Funcționare internă

În matematică , o operație internă cu n argumente (sau n-aria ) pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o funcție care la fiecare n-tuplu de $X^{n}$ ${\ displaystyle X ^ {n}}$ $X ^ n$ asociază un element al aceluiași $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Definiție

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un set ne-gol și ambele $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ . Se numește operație internă activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o functie $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ din produsul cartezian $X^{n}$ ${\ displaystyle X ^ {n}}$ $X ^ n$ la valori în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

*:X^{n}\to X

{\ displaystyle *: X ^ {n} \ to X}

*: X ^ n \ to X

În mod echivalent, fie el $m\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ $m \ in \ mathbb {N}$ , se numește operație internă activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o functie $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ :

*:X_{1}\times \ldots \times X_{m-1}\to X_{m}

{\ displaystyle *: X_ {1} \ times \ ldots \ times X_ {m-1} \ to X_ {m}}

*: X_1 \ times \ ldots \ times X_ {m-1} \ to X_m

de sine $X_{1}=\ldots =X_{m-1}=X_{m}=X$ ${\ displaystyle X_ {1} = \ ldots = X_ {m-1} = X_ {m} = X}$ $X_1 = \ ldots = X_ {m-1} = X_m = X$ .

De sine $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ , operația se numește o operație binară internă pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și imaginea perechii de puncte $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ este de preferat notat prin notația operației $x*y$ ${\ displaystyle x * y}$ $X y$ mai degrabă decât cu notație funcțională $*(x,y)$ ${\ displaystyle * (x, y)}$ $* (X y)$ .

Se spune că un set ne-gol cu o singură operație internă are o structură magmatică sau grupidă .

Motivul principal pentru care poate fi necesar să se verifice că o tranzacție arbitrară $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ indiferent dacă este sau nu intern pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (de asemenea, arbitrar atâta timp cât nu este gol) constă în faptul că numai dacă operația este internă cuplul $(X,*)$ ${\ displaystyle (X, *)}$ $(X, *)$ poate fi considerat ca o structură algebrică . Alternativ, se poate spune că este o condiție necesară pentru un cuplu $(X,*)$ ${\ displaystyle (X, *)}$ $(X, *)$ atât o structură algebrică este aceea că operația $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ verificați proprietatea de blocare $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Funcționare externă

O operațiune non-internă pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se numește operație externă .

Exemple

Operațiuni interne

Operația sumă de obicei notată cu + este internă pe setul de numere naturale și deci este internă și pe numere întregi , raționale , reale și, de asemenea, pe complexe .

În mod similar, produsul este o operație internă pe fiecare dintre aceleași seturi.

Operațiile celui mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun sunt operații interne pe mulțimea numerelor naturale.

Operațiunile de unire și intersecție sunt interne pe ansamblul părților unui întreg.

Produsul vector este o operație internă pe setul de triple de numere reale:

\wedge :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ wedge: \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

\ wedge: \ R ^ 3 \ times \ R ^ 3 \ to \ R ^ 3

({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}

{\ displaystyle ({\ vec {v}}, {\ vec {w}}) \ mapsto {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}}}

(\ vec {v}, \ vec {w}) \ mapsto \ vec {v} \ wedge \ vec {w}

Operațiuni externe

Produsul scalar este o operație externă pe setul de triple de numere reale:

\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle \ cdot: \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}

\ cdot: \ R ^ 3 \ times \ R ^ 3 \ to \ R

({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}

{\ displaystyle ({\ vec {v}}, {\ vec {w}}) \ mapsto {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {w}}}

(\ vec {v}, \ vec {w}) \ mapsto \ vec {v} \ cdot \ vec {w}

de fapt are valori în câmpul real pe care este definit spațiul vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ și nu în spațiul vectorial în sine.

Produsul unui vector de către un scalar este încă o operație externă setului de triple de numere reale:

\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ cdot: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

\ cdot: \ R \ times \ R ^ 3 \ to \ R ^ 3

(k,{\vec {v}})\mapsto k{\vec {v}}

{\ displaystyle (k, {\ vec {v}}) \ mapsto k {\ vec {v}}}

(k, \ vec {v}) \ mapsto k \ vec {v}

de parcă te gândești la asta ca la o funcție

\cdot :A\times B\to C

{\ displaystyle \ cdot: A \ times B \ to C}

\ cdot: A \ ori B \ până la C

avem că și în acest caz seturile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ nu sunt toți trei la fel.

Produsul mixt :

\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}

{\ displaystyle \ cdot: \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}

\ cdot: \ R ^ 3 \ times \ R ^ 3 \ times \ R ^ 3 \ to \ R

({\vec {v}},{\vec {w}},{\vec {z}})\mapsto {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}\cdot {\vec {z}}

{\ displaystyle ({\ vec {v}}, {\ vec {w}}, {\ vec {z}}) \ mapsto {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}} \ cdot {\ vec {z}}}

(\ vec {v}, \ vec {w}, \ vec {z}) \ mapsto \ vec {v} \ wedge \ vec {w} \ cdot \ vec {z}

în cele din urmă este încă o operație externă ( ternară ) activată $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ .

Bibliografie

Algebra , S. Mac Lane, G. Birkhoff, ed .: Mursia.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică