Operator de impulsuri

Operatorul de impulsuri din mecanica cuantică este un operator cu un spectru continuu de valori proprii reprezentând impulsul observabil .

Definiție

Pentru o singură particulă lipsită de sarcină și rotire definim impulsul observabil, scris în baza coordonatelor, ca

\mathbf {p} ={\hbar  \over i}\nabla =-i\hbar \nabla

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ hbar \ over i} \ nabla = -i \ hbar \ nabla}

{\ mathbf {p}} = {\ hbar \ over i} \ nabla = -i \ hbar \ nabla

unde este:

$\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este operatorul de gradient ;
$\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ este constanta lui Planck împărțită la 2π;
$the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară .

Într-o dimensiune spațială:

\mathbf {p} ={\hbar  \over i}{\partial  \over \partial x}=-i\hbar {\partial  \over \partial x}.

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ hbar \ over i} {\ partial \ over \ partial x} = - i \ hbar {\ partial \ over \ partial x}.}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ hbar \ over i} {\ partial \ over \ partial x} = - i \ hbar {\ partial \ over \ partial x}.}

Acest operator este Hermitian atâta timp cât domeniul său este specificat în mod corespunzător ^[1] .

Derivare

Teorema lui Noether pentru Lagrangian ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ afirmă că pentru fiecare simetrie a Lagrangianului există o cantitate conservată, care în cazul unei traduceri spațiale este

Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}}}dq=\varepsilon p=pdx

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}} dq = \ varepsilon p = pdx}

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}}}} dq = \ varepsilon p = pdx}

Cu $x=q$ ${\ displaystyle x = q}$ ${\ displaystyle x = q}$ și identificarea $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ cu $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , se observă că impulsul este cantitatea conservată sub traducere. ^[2]
Acum luați în considerare aplicarea operatorului de traducere $T(\varepsilon )$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ pentru o transformare infinitesimală, unde $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ reprezintă lungimea acelei traduceri, atunci

T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )

{\ displaystyle T (\ varepsilon) | \ psi \ rangle = \ int dxT (\ varepsilon) | x \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle = \ int dx | x + \ varepsilon \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ langle x- \ varepsilon | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ psi (x- \ varepsilon)}

{\ displaystyle T (\ varepsilon) | \ psi \ rangle = \ int dxT (\ varepsilon) | x \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle = \ int dx | x + \ varepsilon \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ langle x- \ varepsilon | \ psi \ rangle = \ int dx | x \ rangle \ psi (x- \ varepsilon)}

De sine $T(\varepsilon )$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ este o funcție analitică sau pur și simplu una diferențiată , atunci este posibil să se dezvolte funcția în seria Taylor $\psi (x-\varepsilon )$ ${\ displaystyle \ psi (x- \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle \ psi (x- \ varepsilon)}$ în jurul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

\psi (x-\varepsilon )=T(\varepsilon )\psi (x)=\psi (x)-\varepsilon {d \over dx}\psi (x)+...=exp\left(-\varepsilon {d \over dx}\right)\psi (x)

{\ displaystyle \ psi (x- \ varepsilon) = T (\ varepsilon) \ psi (x) = \ psi (x) - \ varepsilon {d \ over dx} \ psi (x) + ... = exp \ left (- \ varepsilon {d \ over dx} \ right) \ psi (x)}

{\ displaystyle \ psi (x- \ varepsilon) = T (\ varepsilon) \ psi (x) = \ psi (x) - \ varepsilon {d \ over dx} \ psi (x) + ... = exp \ left (- \ varepsilon {d \ over dx} \ right) \ psi (x)}

Din punct de vedere matematic, obiectul prin exponențierea căruia se obține o transformare este generatorul transformării, prin urmare $-d/dx$ ${\ displaystyle -d / dx}$ ${\ displaystyle -d / dx}$ generează traducerea infinitesimală $T(\varepsilon )$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ . Mai mult, operatorul de impuls trebuie să fie și Hermitian și, în acest sens, există teorema lui Stone care afirmă că, dacă este posibil să scrie operatorul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ca

