În analiza matematică , o ecuație diferențială parțială eliptică este o ecuație diferențială parțială astfel încât coeficienții derivaților de grad maxim sunt pozitivi. Avem de-a face cu aplicarea unui operator eliptic , un operator diferențial definit pe un spațiu de funcții care generalizează operatorul Laplace .
Definiție
Mai jos vor fi mai multe definiții care se aplică în contexte diferite. Uneori este convenabil să lucrați cu definiții care sunt valabile numai în contexte specifice, mai degrabă decât definiții generale.
Operator eliptic liniar
Un operator diferențial liniar {\ displaystyle L} de ordine {\ displaystyle m} pe un domeniu {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} :
- {\ displaystyle Lu = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha} u \,}
se numește operator eliptic dacă pentru fiecare {\ displaystyle {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {d}} nu avem nul:
- {\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = m} a _ {\ alpha} (x) {\ vec {x}} ^ {\ alpha} \ neq 0 \ qquad \ forall x \ in \ Omega \ quad \ forall m \ in \ mathbb {N}}
În multe aplicații este necesară o cerință mai strictă, condiția de elipticitate uniformă , care se aplică operatorilor de grad uniform:
- {\ displaystyle (-1) ^ {k} \ sum _ {| \ alpha | = 2k} a _ {\ alpha} (x) {\ vec {x}} ^ {\ alpha}> C | {\ vec { x}} | ^ {2k} \ qquad k \ in \ mathbb {N}}
unde este {\ displaystyle C} este o constantă pozitivă. Se observă că elipticitatea depinde doar de termenii de grad maxim.
Operator eliptic complet neliniar
Un operator neliniar:
- {\ displaystyle L (u) = F (x, u, (\ partial ^ {\ alpha} u) _ {| \ alpha | \ leq 2k}) \,}
este eliptică dacă expansiunea sa de prim ordin în seria Taylor în ceea ce privește {\ displaystyle u} (și derivatele sale) este un operator liniar eliptic.
Operator eliptic complet neliniar de ordinul doi independent de primele derivate
O definiție alternativă pentru operatorii neliniari de ordinul doi este cea dată de Caffarelli - Niremberg - Spruck:
Este {\ displaystyle {\ mathcal {S}}} spațiul matricilor simetrice ale dimensiunii {\ displaystyle n \ times n} . Este {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} un domeniu obișnuit și ambele {\ displaystyle F \ colon {\ mathcal {S}} \ times \ Omega \ to R} o funcție reală, atunci funcția {\ displaystyle F} se spune că este uniform eliptică dacă există două constante {\ displaystyle \ lambda \ leq \ Lambda} , numite constante de elipticitate, astfel încât pentru fiecare {\ displaystyle M \ in {\ mathcal {S}}} Și {\ displaystyle x \ in \ Omega} este verificat
- {\ displaystyle \ lambda \ Vert P \ Vert \ leq F (M + P, x) \ leq \ Lambda \ Vert P \ Vert, \; \ forall P \ geq 0,}
unde este indicat cu {\ displaystyle P \ geq 0} o matrice simetrică , definită nu negativă . [1]
Functia {\ displaystyle F} definește un operator diferențial de ordinul doi, {\ displaystyle O_ {F}} , acționând asupra perechilor de matrice Hessian la punct {\ displaystyle x} , punct {\ displaystyle x} . Adică, având o funcție {\ displaystyle u \ colon \ Omega \ to R} în {\ displaystyle C ^ {2} (\ Omega)} acțiunea operatorului {\ displaystyle O_ {F}} este definit ca: {\ displaystyle O_ {F} (u) (x) = F (Hu (x), x),} unde este indicat cu {\ displaystyle Hu} matricea Hessiană a funcției u.
Operator eliptic complet neliniar care acționează asupra funcțiilor dintre varietăți
În general, fie el {\ displaystyle D} un operator diferențial generic (neliniar) definit pe un pachet de vectori . Înlocuirea derivatelor covariante cu o nouă variabilă dă simbolul {\ displaystyle \ sigma _ {\ vec {x}} (D)} a operatorului în ceea ce privește formularul 1 {\ displaystyle {\ vec {x}}} .
Operatorul {\ displaystyle D} este slab eliptic dacă {\ displaystyle \ sigma _ {\ vec {x}} (D)} este un izomorfism liniar pentru orice câmp covectoral {\ displaystyle {\ vec {x}}} nu nul.
Operatorul {\ displaystyle D} este puternic eliptic dacă pentru o constantă {\ displaystyle c> 0} :
- {\ displaystyle ([\ sigma _ {\ vec {x}} (D)] (v), v) \ geq c \ | v \ | ^ {2},}
pentru fiecare {\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | = 1} și pentru fiecare {\ displaystyle v} a pachetului, cu {\ displaystyle (\ cdot, \ cdot)} un produs intern .
Operatori liniari de ordinul doi
Să considerăm operatori diferențiali parțiali liniari de ordinul doi al formei:
- {\ displaystyle P \ phi = \ sum _ {k, j} a_ {kj} D_ {k} D_ {j} \ phi + \ sum _ {\ ell} b _ {\ ell} D _ {\ ell} \ phi + c \ phi,}
unde este {\ displaystyle D_ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {-1}}} \ partial _ {x_ {k}}} . Acest operator este eliptic dacă pentru fiecare {\ displaystyle x} matricea coeficienților termenilor maximi de comandă:
- {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} (x) & a_ {12} (x) & \ cdots & a_ {1n} (x) \\ a_ {21} (x) & a_ {22} ( x) & \ cdots & a_ {2n} (x) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} (x) & a_ {n2} (x) & \ cdots & a_ {nn } (x) \ end {bmatrix}}}
este o matrice simetrică reală pozitivă definită . În special, pentru fiecare vector diferit de zero:
- {\ displaystyle {\ vec {\ xi}} = (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots, \ xi _ {n})}
următoarea condiție de elipticitate este valabilă:
- {\ displaystyle \ sum _ {k, j} a_ {kj} (x) \ xi _ {k} \ xi _ {j}> 0}
Pentru multe utilizări, această condiție nu este suficient de puternică și, prin urmare, trebuie înlocuită de o condiție de elipticitate uniformă :
- {\ displaystyle \ sum _ {k, j} a_ {kj} (x) \ xi _ {k} \ xi _ {j}> C | \ xi | ^ {2},}
unde este {\ displaystyle C} este o constantă pozitivă.
Dacă matricea {\ displaystyle A = (a_ {k, j}) _ {k, j = 0, \ ldots, n} = I} , unde este {\ displaystyle I} indică matricea de identitate , vectorul {\ displaystyle b_ {l} = 0} iar constanta {\ displaystyle c = 0,} apoi operatorul {\ displaystyle P} definit anterior coincide cu laplacianul .
Laplacian
Un exemplu important de operator eliptic este laplacianul. Ecuațiile formei:
- {\ displaystyle Pu = 0}
se numesc ecuații diferențiale parțiale de tip eliptic dacă {\ displaystyle P} este un operator eliptic. Ecuațiile diferențiale parțiale obișnuite care implică timpul, cum ar fi ecuația căldurii și ecuația Schrödinger , conțin, de asemenea, operatori eliptici care implică variabile spațiale, precum și derivate de timp. Operatorii eliptici sunt caracteristici teoriei potențialului .
Soluțiile lor, numite funcții armonice , tind să fie funcții netede dacă coeficienții din operator sunt continui. Mai simplu, soluțiile staționare la ecuații hiperbolice și ecuații parabolice rezolvă în general ecuații eliptice.
Opusul laplacianului din {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} , dat de:
- {\ displaystyle - \ nabla ^ {2} = \ sum _ {\ ell = 1} ^ {n} D _ {\ ell} ^ {2}}
este un operator eliptic uniform.
Operator Pucci
O clasă importantă de operatori eliptici complet neliniari este cea a operatorilor Pucci.
Este {\ displaystyle \ mathbb {S}} spațiul matricilor simetrice ale dimensiunii {\ displaystyle N \ times N} și sunt{\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}} Și{\ displaystyle \ Lambda \ in \ mathbb {R}} astfel încât {\ displaystyle 0 <\ lambda \ leq \ Lambda} . Pentru fiecare {\ displaystyle M \ in {\ mathcal {S}}} Operatorii Pucci sunt bine definiți:
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M) = \ lambda \ sum _ {e_ {i}> 0} e_ {i} + \ Lambda \ sum _ { e_ {i} <0} e_ {i}}
Și
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M) = \ Lambda \ sum _ {e_ {i}> 0} e_ {i} + \ lambda \ sum _ { e_ {i} <0} e_ {i},}
unde este {\ displaystyle e_ {i} = e_ {i} (M)} sunt valorile proprii ale matricei {\ displaystyle M} . Este {\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ lambda, \ Lambda} \ în {\ mathcal {S}}} o matrice cu valori proprii în {\ displaystyle [\ lambda, \ Lambda]} , apoi, indicând cu {\ displaystyle {\ mathcal {tr}} (X)} urma unei matrici {\ displaystyle X} , pentru fiecare {\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}} _ {\ lambda, \ Lambda}} operatorul liniar este bine definit
- {\ displaystyle L_ {A} (X) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {N} A_ {i, j} X_ {j, i} = {\ mathcal {tr}} (AX),}
pentru fiecare {\ displaystyle X \ in {\ mathcal {S}}} . Fiind {\ displaystyle M} o matrice simetrică , este congruentă printr-o matrice ortogonală {\ displaystyle O} la o matrice diagonală {\ displaystyle D} , adică {\ displaystyle M = ODO ^ {T}} . Prin urmare, {\ displaystyle L_ {A} (M) = {\ mathcal {tr}} (AODO ^ {T}) = {\ mathcal {tr}} (O ^ {T} AOD) = {\ mathcal {tr}} ( LA)} , cu {\ displaystyle A '\ in {\ mathcal {A}} _ {\ lambda, \ Lambda.}} De aici rezultă că
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M) = \ inf _ {A \ in {\ mathcal {A}} _ {\ lambda, \ Lambda}} L_ {A} (M)}
Și
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M) = \ sup _ {A \ in {\ mathcal {A}} _ {\ lambda, \ Lambda}} L_ {A} (M)}
De asemenea, dacă {\ displaystyle F \ colon \ mathbb {S} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} este un operator eliptic cu constante de elipticitate {\ displaystyle \ lambda} Și {\ displaystyle \ Lambda} , astfel încât {\ displaystyle F (0, x) = 0} , atunci urmează următoarea proprietate fundamentală:
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M) \ leq F (M, x) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M).}
Pentru ceea ce sa spus, operatorii Pucci sunt numiți operatori extremisti sau extremali. [2]
Proprietate
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M); }
- {\ displaystyle \ lambda '\ leq \ lambda \ leq \ Lambda \ leq \ Lambda'} , asa de {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda ', \ Lambda'} ^ {-} (M) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M )}} Și {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda ', \ Lambda'} ^ {+} (M) \ geq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M );}
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M) = - {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (- M) ;}
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {\ pm} (\ alpha M) = \ alpha {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {\ pm } (M)} pentru fiecare {\ displaystyle \ alpha \ geq 0;}
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M) + {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (P) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M + P) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M) + { \ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (P);}
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M) + {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (P) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M + P) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M) + { \ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (P);}
- {\ displaystyle P \ geq 0} ( definit pozitiv ), atunci {\ displaystyle \ lambda \ Vert P \ Vert \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (P) \ leq {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda } ^ {+} (P) \ leq \ Lambda \ Vert P \ Vert;}
- {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {-} (M)} Și {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ lambda, \ Lambda} ^ {+} (M)} sunt operatori eliptici uniformi cu constante de elipticitate {\ displaystyle \ lambda} Și {\ displaystyle N \ Lambda} . [3]
Teoreme de existență ale unei soluții
Pentru ecuațiile definite de operatorii eliptici există mai multe teoreme de existență. Strategiile demonstrative ale acestor teoreme sunt împărțite în 4 categorii principale. Spus {\ displaystyle T} un operator eliptic adecvat nu neapărat liniar acționând asupra unui spațiu de funcții ecuația poate fi scrisă în formă {\ displaystyle T (u) = 0} (unde este {\ displaystyle u} este funcția necunoscută), atunci strategiile pot fi rezumate după cum urmează:
- Topologic ( punct fix ). Aceste dovezi se bazează pe disponibilitatea teoremelor punctului fix în spațiile corespunzătoare funcțiilor adecvate. Astfel de metode constau în definirea unui operator {\ displaystyle T '} ca{\ displaystyle T '(u) = T (u) -u.} Apoi, ecuația inițială poate fi rescrisă ca {\ displaystyle T '(u) = u} legând soluția ecuației de interes la o problemă cu punct fix.
- Variații ( minim / maxim ). Aceste dovezi se bazează pe disponibilitatea teoremelor minime și maxime (similare teoremei Weierstrass ) pentru operatorii care acționează pe un spațiu adecvat de funcții, cu valori în {\ displaystyle \ mathbb {R}} . Este {\ displaystyle t} o primitivă a {\ displaystyle T} , sau un operator astfel încât derivatul său Fréchet să fie {\ displaystyle T} . Apoi, punctele minime și maxime pentru {\ displaystyle t} corespund soluțiilor ecuației. Deși există soluții care nu corespund minimelor sau maximelor primitivei de {\ displaystyle T} , aceste soluții sunt de mare interes deoarece sunt într-un anumit sens soluții stabile (minime) și instabile (maxime).
- Lax-Milgram . Aceste dovezi se bazează pe lema Lax-Milgram . Este {\ displaystyle L} un operator eliptic liniar adecvat. O mare clasă de ecuații eliptice poate fi scrisă sub formă {\ displaystyle L (u) = f,} cu {\ displaystyle u} funcție necunoscută e {\ displaystyle f} este funcția cunoscută. Dacă spațiul în care se caută soluția este un spațiu Hilbert și, prin urmare, are un produs interior , dacă operatorul {\ displaystyle T} este simetric în raport cu acel produs și dacă {\ displaystyle f} satisface ipoteze adecvate atunci lema Lax-Milgram asigură existența unei soluții.
- Aproximări în subspatii. Aceste dovezi se bazează pe urmărirea problemei, prin proiecții , către o succesiune de probleme în sub spații finite mai ușor de rezolvat, construind astfel o succesiune de soluții care apoi se dovedesc a converge la soluția problemei de pornire. [4]
Unele dovezi, mai rar, folosesc teorema pitch pitch pentru a demonstra existența uneia sau mai multor soluții.
Rețineți că aceste strategii dovedesc adesea existența unor soluții slabe; în unele cazuri, folosind identități precum Pohozaev și inegalități precum Hölder, se poate demonstra că soluția găsită se află într-un spațiu Sobolev {\ displaystyle W ^ {k, p}} , cu {\ displaystyle k> {\ frac {d} {p}},} unde este {\ displaystyle d} este dimensiunea spațiului camerei. Apoi, datorită teoremelor de imersiune ale lui Sobolev , este posibil să se demonstreze că astfel de soluții slabe corespund soluțiilor clasice.
Unele rezultate ale existenței soluțiilor la ecuații eliptice deosebit de importante sunt raportate mai jos.
Ecuații Dirichlet neomogene
Având în vedere ecuația
- {\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta u (x) = f (x), & \ forall x \ in \ Omega, \\ u (x) = \ varphi (x), & \ forall x \ in \ partial \ Omega, \ end {cases}}}
apoi sub ipoteze adecvate de regularitate a domeniului {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} , a funcției {\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}} și funcție {\ displaystyle \ varphi \ colon \ partial \ Omega \ to \ mathbb {R}} avem existența și unicitatea soluției clasice.
O soluție, atunci când există, pentru teorema reprezentării lui Green este de formă
- {\ displaystyle u (x) = \ int _ {\ partial \ Omega} u (y) {\ frac {\ partial G} {\ partial \ nu}} (x, y) d \ sigma (x) + \ int _ {\ Omega} g (x, y) f (x) dx,}
unde este {\ displaystyle G \ colon \ Omega \ times \ Omega \ to \ mathbb {R}} este funcția verde a operatorului laplacian din domeniu {\ displaystyle \ Omega} . [5]
Este{\ displaystyle \ xi \ in \ partial \ Omega} , un punct de la granița {\ displaystyle \ Omega} , apoi o funcție {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {\ xi}} se numește barieră (în raport cu laplacianul) în {\ displaystyle \ xi} referitoare la {\ displaystyle \ omega} de sine
- {\ displaystyle \ Delta \ omega (x) \ geq 0} pentru fiecare {\ displaystyle x} în {\ displaystyle \ Omega} ;
- {\ displaystyle \ omega> 0} în {\ displaystyle \ Omega} . [6]
Un punct{\ displaystyle \ xi \ in \ partial \ Omega} se spune că este regulat (cu privire la laplacian ) dacă există o barieră în acel punct. [6]
Într-un domeniu cu frontieră continuă Lipschitz , toate punctele frontierei sunt regulate.
Enunțarea teoremei
Este {\ displaystyle \ Omega} un domeniu mărginit și lăsați fiecare punct al {\ displaystyle \ partial \ Omega} un punct regulat (cu privire la laplacian ). Astfel, dacă {\ displaystyle f} este limitată și local Hölderiana în {\ displaystyle \ Omega} , problema Dirichlet menționată mai sus admite o soluție clasică, unică pentru fiecare condiție limită {\ displaystyle \ varphi} continuă. [7]
Corolar
Este {\ displaystyle \ Omega} un domeniu delimitat regulat (în ceea ce privește laplacianul), atunci există, unică, soluția clasică la problema Dirichlet clasică ( {\ displaystyle f = 0} ).
Ecuații semiliniare
Având în vedere ecuația
- {\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta u (x) = g (x, u (x)), & \ forall x \ in \ Omega, \\ u (x) = \ varphi (u), & \ forall x \ in \ partial \ Omega, \ end {cases}}}
apoi sub ipoteze adecvate de regularitate a domeniului {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} , a funcției {\ displaystyle g \ colon {\ bar {\ Omega}} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} și funcție {\ displaystyle \ varphi: \ partial \ Omega \ to \ mathbb {R}} existența este unicitatea soluției clasice.
Enunțarea teoremei
Este {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} o deschidere limitată cu frontieră regulată și ambele {\ displaystyle g \ colon {\ bar {\ Omega}} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} o funcție continuă care îndeplinește următoarele condiții:
- {\ displaystyle \ vert g (x, s) \ vert \ leq c \ vert s \ vert ^ {p-1} + h} , unde este {\ displaystyle c} Și {\ displaystyle h} sunt două constante pozitive și dacă {\ displaystyle n = 2} asa de {\ displaystyle 2 <p <\ infty} si daca {\ displaystyle n> 2} asa de {\ displaystyle 2 <p <{\ frac {2n} {n-2}};}
- {\ displaystyle g (x, s) = o (\ vert s \ vert)} pentru {\ displaystyle s \ to 0} , uniform în {\ displaystyle x;}
- exista {\ displaystyle \ alpha> 2} Și {\ displaystyle r> 0} , astfel încât pentru {\ displaystyle \ vert s \ vert> r} merită {\ displaystyle 0 <\ alpha G (x, s) \ leq sg (x, s)} , ( {\ displaystyle sg (x, s)> 0} , pentru fiecare {\ displaystyle s} cu {\ displaystyle \ vert s \ vert> 0} ), unde este {\ displaystyle G (x, s) = \ int _ {0} ^ {s} g (x, \ tau) d \ tau;}
are o soluție (slabă) {\ displaystyle u> 0} în spațiul Hilbert {\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)} . De asemenea dacă {\ displaystyle g} este local h ö lderiana în {\ displaystyle {\ bar {\ Omega}} \ times \ mathbb {R}} , asa de {\ displaystyle u} este o soluție clasică și pozitivă.
Condițiile acestei teoreme sunt adesea numite condiții de creștere sub-critice pentru funcție {\ displaystyle g} , unde coeficientul de criticitate {\ displaystyle q ^ {*} = {\ frac {2n} {n-2}}} este coeficientul critic de scufundare a spațiilor spațiilor Sobolev {\ displaystyle W ^ {1, q} \ hookrightarrow L ^ {q ^ {*}}} ( {\ displaystyle q ^ {*}} este conjugatul lui {\ displaystyle q} ). [8]
Notă
- ^ Roberts, Luis și Caffarelli, Fully Nonlinear Elliptic Equations , vol. 43, American Mathematical Soc., 1995, p. 12 .
- ^ De Luis A. Roberts, Luis A. Caffarelli și Xavier Cabré, Fully Nonlinear Elliptic Equations , voi. 43, American Mathematical Society, 1995, pp. 14 -15.
- ^ Luis A. Roberts, Luis A. Caffarelli și Xavier Cabré, Fully Nonlinear Elliptic Equations , voi. 43, American Mathematica Society, 1995, p. 15 .
- ^ Kesavan S., Analiza funcțională și aplicare , Wiley, 1988, p. 214.
- ^ David Gilbarg și Neil S. Trudinger, Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Springer, 2015, p. 19.
- ^ a b David Gilbarg și Neil S. Trudinger, Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Springer, 2015, p. 25.
- ^ David Gilbarg și Neil S. Trudinger, Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Springer, 2015, p. 56.
- ^ DG De Figueiredo, PL Lions, RD Nussbaum, A Priori Estimates and Existence of Positive Solutions of Semilinear Elliptic Equations , în In: Costa D. (eds) Djairo G. de Figueiredo - Selected Papers , Springer, Cham, pp. 133-155.
Bibliografie
- ( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
Elemente conexe
linkuri externe