Operator de impuls unghiular total

În mecanica cuantică , operatorul momentului unghiular total este responsabil pentru rotațiile în spațiu. Are o semnificație mai extinsă decât impulsul unghiular orbital ${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} = {\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}} = {\ hat {\ mathbf {r}}} \ times {\ hat {\ mathbf {p}}}}$ deoarece se generalizează și la momentul unghiular al spinului și mai ales este utilizat în compoziția operatorilor de moment unghiular , fiind valabil ca suma mai multor momente unghiulare și de diferite tipuri.

De asemenea, este posibil să se arate că impulsul unghiular total ${\hat {\mathbf {J} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}}$ este generatorul de rotații în spațiu.

În mod formal, impulsul unghiular total are aceleași reguli ca și impulsul unghiular orbital și rotirea, deci cu ${\hat {\mathbf {J} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}}$ puteți indica fie ${\hat {\mathbf {L} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {L}}}}$ , este ${\hat {\mathbf {S} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {S}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {S}}}}$ și, de asemenea, o compoziție de momente ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} + {\ hat {\ mathbf {S}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} + {\ hat {\ mathbf {S}}}}$ sau ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}_{1}+{\hat {\mathbf {L} }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {L}}} _ {2}}$ sau din nou ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {S} }}_{1}+{\hat {\mathbf {S} }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {2}}$ .

Proprietățile operatorului momentului unghiular total

Operatorul momentului unghiular total, similar cu impulsul unghiular orbital , generează rotații de-a lungul unei axe: funcția de undă $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ rotit de un unghi $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ în jurul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , devine:

\psi '(x)={\hat {R}}_{z}(\phi )\psi (x)=e^{i\phi J_{z}}\psi (x)

{\ displaystyle \ psi '(x) = {\ hat {R}} _ {z} (\ phi) \ psi (x) = e ^ {i \ phi J_ {z}} \ psi (x)}

{\ displaystyle \ psi '(x) = {\ hat {R}} _ {z} (\ phi) \ psi (x) = e ^ {i \ phi J_ {z}} \ psi (x)}

.

Pentru o rotație infinitesimală avem:

\psi '(x)=\psi (x)+id\phi J_{z}\psi (x)\

{\ displaystyle \ psi '(x) = \ psi (x) + id \ phi J_ {z} \ psi (x) \}

{\ displaystyle \ psi '(x) = \ psi (x) + id \ phi J_ {z} \ psi (x) \}

.

Proprietăți de comutare

Același subiect în detaliu: Comutator (matematică) .

Proprietățile de comutare pentru operatorul momentului unghiular total sunt:

[{\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y}]=i\hbar {\hat {J}}_{z}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {z}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {z}}

[{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}]=i\hbar {\hat {J}}_{x}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {x}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {x}}

[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{x}]=i\hbar {\hat {J}}_{y}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {x}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {y}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {x}] = i \ hbar {\ hat {J}} _ {y}}

,

unde este ${\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {J}} _ {z}}$ sunt proiecțiile momentului unghiular total de-a lungul axelor carteziene ; în formă compactă este posibil să scrieți:

[{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {k}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {k}}

,

unde este $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ varepsilon_ {ijk}$ este tensorul Levi-Civita .

Pornind de la momentul unghiular total, este posibil să se construiască operatorul ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2}}$ .

Acest operator comută cu componentele momentului unghiular total; intr-adevar:

[{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}

[{\hat {J}}_{x},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}

[{\hat {J}}_{y},{\hat {\mathbf {J} }}^{2}]=0

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}] = 0}

.

Comportamentul componentelor momentului unghiular total cu operatorii de poziție și impuls este relevant; în ceea ce privește operatorul de poziție, pot fi stabilite următoarele relații:

[{\hat {J}}_{x},{\hat {x}}]=0

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {x}}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {x}}] = 0}

[{\hat {J}}_{x},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {y}}] = i \ hbar {\ hat {z}}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {y}}] = i \ hbar {\ hat {z}}}

[{\hat {J}}_{x},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {z}}] = - i \ hbar {\ hat {y}}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {x}, {\ hat {z}}] = - i \ hbar {\ hat {y}}}

.

În mod similar, se pot obține relații analoage cu ${\hat {J}}_{y}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y}}$ și ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ; în general avem în vedere că componenta impulsului unghiular pe o axă navetează numai cu coordonata acelei axe. În formă compactă avem:

[{\hat {J}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {x}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {x}} _ {k}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {x}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {x}} _ {k}}

,

unde este ${\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {j} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {j} = ({\ hat {x}}, {\ hat {y}}, {\ hat {z}})}$ Și $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ varepsilon_ {ijk}$ este tensorul Levi-Civita, care este egal cu $+1$ ${\ displaystyle +1}$ $+1$ pentru permutări uniforme ale indicilor, $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ pentru permutări ciudate și dacă $i=j$ ${\ displaystyle i = j}$ ${\ displaystyle i = j}$ .

În ceea ce privește comutațiile cu impulsuri, exact același lucru este adevărat:

[{\hat {J}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {p}} _ {k}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {p}} _ {k}}

.

Spectrul operatorului momentului unghiular total

Același subiect în detaliu: Spectru (matematică) .

Am văzut că componentele momentului unghiular nu se deplasează între ele, ci toate se deplasează individual cu operatorul pătrat al momentului unghiular. Puteți alege o singură componentă (de exemplu ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ) care comută cu ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ; în acest fel se poate numi starea, care este un stat propriu al ambilor operatori $|j,j_{z}\rangle$ ${\ displaystyle | j, j_ {z} \ rangle}$ ${\ displaystyle | j, j_ {z} \ rangle}$ . Puteți afla care sunt valorile proprii $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ (uneori mai corect indicat cu $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ , $j_{z}$ ${\ displaystyle j_ {z}}$ ${\ displaystyle j_ {z}}$ , sau cu $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ , $m_{j}$ ${\ displaystyle m_ {j}}$ $m_ {j}$ ) simultan cu acești operatori:

{\begin{cases}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}a|j,m_{j}\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =\hbar b|j,m_{j}\rangle \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar ^ {2} a | j, m_ {j} \ rangle \\ {\ hat {J}} _ {z} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar b | j, m_ {j} \ rangle \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar ^ {2} a | j, m_ {j} \ rangle \\ {\ hat {J}} _ {z} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar b | j, m_ {j} \ rangle \ end {cases}}}

Pentru a face acest lucru, este necesar să se introducă doi operatori, numiți operatori de scară :

{\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} = {\ hat {J}} _ {x} \ pm i {\ hat {J}} _ {y}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} = {\ hat {J}} _ {x} \ pm i {\ hat {J}} _ {y}}

,

care sunt unul complexul conjugat al celuilalt și nu sunt hermitieni . Acești operatori au următoarele proprietăți:

[{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}]=2\hbar {\hat {J}}_{z}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-}] = 2 \ hbar {\ hat {J}} _ {z}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-}] = 2 \ hbar {\ hat {J}} _ {z}}

[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {J}} _ {\ pm}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {z}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = \ pm \ hbar {\ hat {J}} _ {\ pm}}

[{\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{\pm }]=0

{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {\ pm}] = 0}

.

Operatorul ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ poate fi exprimat în termeni de ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ și operatorii de scară ${\hat {J}}_{\pm }$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}}$ În felul următor:

{\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}\hbar

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} \ hbar}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z} \ hbar}

.

Dacă luați măsuri ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ pe stat ${\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle}$ primesti:

{\hat {J}}_{z}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar (b\pm 1)\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right) = \ hbar (b \ pm 1) \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right)}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right) = \ hbar (b \ pm 1) \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right)}

.

Punerea în aplicare ${\hat {J}}_{+}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}}$ valoarea proprie a ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ (acesta este $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ) crește cu $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ ; invers prin aplicarea ${\hat {J}}_{-}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {-}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {-}}$ , valoarea proprie este scăzută cu $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ , de unde și numele operatorilor de scară. În schimb, aplicând ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ avem:

{\hat {\mathbf {J} }}^{2}\left({\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle \right)=\hbar ^{2}a{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right) = \ hbar ^ { 2} a {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} \ left ({\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle \ right) = \ hbar ^ { 2} a {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle}

,

adică aplicarea operatorilor ${\hat {J}}_{\pm }$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm}}$ modifică valoarea proprie a ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ , dar nu de ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ .

Relația care leagă ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ Și ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ Și:

\langle j,m_{j}|\left({\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right)|j,m_{j}\rangle =\left\langle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}-{\hat {J}}_{z}^{2}\right\rangle \geq 0

{\ displaystyle \ langle j, m_ {j} | \ left ({\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ right) | j, m_ {j} \ rangle = \ left \ langle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ right \ rangle \ geq 0}

{\ displaystyle \ langle j, m_ {j} | \ left ({\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ right) | j, m_ {j} \ rangle = \ left \ langle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} - {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} \ right \ rangle \ geq 0}

.

Aceasta implică faptul că valorile proprii ale proiecției momentului unghiular total $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ nu le poate depăși pe cele ale ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ , acesta este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ :

-{\sqrt {a}}\leq b\leq {\sqrt {a}}

{\ displaystyle - {\ sqrt {a}} \ leq b \ leq {\ sqrt {a}}}

{\ displaystyle - {\ sqrt {a}} \ leq b \ leq {\ sqrt {a}}}

.

De aici și valoarea proprie a ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ este limitat mai jos și mai sus de valorile pe care le poate lua ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ . Locuri $b_{min}$ ${\ displaystyle b_ {min}}$ $b _ {{min}}$ valoarea minimă e $b_{max}$ ${\ displaystyle b_ {max}}$ $b _ {{max}}$ valoarea maximă pe care o poate lua ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ și, ulterior, aplicarea operatorilor de scară ${\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}, {\ hat {J}} _ {-}}$ , trebuie să fie că:

{\hat {J}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0\;\;

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+} | a, b_ {max} \ rangle = 0 \; \;}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+} | a, b_ {max} \ rangle = 0 \; \;}

Și

\;\;{\hat {J}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0

{\ displaystyle \; \; {\ hat {J}} _ {-} | a, b_ {min} \ rangle = 0}

{\ displaystyle \; \; {\ hat {J}} _ {-} | a, b_ {min} \ rangle = 0}

.

Dacă se aplică ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ la $|a,b_{max}\rangle$ ${\ displaystyle | a, b_ {max} \ rangle}$ ${\ displaystyle | a, b_ {max} \ rangle}$ obținem că:

{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | a, b_ {max} \ rangle = (b_ {max} ^ {2} \ hbar ^ {2} + b_ {max} \ hbar ^ {2}) | a, b_ {max} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | a, b_ {max} \ rangle = (b_ {max} ^ {2} \ hbar ^ {2} + b_ {max} \ hbar ^ {2}) | a, b_ {max} \ rangle}

,

de la care:

\hbar ^{2}a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)

{\ displaystyle \ hbar ^ {2} a = (b_ {max} ^ {2} + b_ {max}) \ hbar ^ {2} = \ hbar ^ {2} b_ {max} (b_ {max} +1 )}}

{\ displaystyle \ hbar ^ {2} a = (b_ {max} ^ {2} + b_ {max}) \ hbar ^ {2} = \ hbar ^ {2} b_ {max} (b_ {max} +1 )}}

.

De aici și valoarea proprie a ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ Și $a=b_{max}(b_{max}+1)$ ${\ displaystyle a = b_ {max} (b_ {max} +1)}$ ${\ displaystyle a = b_ {max} (b_ {max} +1)}$ ori $\hbar ^{2}$ ${\ displaystyle \ hbar ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ hbar ^ {2}}$ . Datorită îngustimii $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și având în vedere simetria căreia ${\hat {J_{z}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J_ {z}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J_ {z}}}}$ trebuie să se bucure de respect față de plan $X y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ , avem asta $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ neapărat trebuie să fie fie întreg, fie pe jumătate . Există deci $(2b_{max}+1)$ ${\ displaystyle (2b_ {max} +1)}$ ${\ displaystyle (2b_ {max} +1)}$ valori ale $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , acesta este $b=\{-b_{max},-b_{max}+1,\dots ,b_{max}-1,b_{max}\}$ ${\ displaystyle b = \ {- b_ {max}, - b_ {max} +1, \ dots, b_ {max} -1, b_ {max} \}}$ ${\ displaystyle b = \ {- b_ {max}, - b_ {max} +1, \ dots, b_ {max} -1, b_ {max} \}}$ .

Pentru valorile proprii ale ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ primesti:

{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j,m_{j}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j, m_ {j} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j, m_ {j} \ rangle}

,

și pentru valorile proprii ale ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ :

{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar |j,m_{j}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} | j, m_ {j} \ rangle = m_ {j} \ hbar | j, m_ {j} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} | j, m_ {j} \ rangle = m_ {j} \ hbar | j, m_ {j} \ rangle}

,

unde este $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ este numărul cuantic al momentului unghiular total, care poate fi întreg sau semi-întreg și $m_{j}=\{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}$ ${\ displaystyle m_ {j} = \ {- j, -j + 1, \ dots, j-1, j \}}$ ${\ displaystyle m_ {j} = \ {- j, -j + 1, \ dots, j-1, j \}}$ este numărul cuantic al proiecției momentului unghiular total.

Elemente de matrice

Pentru a analiza structura matricilor de momente unghiulare, presupunem că aceste momente sunt calculate pe stările proprii $|j,j_{m}\rangle$ ${\ displaystyle | j, j_ {m} \ rangle}$ ${\ displaystyle | j, j_ {m} \ rangle}$ deja normalizat; în consecință pe această bază a statelor proprii ambele ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ este ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ sunt diagonale:

\langle j',m'_{j}|{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m_{j}\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}\delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}

{\ displaystyle \ langle j ', m' _ {j} | {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j, m_ {j} \ rangle = j (j + 1) \ hbar ^ { 2} \ delta _ {j'j} \ delta _ {m '_ {j} m_ {j}}}

{\ displaystyle \ langle j ', m' _ {j} | {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j, m_ {j} \ rangle = j (j + 1) \ hbar ^ { 2} \ delta _ {j'j} \ delta _ {m '_ {j} m_ {j}}}

\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{z}|j,m_{j}\rangle =m_{j}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}}

{\ displaystyle \ langle j ', m' _ {j} | {\ hat {J}} _ {z} | j, m_ {j} \ rangle = m_ {j} \ hbar \ delta _ {j'j} \ delta _ {m '_ {j} m_ {j}}}

{\ displaystyle \ langle j ', m' _ {j} | {\ hat {J}} _ {z} | j, m_ {j} \ rangle = m_ {j} \ hbar \ delta _ {j'j} \ delta _ {m '_ {j} m_ {j}}}

.

Elementele matrice ale operatorilor de scări sunt date de:

{\hat {J}}_{+}|j,m_{j}\rangle =c_{+}|j,m_{j}+1\rangle

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+} | j, m_ {j} \ rangle = c _ {+} | j, m_ {j} +1 \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+} | j, m_ {j} \ rangle = c _ {+} | j, m_ {j} +1 \ rangle}

,

unde este $c_{+}$ ${\ displaystyle c _ {+}}$ ${\ displaystyle c _ {+}}$ este un coeficient. Folosirea egalității:

{\hat {\mathbf {J} }}^{2}={\hat {J}}_{-}{\hat {J}}_{+}+{\hat {J}}_{z}^{2}+{\hat {J}}_{z}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {-} {\ hat {J}} _ {+} + {\ hat {J}} _ {z} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z}}

,

și derivând expresia lui ${\hat {J}}_{+}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}}$ și de ${\hat {J}}_{-}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {-}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {-}}$ , pentru ${\hat {J}}_{+}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {+}}$ avem asta:

|c_{+}|^{2}=\hbar ^{2}[j(j+1)-m_{j}^{2}-m_{j}]

{\ displaystyle | c _ {+} | ^ {2} = \ hbar ^ {2} [j (j + 1) -m_ {j} ^ {2} -m_ {j}]}

{\ displaystyle | c _ {+} | ^ {2} = \ hbar ^ {2} [j (j + 1) -m_ {j} ^ {2} -m_ {j}]}

.

Categoric:

{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle =\hbar {\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}|j,m_{j}\pm 1\rangle

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(j \ mp m_ {j}) (j \ pm m_ {j} +1 )}} | j, m_ {j} \ pm 1 \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle = \ hbar {\ sqrt {(j \ mp m_ {j}) (j \ pm m_ {j} +1 )}} | j, m_ {j} \ pm 1 \ rangle}

,

iar elementele matrice sunt:

\langle j',m'_{j}|{\hat {J}}_{\pm }|j,m_{j}\rangle ={\sqrt {(j\mp m_{j})(j\pm m_{j}+1)}}\hbar \delta _{j'j}\delta _{m'_{j}m_{j}\pm 1}

{\ displaystyle \ langle j ', m' _ {j} | {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle = {\ sqrt {(j \ mp m_ {j}) (j \ pm m_ {j} +1)}} \ hbar \ delta _ {j'j} \ delta _ {m '_ {j} m_ {j} \ pm 1}}

{\ displaystyle \ langle j ', m' _ {j} | {\ hat {J}} _ {\ pm} | j, m_ {j} \ rangle = {\ sqrt {(j \ mp m_ {j}) (j \ pm m_ {j} +1)}} \ hbar \ delta _ {j'j} \ delta _ {m '_ {j} m_ {j} \ pm 1}}

.

De exemplu pentru $j=1$ ${\ displaystyle j = 1}$ ${\ displaystyle j = 1}$ primesti:

{\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y} = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y} = {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \ end {pmatrix}}}

{\hat {J}}_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} = \ hbar {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} = \ hbar {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

.

Pentru $j={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle j = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle j = {\ frac {1} {2}}}$ matricile iau forma matricilor Pauli bicomponente:

{\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}

{\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

.

Pentru $j={\frac {3}{2}}$ ${\ displaystyle j = {\ frac {3} {2}}}$ ${\ displaystyle j = {\ frac {3} {2}}}$ matricile iau forma:

{\hat {J}}_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & {\ sqrt {3}} & 0 & 0 \\ {\ sqrt {3}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & {\ sqrt {3}} \\ 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & {\ sqrt {3}} & 0 & 0 \\ {\ sqrt {3}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & {\ sqrt {3}} \\ 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & 0 \ end {pmatrix}}}

{\hat {J}}_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i {\ sqrt {3}} & 0 & 0 \\ i {\ sqrt {3}} & 0 & -2i & 0 \\ 0 & 2i & 0 & -i {\ sqrt {3}} \\ 0 & 0 & i {\ sqrt {3}} & 0 \ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i {\ sqrt {3}} & 0 & 0 \\ i {\ sqrt {3}} & 0 & -2i & 0 \\ 0 & 2i & 0 & -i {\ sqrt {3}} \\ 0 & 0 & i {\ sqrt {3}} & 0 \ end { pmatrix}}}

{\hat {J}}_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}}

.

Bibliografie

JJ Sakurai , Mecanica cuantică modernă , Zanichelli , 2014, ISBN 978-88-08-26656-9 .
LD Landau și EM Lifshitz , Mecanica cuantică, teoria non-relativistă , Editori Riuniti Univ., 2010, ISBN 978-88-64-73208-4 .

Elemente conexe

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

V · D · M Numere cuantice
Numărul cuantic principal · numarul cuantic orbital · Numărul cuantic magnetic · Numărul cuantic de spin · totala momentului cinetic · Spin · izospin · Număr barionic · Număr leptoni · Sarcină electrică · Culoare încărcare
Proiect chimie · Portalul fizicii proiectului : Chimie · Fizica portalului · Glosar chimic · Corp glosar · Calendarul evenimentelor: Fizică , chimie