T(\varepsilon )=e^{i\varepsilon K}\

{\ displaystyle T (\ varepsilon) = e ^ {i \ varepsilon K} \}

{\ displaystyle T (\ varepsilon) = e ^ {i \ varepsilon K} \}

asa de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este unitar dacă și numai dacă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este Hermitian.
Prin echivalarea exponențialelor ultimelor două expresii, este clar că generatorul de traducere $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , care este Hermitian, trebuie să aibă forma

K=i{d \over dx}

{\ displaystyle K = i {d \ over dx}}

{\ displaystyle K = i {d \ over dx}}

fiind $1/i=-i$ ${\ displaystyle 1 / i = -i}$ ${\ displaystyle 1 / i = -i}$ .
Forțând acel impuls $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ înainte și după traducere rămâne constantă și considerând Lagrangianul ca o funcție arbitrară generică, se dovedește că operatorul $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ diferă dimensional de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ pentru o constantă care experimental se dovedește a fi constanta redusă a lui Planck $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , schimbat în semn. Prin urmare, putem defini operatorul de impuls în mecanica cuantică ca:

{\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}

{\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {d \ over dx}}

{\ displaystyle {\ hat {p}} = - i \ hbar {d \ over dx}}

În consecință, avem:

p|\alpha \rangle =\int dx'\,|x'\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x'}}\langle x'|\alpha \rangle \right)

{\ displaystyle p | \ alpha \ rangle = \ int dx '\, | x' \ rangle \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x '}} \ langle x' | \ alpha \ rangle \ right)}

{\ displaystyle p | \ alpha \ rangle = \ int dx '\, | x' \ rangle \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x '}} \ langle x' | \ alpha \ rangle \ right)}

sau, de asemenea:

\langle x'|p|\alpha \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x'}}\langle x'|\alpha \rangle

{\ displaystyle \ langle x '| p | \ alpha \ rangle = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x'}} \ langle x '| \ alpha \ rangle}

{\ displaystyle \ langle x '| p | \ alpha \ rangle = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x'}} \ langle x '| \ alpha \ rangle}

Acestea sunt reprezentările operatorului de impuls în reprezentarea coordonatelor. Elementele matrice ale operatorului de impuls în termeni de vectori de undă $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ Și $|\beta \rangle$ ${\ displaystyle | \ beta \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ beta \ rangle}$ sau funcții de undă :

\langle \beta |p|\alpha \rangle =\int dx'\,\langle \beta |x'\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x'}}\right)\langle x'|\alpha \rangle =\int dx'\,\psi _{\beta }^{*}(x')\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x'}}\right)\psi _{\alpha }(x')

{\ displaystyle \ langle \ beta | p | \ alpha \ rangle = \ int dx '\, \ langle \ beta | x' \ rangle \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x '} } \ right) \ langle x '| \ alpha \ rangle = \ int dx' \, \ psi _ {\ beta} ^ {*} (x ') \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} { \ partial x '}} \ right) \ psi _ {\ alpha} (x')}

{\ displaystyle \ langle \ beta | p | \ alpha \ rangle = \ int dx '\, \ langle \ beta | x' \ rangle \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x '} } \ right) \ langle x '| \ alpha \ rangle = \ int dx' \, \ psi _ {\ beta} ^ {*} (x ') \ left (-i \ hbar {\ frac {\ partial} { \ partial x '}} \ right) \ psi _ {\ alpha} (x')}

În reprezentarea coordonatelor, operatorul de impuls într-o dimensiune este scris:

p_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

{\ displaystyle p_ {x} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}

{\ displaystyle p_ {x} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}

și în cazul tridimensional:

{\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = - i \ hbar {\ vec {\ nabla}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} = - i \ hbar {\ vec {\ nabla}}}

Operatorul de impulsuri ca transformată Fourier

Același subiect în detaliu: Transformata Fourier .

În acest moment este posibil să se arate cum transformata Fourier a impulsului observabil, în mecanica cuantică, este operatorul de poziție . Transformarea, de fapt, transformă bazele impulsului în bazele coordonatelor, adică ale operatorului de poziție:

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {d \over dx}\psi (x)

{\ displaystyle \ langle x | {\ hat {p}} | \ psi \ rangle = -i \ hbar {d \ over dx} \ psi (x)}

{\ displaystyle \ langle x | {\ hat {p}} | \ psi \ rangle = -i \ hbar {d \ over dx} \ psi (x)}

si invers:

\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {d \over dp}\psi (p)

{\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | \ psi \ rangle = i \ hbar {d \ over dp} \ psi (p)}

{\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | \ psi \ rangle = i \ hbar {d \ over dp} \ psi (p)}

Este utilă și următoarea relație:

\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {d \over dp}\delta (p-p')

{\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | p '\ rangle = i \ hbar {d \ over dp} \ delta (p-p')}

{\ displaystyle \ langle p | {\ hat {x}} | p '\ rangle = i \ hbar {d \ over dp} \ delta (p-p')}

unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este delta Dirac .

Ecuația valorii proprii pentru operatorul de impuls

Ecuația valorii proprii a operatorului de impulsuri în reprezentarea impulsurilor este:

{\hat {p}}|p'\rangle =p'|p'\rangle

{\ displaystyle {\ hat {p}} | p '\ rangle = p' | p '\ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {p}} | p '\ rangle = p' | p '\ rangle}

unde de obicei ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ hat p}$ este operatorul de impuls, $-\infty \leq p'\leq \infty$ ${\ displaystyle - \ infty \ leq p '\ leq \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty \ leq p '\ leq \ infty}$ este valoarea proprie care poate lua valori continue și $|p'\rangle$ ${\ displaystyle | p '\ rangle}$ ${\ displaystyle | p '\ rangle}$ este vectorul propriu asociat. Funcțiile proprii ale operatorului de impulsuri obținute luând în considerare în loc de $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ vectorul propriu $|p'\rangle$ ${\ displaystyle | p '\ rangle}$ ${\ displaystyle | p '\ rangle}$ :

\langle x'|p|p'\rangle =p'\langle x'|p'\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x'}}\langle x'|p'\rangle

{\ displaystyle \ langle x '| p | p' \ rangle = p '\ langle x' | p '\ rangle = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x'}} \ langle x '| p '\ rangle}

{\ displaystyle \ langle x '| p | p' \ rangle = p '\ langle x' | p '\ rangle = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x'}} \ langle x '| p '\ rangle}

care poate fi scris în termeni de funcții de undă ca:

\langle x'|p|p'\rangle =p'\phi _{p'}(x')=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x'}}\phi _{p'}(x')

{\ displaystyle \ langle x '| p | p' \ rangle = p '\ phi _ {p'} (x ') = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x'}} \ phi _ {p '} (x')}

{\ displaystyle \ langle x '| p | p' \ rangle = p '\ phi _ {p'} (x ') = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x'}} \ phi _ {p '} (x')}

Soluția acestei ecuații diferențiale dă funcția proprie a impulsului care poate fi scrisă:

\psi _{p'}(x')=\langle x'|p'\rangle =Ce^{{\frac {i}{\hbar }}p'x'}

{\ displaystyle \ psi _ {p '} (x') = \ langle x '| p' \ rangle = Ce ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} p'x '}}

{\ displaystyle \ psi _ {p '} (x') = \ langle x '| p' \ rangle = Ce ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} p'x '}}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o constantă de normalizare . Conform interpretării funcției de undă ca amplitudine de probabilitate, semnificația fizică a expresiei anterioare este aceea că probabilitatea de a găsi o particulă cu o valoare dată a impulsului $p^{'}$ ${\ displaystyle p '}$ $p '$ în regiunea dintre $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ Și $x'+dx'$ ${\ displaystyle x '+ dx'}$ ${\ displaystyle x '+ dx'}$ este egal cu:

P(x',x'+dx')=|\psi _{p'}(x')|^{2}dx=|N|^{2}dx\

{\ displaystyle P (x ', x' + dx ') = | \ psi _ {p'} (x ') | ^ {2} dx = | N | ^ {2} dx \}

{\ displaystyle P (x ', x' + dx ') = | \ psi _ {p'} (x ') | ^ {2} dx = | N | ^ {2} dx \}

cu condiția ca probabilitatea totală să fie normalizată la una.

Normalizarea statelor proprii ale impulsului

În ceea ce privește normalizarea statelor proprii $|p'\rangle$ ${\ displaystyle | p '\ rangle}$ ${\ displaystyle | p '\ rangle}$ impulsul trebuie rezolvat:

\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{p'}^{*}(x')\psi _{p'}(x'')dp'=1

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {p '} ^ {*} (x') \ psi _ {p '} (x' ') dp' = 1}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi _ {p '} ^ {*} (x') \ psi _ {p '} (x' ') dp' = 1}

acesta este:

|N|^{2}\int dp'\,e^{{\frac {i}{\hbar }}p'(x'-x'')}=2\pi \hbar |N|^{2}\delta (x'-x'')

{\ displaystyle | N | ^ {2} \ int dp '\, e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} p' (x'-x '')} = 2 \ pi \ hbar | N | ^ {2} \ delta (x'-x '')}

{\ displaystyle | N | ^ {2} \ int dp '\, e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} p' (x'-x '')} = 2 \ pi \ hbar | N | ^ {2} \ delta (x'-x '')}

de la care:

N={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}

{\ displaystyle N = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}}

{\ displaystyle N = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}}

prin urmare, funcțiile proprii normalizate ale impulsului sunt:

\psi _{p'}(x')=\langle x'|p'\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}p'x'}

{\ displaystyle \ psi _ {p '} (x') = \ langle x '| p' \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} e ^ {{\ frac { i} {\ hbar}} p'x '}}

{\ displaystyle \ psi _ {p '} (x') = \ langle x '| p' \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} e ^ {{\ frac { i} {\ hbar}} p'x '}}

unde funcția delta Dirac apare similară cu cazul operatorului de poziție . Odată cu introducerea funcției delta Dirac, stările proprii ale impulsului sunt normalizate pur și simplu:

\langle p''|p'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{p''}^{*}(x')\phi _{p'}(x')dx'=\delta (p''-p')

{\ displaystyle \ langle p '' | p '\ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi _ {p' '} ^ {*} (x') \ phi _ {p '} (x ') dx' = \ delta (p '' - p ')}

{\ displaystyle \ langle p '' | p '\ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ phi _ {p' '} ^ {*} (x') \ phi _ {p '} (x ') dx' = \ delta (p '' - p ')}

Funcțiile valurilor în spațiul impulsurilor

Să luăm în considerare dezvoltarea unui vector de stare generic $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ în stările proprii ale impulsului:

|\alpha \rangle =\int dp'\,|p'\rangle \langle p'|\alpha \rangle

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ int dp '\, | p' \ rangle \ langle p '| \ alpha \ rangle}

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ int dp '\, | p' \ rangle \ langle p '| \ alpha \ rangle}

unde expresia care amintește cumva coeficienții dezvoltării în serie a funcțiilor proprii:

\langle p'|\alpha \rangle =\phi _{\alpha }(p')

{\ displaystyle \ langle p '| \ alpha \ rangle = \ phi _ {\ alpha} (p')}

{\ displaystyle \ langle p '| \ alpha \ rangle = \ phi _ {\ alpha} (p')}

se numește funcție de undă în reprezentarea impulsurilor. Reprezentările coordonatelor și impulsului sunt legate de transformata Fourier . Sensul fizic al funcției de undă în reprezentarea impulsurilor este acela al amplitudinii probabilității astfel încât:

P(p',p'+dp')=|\langle p'|\alpha \rangle |^{2}dp'=|\phi _{\alpha }(p')|^{2}dp'

{\ displaystyle P (p ', p' + dp ') = | \ langle p' | \ alpha \ rangle | ^ {2} dp '= | \ phi _ {\ alpha} (p') | ^ {2} dp '}

{\ displaystyle P (p ', p' + dp ') = | \ langle p' | \ alpha \ rangle | ^ {2} dp '= | \ phi _ {\ alpha} (p') | ^ {2} dp '}

reprezintă probabilitatea ca particula să aibă impuls în interval $d p^{'}$ ${\ displaystyle dp '}$ ${\ displaystyle dp '}$ , dacă această probabilitate este corect normalizată:

\langle \alpha |\alpha \rangle =\int dp'\,\langle \alpha |p'\rangle \langle p'|\alpha \rangle =\int dp'\,|\langle p'|\alpha \rangle |^{2}=\int dp'\,|\phi _{\alpha }(p')|^{2}=1

{\ displaystyle \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = \ int dp '\, \ langle \ alpha | p' \ rangle \ langle p '| \ alpha \ rangle = \ int dp' \, | \ langle p '| \ alpha \ rangle | ^ {2} = \ int dp '\, | \ phi _ {\ alpha} (p') | ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle = \ int dp '\, \ langle \ alpha | p' \ rangle \ langle p '| \ alpha \ rangle = \ int dp' \, | \ langle p '| \ alpha \ rangle | ^ {2} = \ int dp '\, | \ phi _ {\ alpha} (p') | ^ {2} = 1}

Funcția de undă unidimensională reprezentativă pentru stat $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ în spațiul impulsurilor este transformata Fourier a funcției de undă $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ :

\langle p'|\alpha \rangle =\phi _{\alpha }(p')=\int dx'\langle p'|x'\rangle \langle x'|\alpha \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dx'\,e^{-ip'x'/\hbar }\psi _{\alpha }(x')

{\ displaystyle \ langle p '| \ alpha \ rangle = \ phi _ {\ alpha} (p') = \ int dx '\ langle p' | x '\ rangle \ langle x' | \ alpha \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dx '\, e ^ {- ip'x' / \ hbar} \ psi _ {\ alpha} (x ')}

{\ displaystyle \ langle p '| \ alpha \ rangle = \ phi _ {\ alpha} (p') = \ int dx '\ langle p' | x '\ rangle \ langle x' | \ alpha \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dx '\, e ^ {- ip'x' / \ hbar} \ psi _ {\ alpha} (x ')}

Poziționați operatorul în spațiul pulsului

Același subiect în detaliu: Poziția operator .

În mod similar cu spațiul de poziții atunci când reprezentăm funcția de undă în spațiul de poziții putem descrie complet toate mărimile fizice ale sistemului din acel spațiu, de asemenea, în spațiul impulsurilor putem descrie toate mărimile fizice. Valoarea medie a operatorului de impuls (într-o dimensiune pentru simplitate) poate fi găsită în setul de funcții proprii ale operatorului de impuls:

\langle p\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t)p\phi (p,t)

{\ displaystyle \ langle p \ rangle = \ int dp \, \ phi ^ {*} (p, t) p \ phi (p, t)}

{\ displaystyle \ langle p \ rangle = \ int dp \, \ phi ^ {*} (p, t) p \ phi (p, t)}

Căutăm valoarea medie a operatorului de poziție în spațiul de coordonate, folosind relația

\langle x\rangle =\int dx'\,\psi ^{*}(x',t)x'\psi (x',t)

{\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int dx '\, \ psi ^ {*} (x', t) x '\ psi (x', t)}

{\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int dx '\, \ psi ^ {*} (x', t) x '\ psi (x', t)}

Înlocuim un $\psi ^{*}(x',t)$ ${\ displaystyle \ psi ^ {*} (x ', t)}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {*} (x ', t)}$ expresia sa explicită:

\psi ^{*}(x')={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp'e^{-ip'\cdot x'/\hbar }\phi ^{*}(p')

{\ displaystyle \ psi ^ {*} (x ') = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dp'e ^ {- ip' \ cdot x '/ \ hbar} \ phi ^ {*} (p ')}

{\ displaystyle \ psi ^ {*} (x ') = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dp'e ^ {- ip' \ cdot x '/ \ hbar} \ phi ^ {*} (p ')}

și obținem:

\langle x\rangle =\int dp'\phi ^{*}(p',t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial p'}}\phi (p',t)

{\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int dp '\ phi ^ {*} (p', t) i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p '}} \ phi (p', t) }

{\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int dp '\ phi ^ {*} (p', t) i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p '}} \ phi (p', t) }

acesta este:

\langle \beta |x|\alpha \rangle =\int dx'\langle \beta |p'\rangle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial p'}}\langle p'|\alpha \rangle \right)=\int dp'\,\phi _{\beta }^{*}(p')i\hbar {\frac {\partial }{\partial p'}}\phi _{\alpha }(p')

{\ displaystyle \ langle \ beta | x | \ alpha \ rangle = \ int dx '\ langle \ beta | p' \ rangle \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p '}} \ langle p '| \ alpha \ rangle \ right) = \ int dp' \, \ phi _ {\ beta} ^ {*} (p ') i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p'}} \ phi _ {\ alpha} (p ')}

{\ displaystyle \ langle \ beta | x | \ alpha \ rangle = \ int dx '\ langle \ beta | p' \ rangle \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p '}} \ langle p '| \ alpha \ rangle \ right) = \ int dp' \, \ phi _ {\ beta} ^ {*} (p ') i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p'}} \ phi _ {\ alpha} (p ')}

proiectând pe o stare proprie a impulsului:

\langle p'|x|\alpha \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p'}}\langle p'|\alpha \rangle

{\ displaystyle \ langle p '| x | \ alpha \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p'}} \ langle p '| \ alpha \ rangle}

{\ displaystyle \ langle p '| x | \ alpha \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p'}} \ langle p '| \ alpha \ rangle}

sau:

x=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}

{\ displaystyle x = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p}}}

{\ displaystyle x = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p}}}

în cazul unidimensional e

{\vec {x}}=i\hbar {\vec {\nabla }}_{p}

{\ displaystyle {\ vec {x}} = i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {p}}

{\ displaystyle {\ vec {x}} = i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {p}}

în cazul tridimensional. În general, orice funcție a poziției în spațiul pulsului are o valoare medie care poate fi calculată ca:

\langle f(x)\rangle =\int dp'\,\phi ^{*}(p',t)f\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial p'}}\right)\phi (p',t)

{\ displaystyle \ langle f (x) \ rangle = \ int dp '\, \ phi ^ {*} (p', t) f \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p '} } \ dreapta) \ phi (p ', t)}

{\ displaystyle \ langle f (x) \ rangle = \ int dp '\, \ phi ^ {*} (p', t) f \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial p '} } \ dreapta) \ phi (p ', t)}

Caz tridimensional

Cazul tridimensional este o extensie a conceptelor văzute mai sus. Ecuația valorii proprii pentru operatorul de impulsuri în reprezentarea impulsurilor:

{\vec {p}}|{\vec {p}}'\rangle =p'|{\vec {p}}'\rangle

{\ displaystyle {\ vec {p}} | {\ vec {p}} '\ rangle = p' | {\ vec {p}} '\ rangle}

{\ displaystyle {\ vec {p}} | {\ vec {p}} '\ rangle = p' | {\ vec {p}} '\ rangle}

Fiecare vector de stare poate fi reprezentat în cazul tridimensional ca:

|\alpha \rangle =\int d^{3}{\vec {p}}'\,|{\vec {p}}'\rangle \langle {\vec {p}}'|\alpha \rangle

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ int d ^ {3} {\ vec {p}} '\, | {\ vec {p}}' \ rangle \ langle {\ vec {p}} '| \ alpha \ rangle}

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ int d ^ {3} {\ vec {p}} '\, | {\ vec {p}}' \ rangle \ langle {\ vec {p}} '| \ alpha \ rangle}

cu o integrală extinsă la volum $d^{3}{\vec {p}}'$ ${\ displaystyle d ^ {3} {\ vec {p}} '}$ ${\ displaystyle d ^ {3} {\ vec {p}} '}$ . Componentele comutatorului de impulsuri:

[p_{i},p_{j}]=0

{\ displaystyle [p_ {i}, p_ {j}] = 0}

{\ displaystyle [p_ {i}, p_ {j}] = 0}

sunt deci măsurabile simultan.

Condițiile de normalizare a statelor proprii de poziție sunt reprezentate:

\langle {\vec {p}}'|{\vec {p}}''\rangle =\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}}'')

{\ displaystyle \ langle {\ vec {p}} '| {\ vec {p}}' '\ rangle = \ delta ^ {3} ({\ vec {p}}' - {\ vec {p}} ' ')}

{\ displaystyle \ langle {\ vec {p}} '| {\ vec {p}}' '\ rangle = \ delta ^ {3} ({\ vec {p}}' - {\ vec {p}} ' ')}

unde delta Dirac este introdusă formal ca:

\delta ^{3}({\vec {p}}'-{\vec {p}}'')=\delta (p_{x}'-p_{x}'')\delta (p_{y}'-p_{y}'')\delta (p_{z}'-p_{z}'')

{\ displaystyle \ delta ^ {3} ({\ vec {p}} '- {\ vec {p}}' ') = \ delta (p_ {x}' - p_ {x} '') \ delta (p_ {y} '- p_ {y}' ') \ delta (p_ {z}' - p_ {z} '')}

{\ displaystyle \ delta ^ {3} ({\ vec {p}} '- {\ vec {p}}' ') = \ delta (p_ {x}' - p_ {x} '') \ delta (p_ {y} '- p_ {y}' ') \ delta (p_ {z}' - p_ {z} '')}

Funcția de undă reprezentativă a unui stat $|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ se poate scrie:

\phi _{\alpha }({\vec {p}}')={\frac {1}{\sqrt {(2\pi \hbar )^{3}}}}\int d^{3}{\vec {x}}'e^{-i{\vec {p}}'\cdot {\vec {x}}'/\hbar }\psi _{\alpha }({\vec {x}}')

{\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} ({\ vec {p}} ') = {\ frac {1} {\ sqrt {(2 \ pi \ hbar) ^ {3}}}} \ int d ^ { 3} {\ vec {x}} 'e ^ {- i {\ vec {p}}' \ cdot {\ vec {x}} '/ \ hbar} \ psi _ {\ alpha} ({\ vec {x }} ')}

{\ displaystyle \ phi _ {\ alpha} ({\ vec {p}} ') = {\ frac {1} {\ sqrt {(2 \ pi \ hbar) ^ {3}}}} \ int d ^ { 3} {\ vec {x}} 'e ^ {- i {\ vec {p}}' \ cdot {\ vec {x}} '/ \ hbar} \ psi _ {\ alpha} ({\ vec {x }} ')}

Notă

^ A se vedea notele de curs 1 ale lui Robert Littlejohn pentru un tratament matematic riguros al cazului de spin nul. A se vedea notele de curs 4 de Robert Littlejohn pentru cazul general.
^ Aceeași concluzie poate fi dedusă observând că expresia lui $T(\varepsilon )$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$
$T(dx)=1+\varepsilon {d \over dx}$ ${\ displaystyle T (dx) = 1 + \ varepsilon {d \ over dx}}$ ${\ displaystyle T (dx) = 1 + \ varepsilon {d \ over dx}}$
este formal identic cu expresia funcției generatoare
${\mathcal {F}}(x,p')=xp'+pdx$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x, p ') = xp' + pdx}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x, p ') = xp' + pdx}$
a transformării canonice
$x'=x+dx\$ ${\ displaystyle x '= x + dx \}$ ${\ displaystyle x '= x + dx \}$
$p'=p\$ ${\ displaystyle p '= p \}$ ${\ displaystyle p '= p \}$
care reprezintă traducerea infinitesimală, fiind $X, p^{'}$ ${\ displaystyle x, p '}$ ${\ displaystyle x, p '}$ funcția generatoare a transformării identice, unde $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ sunt poziția și respectiv impulsul.

Bibliografie

Jun J. Sakurai și Jim Napolitano, Mecanica cuantică modernă , Bologna, Zanichelli, 2014, ISBN 978-88-08-26656-9 .
Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic , Mecanica cuantică, teoria non-relativistă , Roma, Editori Riuniti, 2004, ISBN 978-88-35-95606-8 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] A se vedea notele de curs 1 ale lui Robert Littlejohn pentru un tratament matematic riguros al cazului de spin nul. A se vedea notele de curs 4 de Robert Littlejohn pentru cazul general.

[2] Aceeași concluzie poate fi dedusă observând că expresia lui $T(\varepsilon )$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle T (\ varepsilon)}$
$T(dx)=1+\varepsilon {d \over dx}$ ${\ displaystyle T (dx) = 1 + \ varepsilon {d \ over dx}}$ ${\ displaystyle T (dx) = 1 + \ varepsilon {d \ over dx}}$
este formal identic cu expresia funcției generatoare
${\mathcal {F}}(x,p')=xp'+pdx$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x, p ') = xp' + pdx}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x, p ') = xp' + pdx}$
a transformării canonice
$x'=x+dx\$ ${\ displaystyle x '= x + dx \}$ ${\ displaystyle x '= x + dx \}$
$p'=p\$ ${\ displaystyle p '= p \}$ ${\ displaystyle p '= p \}$
care reprezintă traducerea infinitesimală, fiind $X, p^{'}$ ${\ displaystyle x, p '}$ ${\ displaystyle x, p '}$ funcția generatoare a transformării identice, unde $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ sunt poziția și respectiv impulsul.

[1]

[2]