Operator autoadjunct

În matematică , în special în algebra liniară , un operator autoadjunct este un operator liniar pe un spațiu Hilbert care este egal cu adjunctul său. În literatură, este uneori folosit pentru a numi un operator simetric un operator definit într-un subespai al unui spațiu vectorial, al cărui adjuvant nu este în general simetric, iar un operator hermitian un operator dens definit în acel spațiu. În cazul unui spațiu cu dimensiuni finite, unii autori folosesc și termenul de operator simetric pentru a desemna un operator autoadjunct în cazul real . ^[1]

Prin teorema Hellinger-Toeplitz, un operator simetric definit peste tot este, de asemenea, delimitat , iar dacă adjunctul său este definit peste tot și este delimitat, atunci operatorul este delimitat. În special, dacă un operator simetric mărginit nu este definit pe întregul spațiu, atunci acesta poate fi extins în mod unic la un operator definit peste tot.

Matricea care reprezintă un operator autoadjunct este un Hermitian și, în dimensiune finită, teorema spectrală afirmă că fiecare operator autoadjunct al unui spațiu vectorial real cu un produs scalar pozitiv definit are o bază ortonormală formată din vectori proprii . În mod echivalent, fiecare matrice simetrică reală este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice ortogonală ai cărei coeficienți sunt reali.

Operatorii auto-adiacenți sunt fundamentali în diferite domenii ale matematicii și fizicii, cum ar fi geometria diferențială , analiza funcțională și mecanica cuantică .

Definiție

Este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ un spațiu vector topologic și ambele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator liniar definit pe un set $D(A)\subset E$ ${\ displaystyle D (A) \ subset E}$ ${\ displaystyle D (A) \ subset E}$ și la valori în dualul topologic continuu $E^{*}$ ${\ displaystyle E ^ {*}}$ $E ^ {*}$ din $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Operatorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune că este simetric dacă:

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle

{\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle}

{\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle}

pentru fiecare pereche de elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $D(A)$ ${\ displaystyle D (A)}$ ${\ displaystyle D (A)}$ .

Operatorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește hermitian dacă este simetric e $D(A)$ ${\ displaystyle D (A)}$ ${\ displaystyle D (A)}$ este dens în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ .

Un operator autoadjunct este un operator hermitian astfel încât, a spus $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ operatorul adăugat al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , da $A^{*}=A$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A}$ și în special $D(A)=D(A^{*})$ ${\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*})}$ . Este un operator liniar închis .

Caz cu dimensiuni finite

Este $\,H$ ${\ displaystyle \, H}$ ${\ displaystyle \, H}$ un spațiu de Hilbert ed $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator mărginit definit pe acel set. Dat $\mathbf {w} \in H$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în H}$ ${\ mathbf w} \ în H$ , funcționalitatea liniară este definită:

L_{\mathbf {w} }:H\to \mathbf {C}

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}}: H \ to \ mathbf {C}}

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}}: H \ to \ mathbf {C}}

astfel încât:

L_{\mathbf {w} }(\mathbf {v} )=\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}} (\ mathbf {v}) = \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle,}

{\ displaystyle L _ {\ mathbf {w}} (\ mathbf {v}) = \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle,}

pentru fiecare $\mathbf {v} \in H.$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în H.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în H.}$

Există doar un singur element pentru teorema reprezentării lui Riesz $\mathbf {w} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} '}$ astfel încât: ^[2]

\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

iar operatorul este definit ca unul $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ , a spus operatorul adjunct al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , astfel încât: ^[3]

\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {w} '\ rangle}

sau:

\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A ^ {*} \ mathbf {w} \ rangle}

Un operator autoadjunct sau hermitian este definit ca un operator astfel încât $A=A^{*}$ ${\ displaystyle A = A ^ {*}}$ $A = A ^ {*}$ , adică: ^[4]

\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A \ mathbf {w} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle A \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ rangle = \ langle \ mathbf {v}, A \ mathbf {w} \ rangle}

Dacă un operator autoadjunct este exprimat în termeni de matrice care îl reprezintă, această matrice este egală cu transpunerea sa conjugată complexă. Acest lucru implică în special faptul că valorile proprii ale acestor operatori sunt reale.

Operatori nelimitați

Este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un spațiu Hilbert cu produs hermitian $\langle ,\rangle$ ${\ displaystyle \ langle, \ rangle}$ $\ langle, \ rangle$ și fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator liniar dens definit pe un domeniu $D(A)$ ${\ displaystyle D (A)}$ ${\ displaystyle D (A)}$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

În cazul unui operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu trebuie luate în considerare domenii nelimitate. Domeniul operatorului adăugat $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și:

D(A^{*}):=\left\{\mathbf {v} \in H:\exists f\in H{\mbox{ : }}\langle A\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {w} ,f\rangle \quad \forall \mathbf {w} \in D(A)\right\}.

{\ displaystyle D (A ^ {*}): = \ left \ {\ mathbf {v} \ în H: \ există f \ în H {\ mbox {:}} \ langle A \ mathbf {w}, \ mathbf {v} \ rangle = \ langle \ mathbf {w}, f \ rangle \ quad \ forall \ mathbf {w} \ în D (A) \ right \}.}

{\ displaystyle D (A ^ {*}): = \ left \ {\ mathbf {v} \ în H: \ există f \ în H {\ mbox {:}} \ langle A \ mathbf {w}, \ mathbf {v} \ rangle = \ langle \ mathbf {w}, f \ rangle \ quad \ forall \ mathbf {w} \ în D (A) \ right \}.}

Pentru fiecare element $\mathbf {v} \in D(A^{*})$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în D (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în D (A ^ {*})}$ cere:

\,A^{*}\mathbf {v} =f

{\ displaystyle \, A ^ {*} \ mathbf {v} = f}

{\ displaystyle \, A ^ {*} \ mathbf {v} = f}

Prin urmare, se spune că un operator nerestricționat este autoadjunct dacă:

D(A)=D(A^{*})\qquad A\mathbf {v} =A^{*}\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in D(A).

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în D (A) .}

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ în D (A) .}

Echivalent, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune simetric dacă se adaugă $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ se extinde $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sau dacă: ^[5]

D(A)\subset D(A^{*})\qquad A\mathbf {v} =A^{*}\mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in D(A)

{\ displaystyle D (A) \ subset D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in D (A )}}

{\ displaystyle D (A) \ subset D (A ^ {*}) \ qquad A \ mathbf {v} = A ^ {*} \ mathbf {v} \ quad \ forall \ mathbf {v} \ in D (A )}}

și un operator autoadjunct este un operator simetric astfel încât:

D(A)=D(A^{*}).

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}).}

{\ displaystyle D (A) = D (A ^ {*}).}

Un operator simetric este întotdeauna închis în acest sens $D(A^{*})$ ${\ displaystyle D (A ^ {*})}$ ${\ displaystyle D (A ^ {*})}$ este dens în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

În special:

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetric, $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ se extinde $A^{**}$ ${\ displaystyle A ^ {**}}$ ${\ displaystyle A ^ {**}}$ care la rândul său se extinde $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetric și închis, $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ se extinde $A^{**}=A$ ${\ displaystyle A ^ {**} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {**} = A}$ .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct $A^{*}=A^{**}=A$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A ^ {**} = A}$ ${\ displaystyle A ^ {*} = A ^ {**} = A}$ .

Din aceasta rezultă că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetrică și închisă, este și autoadjunctă dacă și numai dacă $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ este simetric. ^[6]

De asemenea, un operator simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct dacă și numai dacă este închis și $\ker(A^{*}\pm i)=\{0\}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ . În mod echivalent, operatorul simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct dacă și numai dacă imaginea lui $(A\pm i)$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ este întregul spațiu $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . ^[7]

Autoadjunct esențial

Un operator simetric $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în esență se spune că este autoadjunct dacă închiderea acestuia ${\bar {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}}}$ ${\ bar A}$ este autoadjunct. Mai exact, extensia auto-adăugată ${\bar {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}}}$ ${\ bar A}$ a unui operator esențial autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este unic și îl ai ${\bar {A}}=A^{**}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}} = A ^ {**}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}} = A ^ {**}}$ . De asemenea, un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ simetric este în esență autoadjunct dacă și numai dacă $\ker(A^{*}\pm i)=\{0\}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm i) = \ {0 \}}$ . Echivalent, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este în esență autoadjunct dacă și numai dacă rangul de $(A\pm i)$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ ${\ displaystyle (A \ pm i)}$ este dens în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . ^[7]

Limitare relativă

Același subiect în detaliu: Operator limitat .

Un operator $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune că este limitat în raport cu operatorul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , sau $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ - limitat , dacă:

D(B)\subset D(A)\qquad \|Au\|\leq a_{1}\|u\|+a_{2}\|Bu\|\quad u\in D(B).

{\ displaystyle D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | \ leq a_ {1} \ | u \ | + a_ {2} \ | Bu \ | \ quad u \ in D (B) .}

{\ displaystyle D (B) \ subset D (A) \ qquad \ | Au \ | \ leq a_ {1} \ | u \ | + a_ {2} \ | Bu \ | \ quad u \ in D (B) .}

Cea mai mare limită inferioară a setului de valori posibile pe care o poate lua $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ si a zis $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ -limita de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Dovedește că dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este autoadjunct și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este simetrică și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ - limitat cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ -limitați mai puțin de 1, apoi operatorul $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ este autoadjunct. De asemenea, dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ atunci este esențial autoadiacent $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ este în esență autoadjunct și avem:

{\overline {A+B}}={\bar {A}}+{\bar {B}},

{\ displaystyle {\ overline {A + B}} = {\ bar {A}} + {\ bar {B}},}

{\ displaystyle {\ overline {A + B}} = {\ bar {A}} + {\ bar {B}},}

unde este ${\bar {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {A}}}$ ${\ bar A}$ indică închiderea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietățile operatorilor autoadjuncti delimitați

Lasa-i sa fie $LA, B.$ ${\ displaystyle A, B}$ $A, B$ operatori autoadjuncti, e $\alpha ,\beta$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ $\ alfa, \ beta$ numere reale. Din liniaritatea produsului scalar obținem

\langle f,(\alpha A+\beta B)g\rangle =\langle f,\alpha Ag\rangle +\langle f,\beta Bg\rangle =\langle ({\alpha }A+{\beta }B)f,g\rangle

{\ displaystyle \ langle f, (\ alpha A + \ beta B) g \ rangle = \ langle f, \ alpha Ag \ rangle + \ langle f, \ beta Bg \ rangle = \ langle ({\ alpha} A + { \ beta} B) f, g \ rangle}

{\ displaystyle \ langle f, (\ alpha A + \ beta B) g \ rangle = \ langle f, \ alpha Ag \ rangle + \ langle f, \ beta Bg \ rangle = \ langle ({\ alpha} A + { \ beta} B) f, g \ rangle}

și, prin urmare, spațiul operatorilor autoadjuncti este un spațiu liniar pe reali .

Din raport:

\,(AB)^{*}=B^{*}A^{*}=BA

{\ displaystyle \, (AB) ^ {*} = B ^ {*} A ^ {*} = BA}

{\ displaystyle \, (AB) ^ {*} = B ^ {*} A ^ {*} = BA}

obții asta $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ este un operator autoadjunct dacă și numai dacă $\,A$ ${\ displaystyle \, A}$ ${\ displaystyle \, A}$ Și $\,B$ ${\ displaystyle \, B}$ ${\ displaystyle \, B}$ comuta .

Setul de valori proprii ale unui operator autoadjunct se află pe axa reală. Pentru a vedea acest lucru, luați în considerare un vector propriu $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ a operatorului autoadjunct $\,A$ ${\ displaystyle \, A}$ ${\ displaystyle \, A}$ asociat cu valoarea proprie $\,\lambda$ ${\ displaystyle \, \ lambda}$ ${\ displaystyle \, \ lambda}$ . Apoi de la:

\lambda ^{*}\langle f,f\rangle =\langle Af,f\rangle =\langle f,Af\rangle =\lambda \langle f,f\rangle ,

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ langle f, f \ rangle = \ langle Af, f \ rangle = \ langle f, Af \ rangle = \ lambda \ langle f, f \ rangle,}

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ langle f, f \ rangle = \ langle Af, f \ rangle = \ langle f, Af \ rangle = \ lambda \ langle f, f \ rangle,}

rezultă că $\lambda =\lambda ^{*}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ lambda ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ lambda ^ {*}}$ sau $\langle f,f\rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle f, f \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ langle f, f \ rangle = 0}$ . Deoarece a doua posibilitate este exclusă ca $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ este un vector propriu, rezultă că $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ e real.

Spectru

Același subiect în detaliu: Spectru (matematică) și Vector propriu și Eigenvalue .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct pe un spațiu Hilbert , avem:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu are spectru rezidual.
Spectrul $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ este un subset de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , adică valorile proprii sunt reale.
Vectorii proprii în raport cu valorile proprii distincte sunt ortogonali.

Un operator autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ a unei C * -algebre se spune că este pozitivă dacă spectrul său $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ conține doar numere reale non-negative. De asemenea, este pozitiv dacă și numai dacă există un element $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ algebră astfel încât $A=B^{*}B$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B}$ ${\ displaystyle A = B ^ {*} B}$ . Un operator pozitiv într-un spațiu Hilbert (deci pe câmpul complex) este autoadjunct și, în special, normal . ^[8] Acest lucru nu este adevărat pe un spațiu vectorial real.

Calcul funcțional continuu

Dovedește că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator autoadjunct definit pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , atunci există o singură hartă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ definit pe spațiul funcțiilor Borel pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și la valorile din spațiul operatorilor mărginite pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ care are următoarele proprietăți: ^[9]

$\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un * -omomorfism algebric, adică:

\phi (fg)=\phi (f)\phi (g)\qquad \phi (\lambda f)=\lambda \phi (f)\qquad \phi (1)=I\qquad \phi ({\bar {f}})=\phi (f)^{*}

{\ displaystyle \ phi (fg) = \ phi (f) \ phi (g) \ qquad \ phi (\ lambda f) = \ lambda \ phi (f) \ qquad \ phi (1) = I \ qquad \ phi ( {\ bar {f}}) = \ phi (f) ^ {*}}

{\ displaystyle \ phi (fg) = \ phi (f) \ phi (g) \ qquad \ phi (\ lambda f) = \ lambda \ phi (f) \ qquad \ phi (1) = I \ qquad \ phi ( {\ bar {f}}) = \ phi (f) ^ {*}}

$\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este continuu, adică:

\|\phi (f)\|\leq \|f\|_{\infty }

{\ displaystyle \ | \ phi (f) \ | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}}

{\ displaystyle \ | \ phi (f) \ | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}}

De sine $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ asa de $\phi (f)=A$ ${\ displaystyle \ phi (f) = A}$ ${\ displaystyle \ phi (f) = A}$

De sine:

f_{n}(x)\to f(x)\quad \forall x

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x}

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ to f (x) \ quad \ forall x}

și norma

\|f_{n}\|_{\infty }

{\ displaystyle \ | f_ {n} \ | _ {\ infty}}

{\ displaystyle \ | f_ {n} \ | _ {\ infty}}

este limitat, atunci:

\phi (f_{n})\to \phi (f)

{\ displaystyle \ phi (f_ {n}) \ to \ phi (f)}

{\ displaystyle \ phi (f_ {n}) \ to \ phi (f)}

iar convergența este puternică.

Datorită proprietăților prezentate prin calculul funcțional continuu, este posibil să se asocieze un operator autoadjunct cu o singură familie de proiecții ortogonale , care constituie o măsură cu valori ale proiectorului . Această familie de proiectoare permite, grație teoremei spectrale , să diagonalizeze un operator autoadjunct, așa cum se arată mai jos.

Teorema spectrală

Același subiect în detaliu: teorema spectrală .

Doi operatori $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ definit pe seturi $D_{A}$ ${\ displaystyle D_ {A}}$ $DIN}$ Și $D_{B}$ ${\ displaystyle D_ {B}}$ $D_ {B}$ într-un spațiu Hilbert sunt unitar echivalente dacă, dat fiind un operator unitar $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , apare: ^[10]

U(D_{A})=D_{B},\qquad UAU^{-1}(x)=B(x),\qquad \forall x\in D_{B}.

{\ displaystyle U (D_ {A}) = D_ {B}, \ qquad UAU ^ {- 1} (x) = B (x), \ qquad \ forall x \ in D_ {B}.}

{\ displaystyle U (D_ {A}) = D_ {B}, \ qquad UAU ^ {- 1} (x) = B (x), \ qquad \ forall x \ in D_ {B}.}

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt limitate , prima relație nu este necesară. Dacă și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator autoadjunct, așa este și el $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Este $(X,\Sigma ,\mu )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ un spațiu de măsurare aditiv numeric e $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție cu valoare reală pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Un operator $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a formei:

[T\psi ](x)=f(x)\psi (x),

{\ displaystyle [T \ psi] (x) = f (x) \ psi (x),}

{\ displaystyle [T \ psi] (x) = f (x) \ psi (x),}

al cărui domeniu este spațiul funcțional $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ pentru care se află membrul din dreapta al relației anterioare $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ este un operator de multiplicare .

Teorema spectrală afirmă că fiecare operator de multiplicare este un operator autoadjunct (dens definit) și fiecare operator autoadjunct este echivalent unitar cu un operator de multiplicare.

În cazul dimensiunii finite, să fie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un endomorfism pe un spațiu vectorial real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ca dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pe care este definit un produs scalar pozitiv definit . Atunci $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este autoadjunct dacă și numai dacă există o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ realizat din vectori proprii pentru $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . ^[11] Endomorfism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este deci diagonalizabil . O versiune echivalentă a teoremei, afirmată cu matrici, afirmă că orice matrice simetrică este similară cu o matrice diagonală printr-o matrice ortogonală . ^[12]

Ca o consecință a teoremei, pentru orice matrice simetrică $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ există o matrice ortogonală $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și o matrice diagonală $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât: ^[13]

D=M^{-1}SM=M^{T}SM\

{\ displaystyle D = M ^ {- 1} SM = M ^ {T} SM \}

D = M ^ {{- 1}} SM = M ^ {T} SM \

În special, valorile proprii ale unei matrici simetrice sunt reale.

Caz infinit-dimensional

Cazul infinit-dimensional constituie o generalizare a cazului anterior. În cazul operatorilor delimitați , teorema spectrală afirmă că un operator delimitat și autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un operator de multiplicare.

În mod echivalent, există o familie de măsuri $\{\mu _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mu _ {n} \}}$ $\ {\ mu _ {n} \}$ pe spectru $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și există un operator unitar :

U\colon H\to \bigoplus _{n=1}^{N}L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu _{n})

{\ displaystyle U \ colon H \ to \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n})}

{\ displaystyle U \ colon H \ to \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n})}

astfel încât: ^[14]

(UAU^{-1}\psi )_{n}(\lambda )=\lambda \psi _{n}(\lambda ),

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ psi) _ {n} (\ lambda) = \ lambda \ psi _ {n} (\ lambda),}

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ psi) _ {n} (\ lambda) = \ lambda \ psi _ {n} (\ lambda),}

cu:

\psi =\{\psi _{n}(\lambda )\}\in \bigoplus _{n=1}^{N}L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu _{n}).

{\ displaystyle \ psi = \ {\ psi _ {n} (\ lambda) \} \ in \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n}).}

{\ displaystyle \ psi = \ {\ psi _ {n} (\ lambda) \} \ in \ bigoplus _ {n = 1} ^ {N} L ^ {2} (\ mathbb {R}, d \ mu _ {n}).}

O astfel de scriere a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește reprezentarea spectrală a operatorului.

Ca corolar, rezultă că există o măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe un spațiu de măsurare $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și există un operator unitar :

U\colon H\to L^{2}(M,d\mu )

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

astfel încât: ^[15]

(UAU^{-1}f)(x)=F(x)f(x),

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} f) (x) = F (x) f (x),}

{\ displaystyle (UAU ^ {- 1} f) (x) = F (x) f (x),}

pentru o funcție măsurabilă limitată, cu valoare reală $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

În cazul în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator nelimitat și autoadjunct pe un spațiu Hilbert separabil $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ condominiu $D_{A}$ ${\ displaystyle D_ {A}}$ $DIN}$ , teorema afirmă că există un spațiu de măsurare $(M,\mu )$ ${\ displaystyle (M, \ mu)}$ ${\ displaystyle (M, \ mu)}$ , unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură finită, un operator unitar :

U\colon H\to L^{2}(M,d\mu )

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

{\ displaystyle U \ colon H \ to L ^ {2} (M, d \ mu)}

și o funcție $f\colon M\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {R}}$ măsurabil aproape peste tot astfel încât: ^[16]

$\psi \in D_{A}$ ${\ displaystyle \ psi \ în D_ {A}}$ ${\ displaystyle \ psi \ în D_ {A}}$ dacă și numai dacă $f\cdot U(\psi )\in L^{2}(M,d\mu ),$ ${\ displaystyle f \ cdot U (\ psi) \ în L ^ {2} (M, d \ mu),}$ ${\ displaystyle f \ cdot U (\ psi) \ în L ^ {2} (M, d \ mu),}$ unde este $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ este produsul dintre funcțiile induse de codomain $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .
De sine $\phi \in U(D_{A}),$ ${\ displaystyle \ phi \ în U (D_ {A}),}$ ${\ displaystyle \ phi \ în U (D_ {A}),}$ asa de $(UAU^{-1}\phi )(x)=f(x)\phi (x).$ ${\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ phi) (x) = f (x) \ phi (x).}$ ${\ displaystyle (UAU ^ {- 1} \ phi) (x) = f (x) \ phi (x).}$

Mulți operatori liniari importanți întâlniți în analiză , cum ar fi operatorii diferențiali , nu sunt delimitați. În special, fiecare operator diferențial cu coeficienți constanți este echivalent unitar cu un operator de multiplicare, iar operatorul unitar care implementează această echivalență este transformata Fourier .

Criteriul de auto-ajustabilitate

Problema determinării dacă un operator este autoadjunct nu este ușor de rezolvat, mai jos este o teoremă care caracterizează operatorii autoadjuncti.

Afirmație

Este $A\colon D_{A}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle A \ colon D_ {A} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle A \ colon D_ {A} \ to \ mathbb {R}}$ un operator liniar simetric definit pe $D_{A}$ ${\ displaystyle D_ {A}}$ $DIN}$ subset dens al spațiului Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Apoi, următoarele afirmații sunt echivalente:

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este autoadjunct;
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este închis și $\ker(A^{*}\pm iI)=0;$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm iI) = 0;}$ ${\ displaystyle \ ker (A ^ {*} \ pm iI) = 0;}$
$\mathrm {Im} (A\pm iI)=H;$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A \ pm iI) = H;}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A \ pm iI) = H;}$ ^[17]
există un număr complex $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ , cu o parte imaginară non-nulă, astfel încât $\mathrm {Im} (A-{\bar {z}}I)=\mathrm {Im} (A-zI)=H.$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A - {\ bar {z}} I) = \ mathrm {Im} (A-zI) = H.}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (A - {\ bar {z}} I) = \ mathrm {Im} (A-zI) = H.}$

În plus față de această teoremă, pentru a demonstra că un operator este autoadjunct, se poate recurge la teorema Kato-Rellich .

Descompunerea spectrală

Același subiect în detaliu: Proiecția ortogonală .

Ca o consecință a teoremei spectrale, atât în cazul real, cât și în cazul complex, teorema descompunerii spectrale afirmă că spațiile egale ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sunt ortogonali și în sumă directă :

V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}.

{\ displaystyle V = V _ {\ lambda _ {1}} \ oplus \ ldots \ oplus V _ {\ lambda _ {k}}.}

{\ displaystyle V = V _ {\ lambda _ {1}} \ oplus \ ldots \ oplus V _ {\ lambda _ {k}}.}

În mod echivalent, dacă $P_{\lambda }$ ${\ displaystyle P _ {\ lambda}}$ $P _ {\ lambda}$ este proiecția ortogonală pe $V_{\lambda }$ ${\ displaystyle V _ {\ lambda}}$ $V _ {\ lambda}$ , avem:

A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{k}P_{\lambda _{k}},\qquad P_{\lambda }P_{\mu }=0,\quad \lambda \neq \mu .

{\ displaystyle A = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {k} P _ {\ lambda _ {k}}, \ qquad P _ {\ lambda} P _ {\ mu} = 0, \ quad \ lambda \ neq \ mu.}

{\ displaystyle A = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {k} P _ {\ lambda _ {k}}, \ qquad P _ {\ lambda} P _ {\ mu} = 0, \ quad \ lambda \ neq \ mu.}

Descompunerea spectrală este un caz special al descompunerii Schur . Este, de asemenea, un caz special de descompunere a valorii singulare .

Caz infinit-dimensional

Același subiect în detaliu: măsurarea valorii proiectorului .

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator autoadjunct limitat. Se poate defini o măsurătoare cu valori limitate ale proiectorului :

P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A)}

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A)}

definite pe spectru $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , in care $\chi _{\Omega }$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ Omega}}$ $\ chi _ {\ Omega}$ este funcția indicator . Această măsură poate fi asociată cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ În felul următor:

(\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H,

{\ displaystyle (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ în H,}

{\ displaystyle (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ în H,}

pentru fiecare funcție limitată măsurabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și, în acest caz, avem:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda ),\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}(\lambda ).

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda), \ qquad f (A) = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) dP ^ {A} (\ lambda).}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda), \ qquad f (A) = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) dP ^ {A} (\ lambda).}

Formula din stânga se numește diagonalizarea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . ^[18]

Deși este posibil să se definească în mod unic un operator autoadjunct (sau, mai general, un operator normal) $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ începând de la o măsurare cu valori ale proiectorului și de la cealaltă dacă este posibilă diagonalizarea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin intermediul unei măsurători limitate a valorii proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ asa de $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ este măsura cu valorile proiectorului asociate în mod unic cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Fiecare operator limitat autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin urmare, poate fi pus într-o corespondență unu-la-unu cu o măsurătoare cu valori limitate ale proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ .

Operatori nelimitați

Același subiect în detaliu: transformarea Cayley .

Luați în considerare un operator autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este limitat. Prin transformarea Cayley $U(A)$ ${\ displaystyle U (A)}$ $U (A)$ asociat cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

U(A)=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1},\qquad A=\mathbf {i} (I+U(A))(I-U(A))^{-1},

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1}, \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A) ) (IU (A)) ^ {- 1},}

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1}, \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A) ) (IU (A)) ^ {- 1},}

este posibil să se definească, pornind de la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , o măsurare la valorile proiectorului $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ în felul următor:

P^{A}(\Omega ):=P^{U(A)}(U(\Omega )),\qquad \Omega \subset \sigma (A).

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {U (A)} (U (\ Omega)), \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A).}

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {U (A)} (U (\ Omega)), \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A).}

Întregul $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un borelian cuprins în spectrul (real) $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Și $U(\Omega )$ ${\ displaystyle U (\ Omega)}$ $U (\ Omega)$ este rezultatul obținut prin aplicarea transformării Cayley pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Se arată că dacă funcția de identitate , definită pe $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ , este elegant $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ cu privire la măsură $(x,P^{A}(\Omega )x)$ ${\ displaystyle (x, P ^ {A} (\ Omega) x)}$ $(x, P ^ {A} (\ Omega) x)$ , asa de $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ definește o măsură la valorile proiectorului $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ .

În special, este posibil să scrieți:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda ).

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda).}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda).}

Chiar și în cazul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ corespondența nu limitată între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar o măsură cu valori ale proiectorului este unu-la-unu.

Notă

^ S. Lang , pagina 240 .
^ S. Lang , p . 197 .
^ S. Lang , pagina 198 .
^ S. Lang , p . 199 .
^ Reed, Simon , Pagina 255 .
^ Reed, Simon , Pagina 256
^ ^a ^b Reed, Simon , Pagina 257 .
^ Reed, Simon , Pagina 195 .
^ Reed, Simon , Pagina 225
^ (EN) VI Sobolev, Operatori echivalenți unitar , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
^ S. Lang , pagina 245 .
^ S. Lang , p. 248 .
^ S. Lang , pagina 246 .
^ Reed, Simon , pagina 227 .
^ Reed, Simon , pagina 221 .
^ Reed, Simon , pagina 261 .
^ Andrea Aurigemma, Operatorul Dirac în dimensiunea 1 + 1: de la linia dreaptă la grafice metrice , pe Physics.unina.it , 2019, p. 40.
^ Reed, Simon , p. 234 .

Bibliografie

Serge Lang , Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Lazar A. Lyusternik și Vladimir I. Sobolev, Elements of functional analysis , Wiley, 1974.
( EN ) Naum I. Akhiezer și Israel M. Glazman, Teoria operatorilor liniari în spațiul Hilbert, vol. 1-2 , Dover, 2003, ISBN 978-04-86-67748-4 .
( EN ) Frigyes Riesz și Béla Szőkefalvi-Nagy, Analiza funcțională , F. Ungar / Dover, 2003, ISBN 978-04-86-66289-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Sobolev, operator simetric , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) VI Sobolev, Hermitian operator , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) VI Sobolev, Self-adjoint operator , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh85119806

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] S. Lang , pagina 240 .

[2] S. Lang , p . 197 .

[3] S. Lang , pagina 198 .

[4] S. Lang , p . 199 .

[nonlim-5] Reed, Simon , Pagina 255 .

[6] Reed, Simon , Pagina 256

[ess-7] Reed, Simon , Pagina 257 .

[8] Reed, Simon , Pagina 195 .

[9] Reed, Simon , Pagina 225

[10] (EN) VI Sobolev, Operatori echivalenți unitar , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.

[11] S. Lang , pagina 245 .

[12] S. Lang , p. 248 .

[13] S. Lang , pagina 246 .

[14] Reed, Simon , pagina 227 .

[15] Reed, Simon , pagina 221 .

[16] Reed, Simon , pagina 261 .

[17] Andrea Aurigemma, Operatorul Dirac în dimensiunea 1 + 1: de la linia dreaptă la grafice metrice , pe Physics.unina.it , 2019, p. 40.

[18] Reed, Simon , p. 234 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]