Ecuația diferențială parțială eliptică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În analiza matematică , o ecuație diferențială parțială eliptică este o ecuație diferențială parțială astfel încât coeficienții derivaților de grad maxim sunt pozitivi. Avem de-a face cu aplicarea unui operator eliptic , un operator diferențial definit pe un spațiu de funcții care generalizează operatorul Laplace .

Definiție

Mai jos vor fi mai multe definiții care se aplică în contexte diferite. Uneori este convenabil să lucrați cu definiții care sunt valabile numai în contexte specifice, mai degrabă decât definiții generale.

Operator eliptic liniar

Un operator diferențial liniar de ordine pe un domeniu :

se numește operator eliptic dacă pentru fiecare nu avem nul:

În multe aplicații este necesară o cerință mai strictă, condiția de elipticitate uniformă , care se aplică operatorilor de grad uniform:

unde este este o constantă pozitivă. Se observă că elipticitatea depinde doar de termenii de grad maxim.

Operator eliptic complet neliniar

Un operator neliniar:

este eliptică dacă expansiunea sa de prim ordin în seria Taylor în ceea ce privește (și derivatele sale) este un operator liniar eliptic.

Operator eliptic complet neliniar de ordinul doi independent de primele derivate

O definiție alternativă pentru operatorii neliniari de ordinul doi este cea dată de Caffarelli - Niremberg - Spruck:

Este spațiul matricilor simetrice ale dimensiunii . Este un domeniu obișnuit și ambele o funcție reală, atunci funcția se spune că este uniform eliptică dacă există două constante , numite constante de elipticitate, astfel încât pentru fiecare Și este verificat

unde este indicat cu o matrice simetrică , definită nu negativă . [1]

Functia definește un operator diferențial de ordinul doi, , acționând asupra perechilor de matrice Hessian la punct , punct . Adică, având o funcție în acțiunea operatorului este definit ca: unde este indicat cu matricea Hessiană a funcției u.

Operator eliptic complet neliniar care acționează asupra funcțiilor dintre varietăți

În general, fie el un operator diferențial generic (neliniar) definit pe un pachet de vectori . Înlocuirea derivatelor covariante cu o nouă variabilă dă simbolul a operatorului în ceea ce privește formularul 1 .

Operatorul este slab eliptic dacă este un izomorfism liniar pentru orice câmp covectoral nu nul.

Operatorul este puternic eliptic dacă pentru o constantă :

pentru fiecare și pentru fiecare a pachetului, cu un produs intern .

Operatori liniari de ordinul doi

Să considerăm operatori diferențiali parțiali liniari de ordinul doi al formei:

unde este . Acest operator este eliptic dacă pentru fiecare matricea coeficienților termenilor maximi de comandă:

este o matrice simetrică reală pozitivă definită . În special, pentru fiecare vector diferit de zero:

următoarea condiție de elipticitate este valabilă:

Pentru multe utilizări, această condiție nu este suficient de puternică și, prin urmare, trebuie înlocuită de o condiție de elipticitate uniformă :

unde este este o constantă pozitivă.

Dacă matricea , unde este indică matricea de identitate , vectorul iar constanta apoi operatorul definit anterior coincide cu laplacianul .

Laplacian

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: operator Laplace .

Un exemplu important de operator eliptic este laplacianul. Ecuațiile formei:

se numesc ecuații diferențiale parțiale de tip eliptic dacă este un operator eliptic. Ecuațiile diferențiale parțiale obișnuite care implică timpul, cum ar fi ecuația căldurii și ecuația Schrödinger , conțin, de asemenea, operatori eliptici care implică variabile spațiale, precum și derivate de timp. Operatorii eliptici sunt caracteristici teoriei potențialului .

Soluțiile lor, numite funcții armonice , tind să fie funcții netede dacă coeficienții din operator sunt continui. Mai simplu, soluțiile staționare la ecuații hiperbolice și ecuații parabolice rezolvă în general ecuații eliptice.

Opusul laplacianului din , dat de:

este un operator eliptic uniform.

Operator Pucci

O clasă importantă de operatori eliptici complet neliniari este cea a operatorilor Pucci.

Este spațiul matricilor simetrice ale dimensiunii și sunt Și astfel încât . Pentru fiecare Operatorii Pucci sunt bine definiți:

Și

unde este sunt valorile proprii ale matricei . Este o matrice cu valori proprii în , apoi, indicând cu urma unei matrici , pentru fiecare operatorul liniar este bine definit

pentru fiecare . Fiind o matrice simetrică , este congruentă printr-o matrice ortogonală la o matrice diagonală , adică . Prin urmare, , cu De aici rezultă că

Și

De asemenea, dacă este un operator eliptic cu constante de elipticitate Și , astfel încât , atunci urmează următoarea proprietate fundamentală:

Pentru ceea ce sa spus, operatorii Pucci sunt numiți operatori extremisti sau extremali. [2]

Proprietate

  • , asa de Și
  • pentru fiecare
  • ( definit pozitiv ), atunci
  • Și sunt operatori eliptici uniformi cu constante de elipticitate Și . [3]

Teoreme de existență ale unei soluții

Pentru ecuațiile definite de operatorii eliptici există mai multe teoreme de existență. Strategiile demonstrative ale acestor teoreme sunt împărțite în 4 categorii principale. Spus un operator eliptic adecvat nu neapărat liniar acționând asupra unui spațiu de funcții ecuația poate fi scrisă în formă (unde este este funcția necunoscută), atunci strategiile pot fi rezumate după cum urmează:

