D) ^ {n} f (x)}

Totuși această limită poate fi rescrisă ca o exponențială:

T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ exp (-aD) f (x).}

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ exp (-aD) f (x).}

Pentru a confirma validitatea acestei expresii, putem extinde exponențială într-o serie de puteri:

T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ stânga (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} \ peste 2} - {a ^ {3} D ^ {3} \ peste 3 !} + \ cdots \ dreapta) f (x).}

{\ T_ displaystyle {a} f (x) = \ stânga (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} \ peste 2} - {a ^ {3} D ^ {3} \ peste 3 !} + \ cdots \ dreapta) f (x).}

Al doilea membru poate fi rescrisă ca

f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots

{\ F displaystyle (x) AF '(x) + {a ^ {2} \ peste 2} f!' '(X) - {a ^ {3} \ peste 3} f' '' (x)! + \ cdots}

{\ F displaystyle (x) AF '(x) + {a ^ {2} \ peste 2} f!' '(X) - {a ^ {3} \ peste 3} f' '' (x)! + \ cdots}

care este pur și simplu de expansiune de serie a lui Taylor $f(x-a)$ ${\ F displaystyle (xa)}$ ${\ F displaystyle (x-a)}$ , Care a fost valoarea inițială a $T_{a}f(x)$ ${\ T_ displaystyle {a} f (x)}$ ${\ T_ displaystyle {a} f (x)}$ .

Operatori în mecanica cuantică

Formularea matematică a mecanicii cuantice se bazează pe conceptul de operator.

Funcția de undă reprezintă amplitudinea probabilitatea de a găsi sistemul în această stare. Termenii „Funcția de undă“ și „ de stat“ , în contextul mecanicii cuantice sunt in general folosite alternativ. ^{[ fără sursă ]}

Stări fizice pure în mecanica cuantică sunt reprezentate ca versors normale , adică probabilități sunt normalizate, într - un spațiu Hilbert într - un complex de câmp. Evoluția temporală în acest spațiu vectorial este dat de aplicarea operatorului evoluție în timp .

Orice observabile , adică, orice cantitate care poate fi măsurată într - un experiment fizic, ar trebui să fie asociat cu un autoadjunct operator liniar . Operatorii trebuie să ofere reale valori proprii , deoarece acestea sunt valori care pot apărea ca rezultat al experimentului. Desi fizicienii asociate in mod traditional cu valori proprii reale Hermitianity , în 1998 fizicienii dat seama că există , de asemenea , operatori de bază non-Hermitian cu spectre complet reale, adică, simetrice operatori de timp egale. ^[1] ^[2] ^[3] Pentru operatorii Hermitian, probabilitatea fiecărei eigenvalue este legată de proiecția stării fizice pe subspațiul legat de acea eigenvalue.

In formularea val mecanicii cuantice, funcția de undă variază în spațiu, sau echivalent cu impuls, și timp, deci observabilelor sunt operatori diferențiali .

In formularea de matrice , norma de starea fizică trebuie să rămână fixe, astfel încât operatorul evoluție ar trebui să fie unitară și operatorii pot fi reprezentate ca matrici. Orice altă simetrie, cartografiere o stare fizică la alta, ar trebui să mențină această limitare.

Forma funcției de undă

Același subiect în detaliu: Spazio Lp .

Funcția de undă trebuie să fie pătrat integrabilă , adică:

\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} <\infty

{\ Displaystyle \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r} = \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ psi (\ mathbf {r}) ^ {*} \ psi (\ mathbf {r}) {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r } <\ infty}

{\ Displaystyle \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r} = \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ psi (\ mathbf {r}) ^ {*} \ psi (\ mathbf {r}) {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r } <\ infty}

și normalizable, astfel încât:

\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =1

{\ Displaystyle \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r} = 1 }

{\ Displaystyle \ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} {\ rm {d}} ^ {3} \ mathbf {r} = 1 }

Cele două cazuri de eigenstates, și vectori proprii, sunt:

pentru eigenstates discrete $|\psi _{i}\rangle$ ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ , Care formează o bază discretă, fixarea corespunzătoare valorilor proprii $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ este ea însăși discret, și va fi compus dintr - un finit sau cel mai mulțime numărabilă . Prin urmare, zicători $z_{i}$ ${\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ numere complexe, astfel încât $z_{i}^{*}\cdot z_{i}=|z_{i}|^{2}$ ${\ Displaystyle z_ {i} ^ {*} \ cdot z_ {i} = | z_ {i} | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle z_ {i} ^ {*} \ cdot z_ {i} = | z_ {i} | ^ {2}}$ , Adică, probabilitatea de măsurare a stării $|\psi _{i}\rangle$ ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ , Statul este dat de însumarea

|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i} C_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle}

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i} C_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle}

pentru un continuum de eigenstates $|\psi _{i}\rangle$ ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ , Care formează o bază continuă, există un set de nenumărat de valori proprii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Prin urmare, a declarat $z(\phi )$ ${\ Displaystyle z (\ phi)}$ ${\ Displaystyle z (\ phi)}$ o funcție complexă, astfel încât $z(\phi )^{*}\cdot z(\phi )=|z(\phi )|^{2}$ ${\ Displaystyle z (\ phi) ^ {*} \ cdot z (\ phi) = | z (\ phi) | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle z (\ phi) ^ {*} \ cdot z (\ phi) = | z (\ phi) | ^ {2}}$ , Adică, probabilitatea de măsurare a stării $|\phi \rangle$ ${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ , Prin urmare , statul este dată de integrala

|\psi \rangle =\int c(\phi ){\rm {d}}\phi |\phi \rangle

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ int c (\ phi) {\ rm {d}} \ phi | \ phi \ rangle}

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ int c (\ phi) {\ rm {d}} \ phi | \ phi \ rangle}

Operatorii liniare in mecanica ondulatorie

Este $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ funcția de undă pentru un sistem cuantic e ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ un operator liniar pentru unele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ observabile, avem că

{\hat {A}}\psi =a\psi ,

{\ Displaystyle {\ hat {A}} \ psi = o \ psi,}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} \ psi = o \ psi,}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este valoare proprie a operatorului, corespunzătoare valorii măsurate a observabilului, adică observabilului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are o valoare măsurată $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , Și $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este eigenfunction de ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ în cazul în care această relație este validă.

De sine $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este o autofunction a unui anumit operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Apoi o cantitate definită va fi observat, că este valoare proprie $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , După ce a luat o măsurare a observabil $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe stat $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ . Dimpotrivă, dacă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ aceasta nu este o autofunction de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Atunci nu are nici o valoare proprie pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar observabilului nu are o valoare unică definită în acest caz. În schimb, măsurătorile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ observabile va produce fiecare eigenvalue cu o anumită probabilitate, legată de descompunerea $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ comparativ cu autobases ortonormate de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

In sutien ket notatie de mai sus poate fi scrisă ca

{\begin{aligned}&{\hat {A}}\psi ={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid {\hat {A}}\mid \psi \right\rangle \\&a\psi =a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & {\ hat {A}} \ psi = {\ hat {A}} \ psi (\ mathbf {r}) = {\ hat {A}} \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid {\ hat {a}} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\ & a \ psi = o \ psi (\ mathbf {r}) = o \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid o \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\\ end { aliniata}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & {\ hat {A}} \ psi = {\ hat {A}} \ psi (\ mathbf {r}) = {\ hat {A}} \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid {\ hat {a}} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\ & a \ psi = o \ psi (\ mathbf {r}) = o \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid o \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\\ end { aliniata}}}

În cazul în care $\left|\psi \right\rangle$ ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}$ fie un vector propriu sau eigenket .

Datorită liniaritate, vectorii pot fi definite în orice număr de dimensiuni, fiecare componentă a vectorului acționează separat asupra funcției. Un exemplu matematic este operatorul nabla , care este ea însăși un vector. Un operator în spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - dimensională poate fi scris:

Un operator în spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - dimensională poate fi scris:

\mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {A}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j}}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {A}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j}}

unde este $\mathbf {e} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$ ${\ mathbf e} _ {j}$ sunt vectori de bază corespunzătoare fiecărui operator component $A_{j}$ ${\ displaystyle A_ {j}}$ $A_ {j}$ . Fiecare componentă va produce o valoare proprie care corespunde, prin urmare, aplicarea operatorului la funcția de undă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ :

\mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)

{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {A}} \ psi = \ stânga (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \ psi = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ stânga (\ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ psi \ dreapta) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ stânga (\ mathbf {e} _ {j} a_ {j} \ psi \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {A}} \ psi = \ stânga (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \ psi = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ stânga (\ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ psi \ dreapta) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ stânga (\ mathbf {e} _ {j} a_ {j} \ psi \ dreapta)}

pentru care

{\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi

{\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {j} \ psi = a_ {j} \ psi}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {j} \ psi = a_ {j} \ psi}

În notație sutien-ket

{\begin{aligned}&\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid \mathbf {\hat {A}} \mid \psi \right\rangle \\&\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ mathbf {\ hat {A}} \ psi = \ mathbf {\ hat {A}} \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathbf {\ hat {A}} \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ mathbf {\ hat {A}} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\ & \ stânga (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \ psi = \ stânga (\ sum _ {j = 1 } ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \ psi (\ mathbf {r}) = \ stânga (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \

la

stânga \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\\ end { Aliniat}} \, \!}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ mathbf {\ hat {A}} \ psi = \ mathbf {\ hat {A}} \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathbf {\ hat {A}} \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ mathbf {\ hat {A}} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\ & \ stânga (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \ psi = \ stânga (\ sum _ {j = 1 } ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \ psi (\ mathbf {r}) = \ stânga (\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ dreapta) \ la stânga \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle = \ stângă \ Langle \ mathbf {r} \ mid \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathbf {e} _ {j} {\ hat {A}} _ {j} \ mid \ psi \ dreapta \ rangle \\\ end { Aliniat}} \, \!}

Trecerea de la operatori Ψ

În cazul în care două observabilelor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ au operatori liniari ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat A}$ Și ${\hat {B}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ hat B}$ , Comutatorul este definit ca

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {LA}}}

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {LA}}}

Comutatorul este ea însăși un operator de compozit, aplicând comutatorul de sus $\psi$ ${\ Displaystyle \ psi}$ $\ psi$ da ai

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ dreapta] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B} } {\ hat {A}} \ psi.}

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ dreapta] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B} } {\ hat {A}} \ psi.}

De sine $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este un eigenfunction cu eigenvalori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , Respectiv pentru observabilelor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , Iar în cazul în care comutați operatorii se obține

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi = 0}

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi = 0}

prin urmare, observabilelor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ele pot fi măsurate simultan cu o precizie infinită, adică, incertitudinile sunt simultan $\Delta A=0$ ${\ Displaystyle \ Delta A = 0}$ ${\ Displaystyle \ Delta A = 0}$ , $\Delta B=0$ ${\ Displaystyle \ Delta B = 0}$ ${\ Displaystyle \ Delta B = 0}$ . Atunci $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ se numește ad simultan auto-funcție $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ :

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =a(b\psi )-b(a\psi )=0

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ dreapta] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B} } {\ hat {a}} \ psi = a (b \ psi) -b (a \ psi) = 0}

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ dreapta] \ psi = {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi - {\ hat {B} } {\ hat {a}} \ psi = a (b \ psi) -b (a \ psi) = 0}

Este evident că măsurarea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ aceasta nu produce nici o schimbare de stare, adică stările inițiale și finale sunt aceleași, adică nu perturbare ca urmare a măsurării. Să presupunem că măsura $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru a obține o valoare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , Pentru a măsura atunci $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru a obține o valoare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Măsurarea din nou $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Încă obține aceeași valoare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . În mod clar starea de $\psi$ ${\ Displaystyle \ psi}$ $\ psi$ a sistemului nu se prăbușește și, prin urmare, este posibil să se măsoare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ simultan cu o precizie infinită.

Pe de altă parte, în cazul în care operatorii nu trece, avem

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi \ neq 0}

{\ Displaystyle \ stânga [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ psi \ neq 0}

Prin urmare, măsurătorile nu pot fi efectuate simultan și cu precizie arbitrară, astfel încât există o relație de incertitudine între observabilelor:

\Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,B]\rangle }{2}}\right|

{\ Displaystyle \ Delta A \ Delta B \ geq \

din

stânga | {\ frac {\ Langle [A, B] \ rangle} {2}} \ dreapta |}

{\ Displaystyle \ Delta A \ Delta B \ geq \ din stânga | {\ frac {\ Langle [A, B] \ rangle} {2}} \ dreapta |}

deşi $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este o autofunction, relația de mai sus deține. Momentele de notabile sunt poziție și impuls, energie și timp, relația de incertitudine și momentul cinetic (rotire, orbitale și totală) în jurul a două axe ortogonale (cum ar fi $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ ${\ Displaystyle L_ {x}}$ Și $L_{y}$ ${\ Displaystyle L_ {y}}$ ${\ Displaystyle L_ {y}}$ , sau $s_{y}$ ${\ Displaystyle s_ {y}}$ ${\ Displaystyle s_ {y}}$ Și $s_{z}$ ${\ Displaystyle s_ {z}}$ ${\ Displaystyle s_ {z}}$ etc). ^[4]

Valorile așteptate ale operatorilor de pe Ψ

Valoarea așteptată , sau echivalent valoarea medie, este măsura medie a unei observabile, per particulă în regiune $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și se calculează ca ^[5]

\langle {\hat {A}}\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .

{\ Displaystyle \ Langle {\ hat {A}} \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ stânga (\ mathbf {r} \ dreapta) {\ hat {A}} \ psi \ stânga ( \ mathbf {r} \ dreapta) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ Langle \ psi | {\ hat {A}} |. \ psi \ rangle}

{\ Displaystyle \ Langle {\ hat {A}} \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ stânga (\ mathbf {r} \ dreapta) {\ hat {A}} \ psi \ stânga ( \ mathbf {r} \ dreapta) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ Langle \ psi | {\ hat {A}} |. \ psi \ rangle}

Acest lucru poate fi generalizat la orice funcție $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ unui operator:

\langle F({\hat {A}})\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F({\hat {A}})\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi |F({\hat {A}})|\psi \rangle ,

{\ Displaystyle \ Langle F ({\ hat {A}}) \ rangle = \ int _ {R} \ psi (\ mathbf {r}) ^ {*} \ stânga [F ({\ hat {A}}) \ psi (\ mathbf {r}) \ right] \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ Langle \ psi | F ({\ hat {A}}) | \ psi \ rangle,}

{\ Displaystyle \ Langle F ({\ hat {A}}) \ rangle = \ int _ {R} \ psi (\ mathbf {r}) ^ {*} \ stânga [F ({\ hat {A}}) \ psi (\ mathbf {r}) \ right] \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ Langle \ psi | F ({\ hat {A}}) | \ psi \ rangle,}

Un exemplu de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este dubla acțiunea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe $\psi$ ${\ Displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , Care este pătratul operatorului:

F({\hat {A}})={\hat {A}}^{2}\implies \langle {\hat {A}}^{2}\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi \vert {\hat {A}}^{2}\vert \psi \rangle

{\ Displaystyle F ({\ hat {A}}) = {\ hat {A}} ^ {2} \ implică \ Langle {\ hat {A}} ^ {2} \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ stânga (\ mathbf {r} \ dreapta) {\ hat {A}} ^ {2} \ psi \ stânga (\ mathbf {r} \ dreapta) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ Langle \ psi \ vert {\ hat {A}} ^ {2} \ vert \ psi \ rangle}

{\ Displaystyle F ({\ hat {A}}) = {\ hat {A}} ^ {2} \ implică \ Langle {\ hat {A}} ^ {2} \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ stânga (\ mathbf {r} \ dreapta) {\ hat {A}} ^ {2} \ psi \ stânga (\ mathbf {r} \ dreapta) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} = \ Langle \ psi \ vert {\ hat {A}} ^ {2} \ vert \ psi \ rangle}

operatorii hermitian

Același subiect în detaliu: Operator autoadjunct .

Definiția unui operator de Hermitian este: ^[1]

{\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }

{\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ hat {A}} ^ {\ dagger}}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ hat {A}} ^ {\ dagger}}

Mai jos, în notație sutien-ket:

\langle \phi _{i}|{\hat {A}}|\phi _{j}\rangle =\langle \phi _{j}|{\hat {A}}|\phi _{i}\rangle ^{*}.

{\ Displaystyle \ Langle \ phi _ {i} | {\ hat {A}} | \ phi _ {j} \ rangle = \ Langle \ phi _ {j} | {\ hat {A}} | \ phi _ { i} \ rangle ^ {*}.}

{\ Displaystyle \ Langle \ phi _ {i} | {\ hat {A}} | \ phi _ {j} \ rangle = \ Langle \ phi _ {j} | {\ hat {A}} | \ phi _ { i} \ rangle ^ {*}.}

Proprietățile importante ale operatorilor Hermitian includ:

valori proprii reale,
vectori proprii cu diferite valori proprii sunt ortogonale,
vectorii proprii pot fi alese ca o completă bază ortonormală ,

Operatorii din mecanica matriciala

Un operator poate fi scris sub forma unei matrice pentru a mapa un vector de bază la alta. Deoarece operatorii sunt liniare, matricea este o transformare liniară între bazele, de asemenea , cunoscut ca o matrice de tranziție. Fiecare element de bază $\phi _{j}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {j}}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {j}}$ poate fi legat de un alt ^[5] prin expresia

A_{ij}=\langle \phi _{i}|{\hat {A}}|\phi _{j}\rangle ,

{\ A_ displaystyle {ij} = \ Langle \ phi _ {i} | {\ hat {A}} | \ phi _ {j} \ rangle,}

{\ A_ displaystyle {ij} = \ Langle \ phi _ {i} | {\ hat {A}} | \ phi _ {j} \ rangle,}

care este un element de matrice

{\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots &A_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & \ cdots & A_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & \ cdots & A_ {nn} \\\ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & \ cdots & A_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & \ cdots & A_ {nn} \\\ end {pmatrix}}}

O altă proprietate a unui operator Hermitian este că funcțiile proprii corespunzătoare diferitelor valori proprii sunt ortogonale. ^[1] In forma de matrice, operatorii permit să găsească valori proprii reale corespunzătoare măsurătorilor. Ortogonalitatea permite o bază vector adecvat pentru a reprezenta starea sistemului cuantic. Valorile proprii ale operatorului sunt evaluate în același mod ca și matricea pătrată, rezolvarea polinomul caracteristic

\det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0

{\ Displaystyle \ det \ stânga ({\ hat {A}} - o {\ hat {I}} \ dreapta) = 0}

{\ Displaystyle \ det \ stânga ({\ hat {A}} - o {\ hat {I}} \ dreapta) = 0}

unde este ${\hat {I}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {I}}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {I}}}$ este matricea identitate $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , Așa cum corespunde operator pentru operatorul de identitate. Pentru o bază discret este egal cu

{\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|

{\ Displaystyle {\ hat {I}} = \ sum _ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ Langle \ phi _ {i} |}

{\ Displaystyle {\ hat {I}} = \ sum _ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ Langle \ phi _ {i} |}

în timp ce pentru o bază continuă, avem că

{\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |d\phi

{\ Displaystyle {\ hat {I}} = \ int | \ phi \ rangle \ Langle \ phi | d \ phi}

{\ Displaystyle {\ hat {I}} = \ int | \ phi \ rangle \ Langle \ phi | d \ phi}

Inversul unui operator

Un operator non-singular ${\hat {A}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ hat {A}}$ are un invers ${\hat {A}}^{-1}$ ${\ Displaystyle {\ hat {A}} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {A}} ^ {- 1}}$ definit ca

{\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}

{\ Displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {A}} ^ {- 1} = {\ hat {A}} ^ {- 1} {\ hat {A}} = {\ hat {I}} }

{\ Displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {A}} ^ {- 1} = {\ hat {A}} ^ {- 1} {\ hat {A}} = {\ hat {I}} }

În cazul în care un operator nu are nici invers, acesta este un operator singular. Într-un spațiu de dimensiuni finite, un operator este non-singular dacă și numai dacă determinantul său este non-zero,

\det({\hat {A}})\neq 0

{\ Displaystyle \ det ({\ hat {A}}) \ neq 0}

{\ Displaystyle \ det ({\ hat {A}}) \ neq 0}

și, prin urmare, determinantul este zero pentru un operator singular.

Tabelul operatorilor mecanicii cuantice

Operatorii utilizați în mecanica cuantică sunt colectate în tabelul următor ( a se vedea , de exemplu , ^[1] ^[6] ). Vectorii îngroșate cu accent circumflex nu sunt vectorors , ele sunt operatori tridimensionale, care conțin toate cele trei componente spațiale luate împreună.

Operator	componente carteziene	definiție generală	Unitate de măsură
Poziţie	${\begin{aligned}{\hat {x}}=x\\{\hat {y}}=y\\{\hat {z}}=z\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ hat {x}} = x \\ {\ hat {y}} = y \\ {\ hat {zn}} = z \ end {aliniat}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ hat {x}} = x \\ {\ hat {y}} = y \\ {\ hat {zn}} = z \ end {aliniat}}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = \ mathbf {r} \, \!}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = \ mathbf {r} \, \!}$	m
Puls sau impuls	General ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\\{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\\{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ hat {p}} _ {x} = & - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \\ {\ hat {p}} _ { y} & = - i \ hbar {\ frac {\ parțial} {\ y parțial}} \\ {\ hat {p}} _ {z} & = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ parțial z}} \ end {aliniat}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ hat {p}} _ {x} = & - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \\ {\ hat {p}} _ { y} & = - i \ hbar {\ frac {\ parțial} {\ y parțial}} \\ {\ hat {p}} _ {z} & = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ parțial z}} \ end {aliniat}}}$	General $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla \, \!}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla \, \!}$	J s m ^-1 = N s
Puls sau impuls	Câmp electromagnetic ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	Campo elettromagnetico ${\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {P} }}-q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ ${\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {P} }}-q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ ${\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {P} }}-q\mathbf {A} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$ dove $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ è il potenziale vettore	J · s · m ⁻¹ = N · s
Energia cinetica	Translazionale ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )}{2m}}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )}{2m}}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )}{2m}}\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!$	J
	Campo elettromagnetico ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!$	Campo elettromagnetico ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!$ dove $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf A$ è il potenziale vettore	J
	Rotazione ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!$ dove $J$ ${\displaystyle J}$ $J$ è il momento d'inerzia	Rotazione ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!$ ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!$ ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!$	J
Energia potenziale	N/A	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!$ ${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!$ ${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!$	J
Energia totale	N/A	${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!$ ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!$ ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!$ Dipendente dal tempo ${\hat {E}}=E\,\!$ ${\hat {E}}=E\,\!$ ${\hat {E}}=E\,\!$ Indipendente dal tempo	J
Operatore hamiltoniano		${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}\,\!$ ${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V\\&={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\\\end{aligned}}\,\!$	J
Momento angolare	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla$ $\mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla$ $\mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla$	J · s = N · s · m
Spin	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}\\{\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}\\{\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ dove $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ sono le matrici di Pauli per le particelle con spin pari a 1/2.	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ $\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ $\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ dove ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ è il vettore composto dalle matrici di Pauli.	J · s = N · s · m
Momento angolare totale	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {J}} =\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$ $\mathbf {\hat {J}} =\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$ $\mathbf {\hat {J}} =\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$	J · s = N · s · m
Momento di transizione del dipolo elettrico	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}}\\{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}}\\{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}}\\{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}}\\{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}}\\{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}}\\{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$ $\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$ $\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$	C · m

Esempi di applicazione di operatori quantistici

La procedura per estrarre informazioni da una funzione d'onda è la seguente: si consideri l'impulso $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ di una particella come esempio. L'operatore impulso in funzione della posizione in una dimensione è:

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

Lasciando questo atto su $\psi$ $\psi$ $\psi$ otteniamo:

{\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi

{\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi

{\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi

se $\psi$ $\psi$ $\psi$ è un'autofunzione di ${\hat {p}}$ ${\hat {p}}$ ${\hat p}$ , quindi l'autovalore $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ del momento è il valore del momento della particella, trovato da:

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi

Per tre dimensioni l'operatore impulso utilizza l'operatore nabla per diventare:

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Nelle coordinate cartesiane, usando i vettori base cartesiani standard $\mathbf {e} _{x}$ $\mathbf {e} _{x}$ $\mathbf {e} _{x}$ , $\mathbf {e} _{y}$ $\mathbf {e} _{y}$ $\mathbf {e} _{y}$ , $\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {e} _{z}$ $\mathbf {e} _{z}$ _, questo può essere riscritto come

\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right)

\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right)

\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right)

dove

{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!

{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!

{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!

Il processo di ricerca degli autovalori è lo stesso, infatti, poiché si tratta di un'equazione di vettori e operatore, se $\psi$ $\psi$ $\psi$ è un'autofunzione, ogni componente dell'operatore impulso avrà un autovalore corrispondente a quella componente di quantità di moto. Applicando $\mathbf {\hat {p}}$ $\mathbf {\hat {p}}$ $\mathbf {\hat {p}}$ a $\psi$ $\psi$ $\psi$ si ottiene

{\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!

{\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!

{\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!

Note

^ ^a ^b ^c ^d Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977,
^ Carl M. Bender, Making Sense of Non-Hermitian Hamiltonians , in Reports on Progress in Physics , vol. 70, n. 6, 1º giugno 2007, pp. 947–1018, Bibcode : 2007RPPh...70..947B , DOI : 10.1088/0034-4885/70/6/R03 .
^ Carl M. Bender e Stefan Boettcher, Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having PT Symmetry , in Physical Review Letters , vol. 80, n. 24, 15 giugno 1998, pp. 5243–5246, Bibcode : 1998PhRvL..80.5243B , DOI : 10.1103/PhysRevLett.80.5243 .
^ vol. 42, Bibcode : 1970RvMP...42..358B , DOI : 10.1103/RevModPhys.42.358 .
^ ^a ^b Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
^ Quanta: A handbook of concepts, PW Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1

Voci correlate

Operatore limitato

[QUANTUM_CHEMISRTY_1977-1] Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977,

[2] Carl M. Bender, Making Sense of Non-Hermitian Hamiltonians , in Reports on Progress in Physics , vol. 70, n. 6, 1º giugno 2007, pp. 947–1018, Bibcode : 2007RPPh...70..947B , DOI : 10.1088/0034-4885/70/6/R03 .

[3] Carl M. Bender e Stefan Boettcher, Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having PT Symmetry , in Physical Review Letters , vol. 80, n. 24, 15 giugno 1998, pp. 5243–5246, Bibcode : 1998PhRvL..80.5243B , DOI : 10.1103/PhysRevLett.80.5243 .

[Ballentine1970-4] vol. 42, Bibcode : 1970RvMP...42..358B , DOI : 10.1103/RevModPhys.42.358 .

[Quantum_Mechanics_Demystified_2006-5] Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9

[6] Quanta: A handbook of concepts, PW Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]