Operator de impuls unghiular

Operatorul momentului unghiular (numit și moment angular orbital ) este analogul cuantic al momentului unghiular al mecanicii clasice , adică momentul impulsului . Este generatorul de rotații în spațiu.

Definiție

Momentul unghiular este momentul impulsului. Prin urmare, este definit ca:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

unde este $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ este produsul vector . Clasic are componente carteziene :

{\begin{cases}L_{x}=yp_{z}-zp_{y}\\L_{y}=zp_{x}-xp_{z}\\L_{z}=xp_{y}-yp_{x}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} L_ {x} = yp_ {z} -zp_ {y} \\ L_ {y} = zp_ {x} -xp_ {z} \\ L_ {z} = xp_ {y} -yp_ {x} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} L_ {x} = yp_ {z} -zp_ {y} \\ L_ {y} = zp_ {x} -xp_ {z} \\ L_ {z} = xp_ {y} -yp_ {x} \ end {cases}}}

În mecanica cuantică, momentul unghiular este reprezentat de operatorul dat de:

L_{x}=-i\hbar \left(y{\partial  \over \partial z}-z{\partial  \over \partial y}\right)

{\ displaystyle L_ {x} = - i \ hbar \ left (y {\ partial \ over \ partial z} -z {\ partial \ over \ partial y} \ right)}

{\ displaystyle L_ {x} = - i \ hbar \ left (y {\ partial \ over \ partial z} -z {\ partial \ over \ partial y} \ right)}

L_{y}=-i\hbar \left(z{\partial  \over \partial x}-x{\partial  \over \partial z}\right)

{\ displaystyle L_ {y} = - i \ hbar \ left (z {\ partial \ over \ partial x} -x {\ partial \ over \ partial z} \ right)}

{\ displaystyle L_ {y} = - i \ hbar \ left (z {\ partial \ over \ partial x} -x {\ partial \ over \ partial z} \ right)}

L_{z}=-i\hbar \left(x{\partial  \over \partial y}-y{\partial  \over \partial x}\right)

{\ displaystyle L_ {z} = - i \ hbar \ left (x {\ partial \ over \ partial y} -y {\ partial \ over \ partial x} \ right)}

{\ displaystyle L_ {z} = - i \ hbar \ left (x {\ partial \ over \ partial y} -y {\ partial \ over \ partial x} \ right)}

sau rescrierea componentelor carteziene clasice folosind operatorul de impuls :

\mathbf {p} =-i\hbar \nabla

{\ displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}

scrise în baza coordonatelor.

Rotațiile

În mecanica clasică o rotație a unghiului $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , în jurul unei axe (de exemplu z ) este descris de o matrice ortogonală :

R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {z} (\ alpha) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {z} (\ alpha) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

în mod similar pentru celelalte axe. În general, o rotație în spațiu este descrisă prin compoziția a trei rotații simple pe axe:

R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \beta \cos \gamma \\-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma - \ sin \ alpha \ sin \ gamma & \ sin \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ gamma & - \ sin \ beta \ cos \ gamma \\ - \ cos \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma & - \ sin \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma & \ sin \ beta \ sin \ gamma \\\ cos \ alpha \ sin \ beta & \ sin \ alpha \ sin \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma - \ sin \ alpha \ sin \ gamma & \ sin \ alpha \ cos \ beta \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ gamma & - \ sin \ beta \ cos \ gamma \\ - \ cos \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma & - \ sin \ alpha \ cos \ beta \ sin \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ gamma & \ sin \ beta \ sin \ gamma \\\ cos \ alpha \ sin \ beta & \ sin \ alpha \ sin \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}

Matricea $R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ ${\ displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma)}$ ${\ displaystyle R_ {xyz} (\ alpha, \ beta, \ gamma)}$ este o matrice specială reală și ortogonală, adică

R=R^{*}\quad ;\quad R^{T}=R^{-1}\quad ;\quad \det R=1

{\ displaystyle R = R ^ {*} \ quad; \ quad R ^ {T} = R ^ {- 1} \ quad; \ quad \ det R = 1}

{\ displaystyle R = R ^ {*} \ quad; \ quad R ^ {T} = R ^ {- 1} \ quad; \ quad \ det R = 1}

.

Rotațiile infinitezimale

Să luăm în considerare rotațiile infinitezimale ale unui unghi $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ pe fiecare dintre cele trei axe:

R_{z}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon &0\\\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {z} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon & 0 \\\ varepsilon & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {z} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon & 0 \\\ varepsilon & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\0&\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\ 0 & \ varepsilon & 1- {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\ 0 & \ varepsilon & 1- {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\0&1&0\\\varepsilon &0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \\ 0 & 1 & 0 \\ \ varepsilon & 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \\ 0 & 1 & 0 \\ \ varepsilon & 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} \ end {pmatrix}}}

adică pentru unghiurile infinitezimale pe care le-am dezvoltat în serii de putere. Acum să compunem rotațiile x, y:

R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\-\varepsilon ^{2}&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \ \ - \ varepsilon ^ {2} & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & 0 & - \ varepsilon \ \ - \ varepsilon ^ {2} & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

Și

R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon ^{2}&-\varepsilon \\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon ^ {2} & - \ varepsilon \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon ^ {2} & - \ varepsilon \\ 0 & 1 - {\ frac {\ varepsilon ^ {2}} {2}} & - \ varepsilon \\\ varepsilon & \ varepsilon & 1- \ varepsilon ^ {2} \ end {pmatrix}}}

Să vedem comutatorul acestor două cantități:

R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )-R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}0&-\varepsilon ^{2}&0\\\varepsilon ^{2}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=R_{z}(\varepsilon ^{2})-{\hat {I}}

{\ displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) -R_ {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ varepsilon ^ {2} & 0 \\\ varepsilon ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} = R_ {z} (\ varepsilon ^ {2}) - {\ hat {I}}}

{\ displaystyle R_ {y} (\ varepsilon) \ cdot R_ {x} (\ varepsilon) -R_ {x} (\ varepsilon) \ cdot R_ {y} (\ varepsilon) = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ varepsilon ^ {2} & 0 \\\ varepsilon ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} = R_ {z} (\ varepsilon ^ {2}) - {\ hat {I}}}

Ei bine, componentele momentelor unghiulare pe diferite axe nu fac naveta.

Momentul unghiular ca generator de rotații în spațiu

De sine ${\hat {R}}_{z}(\alpha )$ ${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha)}$ este operatorul de rotație în jurul axei z și îl aplicăm unei funcții de undă $\psi (x,y,z)$ ${\ displaystyle \ psi (x, y, z)}$ $\ psi (x, y, z)$ noi obținem:

{\hat {R}}_{z}(\alpha )\psi (x,y,z)=\psi (x\cos \alpha +y\sin \alpha ,-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,z)

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha) \ psi (x, y, z) = \ psi (x \ cos \ alpha + y \ sin \ alpha, -x \ sin \ alpha + y \ cos \ alpha, z)}

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ alpha) \ psi (x, y, z) = \ psi (x \ cos \ alpha + y \ sin \ alpha, -x \ sin \ alpha + y \ cos \ alpha, z)}

Considerând în schimb o rotație infinitesimală, de exemplu de-a lungul axei z:

{\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \psi (x+\varepsilon y,-\varepsilon x+y,z)\simeq \psi (x,y,z)+\varepsilon \left(y{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-x{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ psi (x + \ varepsilon y, - \ varepsilon x + y, z) \ simeq \ psi (x, y, z) + \ varepsilon \ left (y {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} - x {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} \ right) }

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ psi (x + \ varepsilon y, - \ varepsilon x + y, z) \ simeq \ psi (x, y, z) + \ varepsilon \ left (y {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} - x {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} \ right) }

categoric:

{\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \left({\hat {I}}-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {L}}_{z}\right)\psi (x,y,z)

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ left ({\ hat {I}} - {\ frac {i} {\ hbar} } \ varepsilon {\ hat {L}} _ {z} \ right) \ psi (x, y, z)}

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {z} (\ varepsilon) \ psi (x, y, z) \ simeq \ left ({\ hat {I}} - {\ frac {i} {\ hbar} } \ varepsilon {\ hat {L}} _ {z} \ right) \ psi (x, y, z)}

Atunci operatorul de rotație infinitesimal este tocmai factorul dintre paranteze care, după cum putem vedea, conține componenta de-a lungul axei ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ a impulsului unghiular, deci operatorul ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ este generatorul de rotație în jurul axei ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ . Deoarece o rotație finită poate fi obținută ca suma a $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ rotații infinitezimale: $d\alpha ={\frac {\alpha }{N}}$ ${\ displaystyle d \ alpha = {\ frac {\ alpha} {N}}}$ ${\ displaystyle d \ alpha = {\ frac {\ alpha} {N}}}$ , asa de:

\psi (\mathbf {r} +d\mathbf {r} )=\left({\hat {I}}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\alpha }{N}}{\hat {\mathbf {L} }}\right)^{N}\psi (\mathbf {r} )

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} + d \ mathbf {r}) = \ left ({\ hat {I}} + {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {\ alpha} { N}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right) ^ {N} \ psi (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} + d \ mathbf {r}) = \ left ({\ hat {I}} + {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {\ alpha} { N}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right) ^ {N} \ psi (\ mathbf {r})}

unde am folosit notația tridimensională. Facem limita $N\to \infty$ ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ $N \ to \ infty$ a acestei expresii:

\psi (\mathbf {r} ')=\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\psi (\mathbf {r} )

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} ') = \ exp {\ left (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} \ psi (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} ') = \ exp {\ left (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} \ psi (\ mathbf {r})}

Pentru a confirma acest lucru, teorema lui Noether pentru Lagrangian afirmă că pentru fiecare simetrie a Lagrangianului, în acest caz invarianța prin rotație față de o axă, de exemplu axa j , există o cantitate conservată egală cu

Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\delta q^{j}

{\ displaystyle Q ^ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} \ delta q ^ {j}}

{\ displaystyle Q ^ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} ^ {i}}} \ delta q ^ {j}}

Această cantitate conservată generează transformarea responsabilă de simetrie. În cazul unei rotații, transformarea este

\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\delta \mathbf {x}

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ longrightarrow \ mathbf {x '} = \ mathbf {x} + \ delta \ mathbf {x}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ longrightarrow \ mathbf {x '} = \ mathbf {x} + \ delta \ mathbf {x}}

și avem asta

\delta \mathbf {x^{j}} ={-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=\delta q

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {x ^ {j}} = {- \ varepsilon x ^ {k} \ choose \ varepsilon x ^ {i}} = \ delta q}

{\ displaystyle \ delta \ mathbf {x ^ {j}} = {- \ varepsilon x ^ {k} \ choose \ varepsilon x ^ {i}} = \ delta q}

prin urmare:

Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}\delta x^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}{-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=-p^{i}\varepsilon x^{k}+p^{k}\varepsilon x^{i}=\varepsilon (x^{i}p^{k}-x^{k}p^{i})=\varepsilon L^{j}\

{\ displaystyle Q ^ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {i}}} \ delta x ^ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {i}}} {- \ varepsilon x ^ {k} \ choose \ varepsilon x ^ {i}} = - p ^ {i} \ varepsilon x ^ {k} + p ^ {k} \ varepsilon x ^ {i} = \ varepsilon (x ^ {i} p ^ {k} -x ^ {k} p ^ {i}) = \ varepsilon L ^ {j} \}

{\ displaystyle Q ^ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {i}}} \ delta x ^ {j} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {i}}} {- \ varepsilon x ^ {k} \ choose \ varepsilon x ^ {i}} = - p ^ {i} \ varepsilon x ^ {k} + p ^ {k} \ varepsilon x ^ {i} = \ varepsilon (x ^ {i} p ^ {k} -x ^ {k} p ^ {i}) = \ varepsilon L ^ {j} \}

Proprietățile impulsului unghiular

Pe baza proprietăților rotațiilor în spațiu, operatorul de rotație

\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}

{\ displaystyle \ exp {\ left (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)}}

{\ displaystyle \ exp {\ left (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)}}

trebuie să aibă proprietatea de a reproduce aceeași rotație prin rotații identitare, adică $\alpha \to 0$ ${\ displaystyle \ alpha \ to 0}$ ${\ displaystyle \ alpha \ to 0}$ :

\lim _{\alpha \to 0}\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ exp {\ left (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} = {\ pălărie {I}}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ exp {\ left (\ alpha {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} = {\ pălărie {I}}}

în plus, următoarele rotații trebuie să poată compune:

\exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(\alpha _{2}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}=\exp {\left[(\alpha _{1}+\alpha _{2}){\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right]}

{\ displaystyle \ exp {\ left (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} \ exp {\ left (\ alpha _ {2} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} = \ exp {\ left [(\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} ) {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right]}}

{\ displaystyle \ exp {\ left (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} \ exp {\ left (\ alpha _ {2} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} = \ exp {\ left [(\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} ) {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right]}}

Mai mult, aplicând o rotație directă și inversă a aceluiași unghi, trebuie să reveniți la starea inițială:

\exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(-\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}

{\ displaystyle \ exp {\ left (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} \ exp {\ left (- \ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} = {\ hat {I}}}

{\ displaystyle \ exp {\ left (\ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} \ exp {\ left (- \ alpha _ {1} {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {L}}} \ right)} = {\ hat {I}}}

Proprietăți de comutare

Același subiect în detaliu: Comutator (matematică) .

Comutatorul dintre două componente ale impulsului unghiular este după cum urmează:

{\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}{\hat {z}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {p}}_{x}]+{\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {z}}[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {y}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}{\hat {x}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})=i\hbar L_{z}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ right] & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y }}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y}}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat { z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {x }} {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ hat {y}} {\ hat {z}} [{\ hat {p} } _ {z}, {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {z}} [{\ hat {y}}, {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + [ {\ hat {y}}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {x} {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {z}} {\ hat { x}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {z}] + {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, { \ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {x}} [{\ hat {z}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} + [{\ hat {z}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ h la {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {x}} [{\ hat { z}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = i \ hbar ({\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {x}) = i \ hbar L_ {z} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y} \ right] & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x} - {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y }}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] \\ & = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x}] + [{\ hat {y}}, {\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat { z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {z}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {x }} {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ hat {y}} {\ hat {z}} [{\ hat {p} } _ {z}, {\ hat {p}} _ {x}] + {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {z}} [{\ hat {y}}, {\ hat {p}} _ {x}] {\ hat {p}} _ {z} + [ {\ hat {y}}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {x} {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {z}} {\ hat { x}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {p}} _ {z}] + {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, { \ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} + {\ hat {x}} [{\ hat {z}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} + [{\ hat {z}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {z} {\ hat {p}} _ {y} \\ & = {\ h la {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {x}} [{\ hat { z}}, {\ hat {p}} _ {z}] {\ hat {p}} _ {y} \\ & = i \ hbar ({\ hat {x}} {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {x}) = i \ hbar L_ {z} \\\ end {align}}}

unde se comută între componentele ${\hat {r}}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}}}$ ${\ hat r}$ Și ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ hat p}$ toate sunt nule, cu excepția cazului $[{\hat {j}},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar$ ${\ displaystyle [{\ hat {j}}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar}$ ${\ displaystyle [{\ hat {j}}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar}$ cu $j=x,y,z$ ${\ displaystyle j = x, y, z}$ ${\ displaystyle j = x, y, z}$ .

Prin analogie îi găsim pe ceilalți, rezumând:

[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

[{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {L}} _ {z}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {L}} _ {z}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x}}

[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {y}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] = i \ hbar {\ hat {L}} _ {y}}

Operatorul poate fi construit ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ , acesta este operatorul:

{\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}&=({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})^{2}=[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{x}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{y}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{z}]^{2}\\&={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} & = ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}} }) ^ {2} = [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {x}] ^ {2} + [({\ hat { \ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {y}] ^ {2} + [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat { \ mathbf {p}}}) _ {z}] ^ {2} \\ & = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ { 2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} & = ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}} }) ^ {2} = [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {x}] ^ {2} + [({\ hat { \ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}}}) _ {y}] ^ {2} + [({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat { \ mathbf {p}}}) _ {z}] ^ {2} \\ & = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ { 2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \ end {align}}}

Acest operator comută cu componentele impulsului unghiular, de fapt:

{\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\right]&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&={\hat {L}}_{x}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]{\hat {L}}_{y}\\&=i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}\\&=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} \ right] & = [{\ hat {L }} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {y} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = {\ hat {L}} _ {x} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {x}] {\ hat {L}} _ {x} + {\ hat {L}} _ {y} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] {\ hat {L}} _ {y} \ \ & = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L}} _ {y} + i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L }} _ {y} \\ & = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} \ right] & = [{\ hat {L }} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {y} ^ {2}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}] \\ & = {\ hat {L}} _ {x} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {x}] + [{\ hat {L}} _ {z }, {\ hat {L}} _ {x}] {\ hat {L}} _ {x} + {\ hat {L}} _ {y} [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] + [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {y}] {\ hat {L}} _ {y} \ \ & = i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L}} _ {y} + i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {y} {\ hat {L}} _ {x} -i \ hbar {\ hat {L}} _ {x} {\ hat {L }} _ {y} \\ & = 0 \ end {align}}}

și în mod similar:

[{\hat {L}}_{x},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

[{\hat {L}}_{y},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}] = 0}

adică componentele impulsului unghiular navetează cu operatorul ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ .

Să vedem cum se comportă momentele unghiulare cu operatorii de poziție și impuls .

[{\hat {L}}_{x},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}=0

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {x}} ] - [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {x}}] - [{\ hat {z}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {x}} ] - [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {x}}] - [{\ hat {z}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {x}}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {x}}] {\ hat {p}} _ {y} = 0}

[{\hat {L}}_{x},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]+[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}=-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {y}} ] - [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {y}}] - [{\ hat {z}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = i \ hbar {\ hat {z}}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {y}} ] - [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {y}}] - [{\ hat {z}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {y}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {y}}] = i \ hbar {\ hat {z}}}

[{\hat {L}}_{x},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]+[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}=-{\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} ] - [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {z}}] - [{\ hat {z}}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] = - i \ hbar {\ hat {y}}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z} - {\ hat {z }} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = [{\ hat {y}} {\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}} ] - [{\ hat {z}} {\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] = {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z} , {\ hat {z}}] - [{\ hat {z}}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {y} - {\ hat {z}} [{\ hat {p}} _ {y}, {\ hat {z}}] + [{\ hat {z}}, {\ hat {z}}] {\ hat {p}} _ {y} = - {\ hat {y}} [{\ hat {p}} _ {z}, {\ hat {z}}] = - i \ hbar {\ hat {y}}}

De asemenea ${\hat {L}}_{y}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {y}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {y}}$ Și ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ , în general, avem ca componenta impulsului unghiular pe o axă să comute numai cu coordonata acelei axe, în formă compactă:

[{\hat {L}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {x}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {x}} _ {k}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {x}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {x}} _ {k}}

unde este ${\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {j} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {j} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}$ Și $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ varepsilon_ {ijk}$ este simbolul Levi-Civita , care este egal cu +1 pentru permutațiile pare ale indicilor, -1 pentru permutațiile impare și 0 dacă doi indici sunt egali.

În ceea ce privește comutațiile cu momente, exact același lucru este adevărat:

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {p}} _ {k}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {p}} _ {k}}

Spectrul impulsului unghiular

Același subiect în detaliu: Spectru (matematică) .

Componentele momentului unghiular nu fac naveta între ele, ci toate navetează individual cu operatorul pătrat al momentului unghiular. Putem alege o singură componentă, pentru simplitate ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ . Ecuațiile valorii proprii sunt:

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l\rangle =a|l\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l \ rangle = a | l \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l \ rangle = a | l \ rangle}

{\hat {L}}_{z}|m\rangle =b|m\rangle

{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} | m \ rangle = b | m \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} | m \ rangle = b | m \ rangle}

De cand ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ comută cu ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ , au o bază comună a statelor proprii și, prin urmare, a statelor proprii $|l\rangle$ ${\ displaystyle | l \ rangle}$ ${\ displaystyle | l \ rangle}$ Și $|m\rangle$ ${\ displaystyle | m \ rangle}$ ${\ displaystyle | m \ rangle}$ coincid și sunt indicate cu $|l,m\rangle$ ${\ displaystyle | l, m \ rangle}$ ${\ displaystyle | l, m \ rangle}$ .

Trebuie să găsim care sunt valorile proprii $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , uneori notat cu $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , $l_{z}$ ${\ displaystyle l_ {z}}$ ${\ displaystyle l_ {z}}$ , sau cu) simultan cu acești operatori:

\left\{{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a|l,m\rangle \\{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =b|l,m\rangle \end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l, m \ rangle = a | l, m \ rangle \\ {\ hat {L} } _ {z} | l, m \ rangle = b | l, m \ rangle \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l, m \ rangle = a | l, m \ rangle \\ {\ hat {L} } _ {z} | l, m \ rangle = b | l, m \ rangle \ end {matrix}} \ right.}

Pentru a face acest lucru, trebuie introduși doi operatori, numiți operatori la scară sau operatori la scară :

{\hat {L}}_{\pm }={\hat {L}}_{x}\pm i{\hat {L}}_{y}

{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} = {\ hat {L}} _ {x} \ pm i {\ hat {L}} _ {y}}

{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} = {\ hat {L}} _ {x} \ pm i {\ hat {L}} _ {y}}

care sunt unul complexul conjugat al celuilalt și nu sunt hermitieni . Acești operatori au proprietățile:

[{\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}]=2\hbar {\hat {L}}_{z}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {+}, {\ hat {L}} _ {-}] = 2 \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {+}, {\ hat {L}} _ {-}] = 2 \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {L}}_{\pm }

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {L}} _ {\ pm}}

{\ displaystyle [{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {L}} _ {\ pm}}

[{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {L}}_{\pm }]=0

{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] = 0}

Operatorul ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ poate fi exprimat în termeni de ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ și operatori la scară:

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{+}{\hat {L}}_{-}+{\hat {L}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {L}}_{z}={\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {+} {\ hat {L}} _ {-} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} - \ hbar {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {L}} _ {-} {\ hat {L}} _ {+} + {\ hat {L }} _ {z} ^ {2} + \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {+} {\ hat {L}} _ {-} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} - \ hbar {\ hat {L}} _ {z} = {\ hat {L}} _ {-} {\ hat {L}} _ {+} + {\ hat {L }} _ {z} ^ {2} + \ hbar {\ hat {L}} _ {z}}

Pentru a vedea care este sensul ${\hat {L}}_{\pm }$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm}}$ , să vedem cum ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ acționează asupra statului ${\hat {L}}_{\pm }|l,l_{z}\rangle$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} | l, l_ {z} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm} | l, l_ {z} \ rangle}$ :

{\hat {L}}_{z}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)=\left([{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]+{\hat {L}}_{\pm }{\hat {L}}_{z}\right)|l,m\rangle =(b\pm \hbar )\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)

{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} \ left ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ right) = \ left ([{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] + {\ hat {L}} _ {\ pm} {\ hat {L}} _ {z} \ right) | l, m \ rangle = (b \ pm \ hbar) \ left ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ right)}

{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} \ left ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ right) = \ left ([{\ hat {L}} _ {z}, {\ hat {L}} _ {\ pm}] + {\ hat {L}} _ {\ pm} {\ hat {L}} _ {z} \ right) | l, m \ rangle = (b \ pm \ hbar) \ left ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ right)}

adică prin aplicarea ${\hat {L}}_{+}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {+}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {+}}$ , valoarea proprie a ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ crește cu $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , invers, aplicând ${\hat {L}}_{-}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {-}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {-}}$ , valoarea proprie a ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ este scăzut cu $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , de unde și numele operatorilor de scară. In schimb:

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)={\hat {L}}_{\pm }{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a{\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} \ left ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ right) = {\ hat {L}} _ {\ pm} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l, m \ rangle = a {\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} \ left ({\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle \ right) = {\ hat {L}} _ {\ pm} {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} | l, m \ rangle = a {\ hat {L}} _ {\ pm} | l, m \ rangle}

adică aplicarea operatorilor ${\hat {L}}_{\pm }$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {\ pm}}$ modifica valorile proprii ale ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ , dar nu de ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ .

Din motive evidente de proiecție, relația care leagă ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ și ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ Și:

\langle l,m|({\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2})|l,m\rangle =\langle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2}\rangle \geq 0

{\ displaystyle \ langle l, m | ({\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} - {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}) | l, m \ rangle = \ langle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} - {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \ rangle \ geq 0}

{\ displaystyle \ langle l, m | ({\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} - {\ hat {L}} _ {z} ^ {2}) | l, m \ rangle = \ langle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2} - {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \ rangle \ geq 0}

aceasta implică faptul că valorile proprii ale acestor operatori trebuie să satisfacă:

-a\leq b\leq a

{\ displaystyle -a \ leq b \ leq a}

{\ displaystyle -a \ leq b \ leq a}

adică valorile proprii ale proiecției momentului unghiular nu le pot depăși pe cele ale ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ : fizic aceasta înseamnă că b își ia valoarea maximă atunci când ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ coincide cu direcția axei z , deci proiecția acesteia ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ coincide cu ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ , atunci $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ . De aici și valoarea proprie a ${\hat {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}$ ${\ hat L} _ {z}$ este limitat mai jos și mai sus de valorile pe care le poate lua ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} ^ {2}}$ ${\ hat {{\ mathbf {L}}}} ^ {2}$ .

Lasa-i sa fie $b_{min}$ ${\ displaystyle b_ {min}}$ $b _ {{min}}$ valoarea minimă e $b_{max}$ ${\ displaystyle b_ {max}}$ $b _ {{max}}$ il valore massimo che può assumere ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ . Applicando successivamente gli operatori di scala ${\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}$ ${\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}$ ${\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}$ , si capisce che deve essere:

{\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0

{\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0

{\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0

{\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0

{\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0

{\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0

Ora applichiamo

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle

cioè:

a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)

a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)

a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)

Quindi l'autovalore di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ è $\hbar ^{2}a(a+1)$ $\hbar ^{2}a(a+1)$ $\hbar ^{2}a(a+1)$ , dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

-a\leq b\leq a

-a\leq b\leq a

-a\leq b\leq a

e anche qui b deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di b sono distanti $\hbar$ $\hbar$ $\hbar$ uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di $\hbar$ $\hbar$ $\hbar$ ), dove se k è un intero, fissato a , vi sono (2k+1) valori di b , cioè $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ $b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}$ per cui se a è intero lo è anche b e se a è semintero, lo è anche b . Si può dimostrare che gli autovalori a sono interi e quindi anche b sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}$ ${\hat {{\mathbf {L}}}}^{2}$ e ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat {L}}_{z}$ ${\hat L}_{z}$ :

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle

{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle

{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle

{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle

dove $l=0,1,\dots$ $l=0,1,\dots$ $l=0,1,\dots$ è il numero quantico orbitale ed $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ $m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}$ è il numero quantico magnetico.

Autofunzioni del momento angolare

Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzioni del momento angolare e Armoniche sferiche .

Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche . Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ . La sua rappresentazione spaziale è:

L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}

L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}

L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}

Mentre quella lungo $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è:

L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}

L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}

L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}

Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale $L^{2}$ $L^{2}$ $L^{2}$ e della sua componente lungo $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono: