Operator d'Alembert

Operatorul lui D'Alembert (reprezentat cu un pătrat: $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ ), numit și operator dalembertian ^[1] sau operator de undă , este extensia operatorului lui Laplace în spațiul lui Minkowski și a altor soluții ale ecuațiilor lui Einstein . Este folosit în teoria undelor, electromagnetismului și relativității speciale și generale .

În mecanica clasică , operatorul dalembertian este scris:

\Box =\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}

{\ displaystyle \ Box = \ partial _ {x} ^ {2} + \ partial _ {y} ^ {2} + \ partial _ {z} ^ {2} - {\ frac {1} {v ^ {2 }}} \ partial _ {t} ^ {2} = \ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2}}

{\ displaystyle \ Box = \ partial _ {x} ^ {2} + \ partial _ {y} ^ {2} + \ partial _ {z} ^ {2} - {\ frac {1} {v ^ {2 }}} \ partial _ {t} ^ {2} = \ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2}}

unde v este viteza undei e $\nabla ^{2}=\Delta$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ Delta}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ Delta}$ este operatorul Laplace . În relativitatea specială, dalembertianul ia forma:

\Box =\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }=-\partial _{0}^{2}+\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\partial _{3}^{2}=\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}

{\ displaystyle \ Box = \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = \ eta ^ {\ nu \ mu} \ partial _ {\ nu} \ partial _ {\ mu} = - \ partial _ { 0} ^ {2} + \ partial _ {1} ^ {2} + \ partial _ {2} ^ {2} + \ partial _ {3} ^ {2} = \ Delta - {\ frac {1} { c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2}}

{\ displaystyle \ Box = \ partial ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = \ eta ^ {\ nu \ mu} \ partial _ {\ nu} \ partial _ {\ mu} = - \ partial _ { 0} ^ {2} + \ partial _ {1} ^ {2} + \ partial _ {2} ^ {2} + \ partial _ {3} ^ {2} = \ Delta - {\ frac {1} { c ^ {2}}} \ partial _ {t} ^ {2}}

unde este $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ este laplacianul și $\eta ^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$ este tensorul metric al spațiului-timp al lui Minkowski cu semnătura $(-1,\;1,\;1,\;1)$ ${\ displaystyle (-1, \; 1, \; 1, \; 1)}$ ${\ displaystyle (-1, \; 1, \; 1, \; 1)}$ . Este imediat să verificăm dacă Dalembertianul este un operator invariant sub transformările Lorentz și, prin urmare, nu modifică proprietățile de transformare ale tensorilor la care este aplicat.

Alte notații

Pe lângă simbol $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ (pătrat) este adesea folosit pentru operatorul D'Alembertiano și simbolul $\Delta _{\mathbf {M} }$ ${\ displaystyle \ Delta _ {\ mathbf {M}}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {\ mathbf {M}}}$ , în analogie cu laplacianul ( $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ mathbf {M}}$ înseamnă spațiul Minkowski ) sau simbolul $\Box ^{2}$ ${\ displaystyle \ Box ^ {2}}$ $\ Box ^ {2}$ . Uneori $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ este folosit pentru a reprezenta derivatul covariant cu patru dimensiuni Levi-Civita. Simbolul $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ (nabla) este folosit în schimb pentru a reprezenta derivatele spațiale, dar dependent de coordonate.

O altă modalitate de a scrie operatorul D'Alembertiano este $\partial ^{2}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {2}}$ . Notarea este utilă în teoria câmpului cuantic, unde derivatele parțiale sunt de obicei indexate.

Notă

^ Operator d'Alembert , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Elemente conexe

linkuri externe

Operator d'Alembert , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Operator d'Alembert , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

[1]