  • Topologic ( punct fix ). Aceste dovezi se bazează pe disponibilitatea teoremelor punctului fix în spațiile corespunzătoare funcțiilor adecvate. Astfel de metode constau în definirea unui operator ca Apoi, ecuația inițială poate fi rescrisă ca legând soluția ecuației de interes la o problemă cu punct fix.
  • Variații ( minim / maxim ). Aceste dovezi se bazează pe disponibilitatea teoremelor minime și maxime (similare teoremei Weierstrass ) pentru operatorii care acționează pe un spațiu adecvat de funcții, cu valori în . Este o primitivă a , sau un operator astfel încât derivatul său Fréchet să fie . Apoi, punctele minime și maxime pentru corespund soluțiilor ecuației. Deși există soluții care nu corespund minimelor sau maximelor primitivei de , aceste soluții sunt de mare interes deoarece sunt într-un anumit sens soluții stabile (minime) și instabile (maxime).
  • Lax-Milgram . Aceste dovezi se bazează pe lema Lax-Milgram . Este un operator eliptic liniar adecvat. O mare clasă de ecuații eliptice poate fi scrisă sub formă cu funcție necunoscută e este funcția cunoscută. Dacă spațiul în care se caută soluția este un spațiu Hilbert și, prin urmare, are un produs interior , dacă operatorul este simetric în raport cu acel produs și dacă satisface ipoteze adecvate atunci lema Lax-Milgram asigură existența unei soluții.
  • Aproximări în subspatii. Aceste dovezi se bazează pe urmărirea problemei, prin proiecții , către o succesiune de probleme în sub spații finite mai ușor de rezolvat, construind astfel o succesiune de soluții care apoi se dovedesc a converge la soluția problemei de pornire. [4]

Unele dovezi, mai rar, folosesc teorema pitch pitch pentru a demonstra existența uneia sau mai multor soluții.

Rețineți că aceste strategii dovedesc adesea existența unor soluții slabe; în unele cazuri, folosind identități precum Pohozaev și inegalități precum Hölder, se poate demonstra că soluția găsită se află într-un spațiu Sobolev , cu unde este este dimensiunea spațiului camerei. Apoi, datorită teoremelor de imersiune ale lui Sobolev , este posibil să se demonstreze că astfel de soluții slabe corespund soluțiilor clasice.

Unele rezultate ale existenței soluțiilor la ecuații eliptice deosebit de importante sunt raportate mai jos.

Ecuații Dirichlet neomogene

Având în vedere ecuația

apoi sub ipoteze adecvate de regularitate a domeniului , a funcției și funcție avem existența și unicitatea soluției clasice.

O soluție, atunci când există, pentru teorema reprezentării lui Green este de formă

unde este este funcția verde a operatorului laplacian din domeniu . [5]

Este , un punct de la granița , apoi o funcție se numește barieră (în raport cu laplacianul) în referitoare la de sine

  • pentru fiecare în ;
  • în . [6]

Un punct se spune că este regulat (cu privire la laplacian ) dacă există o barieră în acel punct. [6]

Într-un domeniu cu frontieră continuă Lipschitz , toate punctele frontierei sunt regulate.

Enunțarea teoremei

Este un domeniu mărginit și lăsați fiecare punct al un punct regulat (cu privire la laplacian ). Astfel, dacă este limitată și local Hölderiana în , problema Dirichlet menționată mai sus admite o soluție clasică, unică pentru fiecare condiție limită continuă. [7]

Corolar

Este un domeniu delimitat regulat (în ceea ce privește laplacianul), atunci există, unică, soluția clasică la problema Dirichlet clasică ( ).

Ecuații semiliniare

Având în vedere ecuația

apoi sub ipoteze adecvate de regularitate a domeniului , a funcției și funcție existența este unicitatea soluției clasice.

Enunțarea teoremei

Este o deschidere limitată cu frontieră regulată și ambele o funcție continuă care îndeplinește următoarele condiții:

  1. , unde este Și sunt două constante pozitive și dacă asa de si daca asa de
  2. pentru , uniform în
  3. exista Și , astfel încât pentru merită , ( , pentru fiecare cu ), unde este

are o soluție (slabă) în spațiul Hilbert . De asemenea dacă este local h ö lderiana în , asa de este o soluție clasică și pozitivă.

Condițiile acestei teoreme sunt adesea numite condiții de creștere sub-critice pentru funcție , unde coeficientul de criticitate este coeficientul critic de scufundare a spațiilor spațiilor Sobolev ( este conjugatul lui ). [8]

Notă

  1. ^ Roberts, Luis și Caffarelli, Fully Nonlinear Elliptic Equations , vol. 43, American Mathematical Soc., 1995, p. 12 .
  2. ^ De Luis A. Roberts, Luis A. Caffarelli și Xavier Cabré, Fully Nonlinear Elliptic Equations , voi. 43, American Mathematical Society, 1995, pp. 14 -15.
  3. ^ Luis A. Roberts, Luis A. Caffarelli și Xavier Cabré, Fully Nonlinear Elliptic Equations , voi. 43, American Mathematica Society, 1995, p. 15 .
  4. ^ Kesavan S., Analiza funcțională și aplicare , Wiley, 1988, p. 214.
  5. ^ David Gilbarg și Neil S. Trudinger, Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Springer, 2015, p. 19.
  6. ^ a b David Gilbarg și Neil S. Trudinger, Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Springer, 2015, p. 25.
  7. ^ David Gilbarg și Neil S. Trudinger, Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Springer, 2015, p. 56.
  8. ^ DG De Figueiredo, PL Lions, RD Nussbaum, A Priori Estimates and Existence of Positive Solutions of Semilinear Elliptic Equations , în In: Costa D. (eds) Djairo G. de Figueiredo - Selected Papers , Springer, Cham, pp. 133-155.

Bibliografie

  • ( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica