Comandă pe drum

În fizica teoretică , legea pe căi (în engleză , path ordering) este procedura sau meta-operator ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ pentru a sorta un produs de mai mulți operatori în funcție de valoarea unui parametru dat:

{\mathcal {P}}\left[O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\dots O_{N}(\sigma _{N})\right]:=O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\dots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left [O_ {1} (\ sigma _ {1}) O_ {2} (\ sigma _ {2}) \ dots O_ {N} (\ sigma _ {N} ) \ right]: = O_ {p_ {1}} (\ sigma _ {p_ {1}}) O_ {p_ {2}} (\ sigma _ {p_ {2}}) \ dots O_ {p_ {N} } (\ sigma _ {p_ {N}}).}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left [O_ {1} (\ sigma _ {1}) O_ {2} (\ sigma _ {2}) \ dots O_ {N} (\ sigma _ {N} ) \ right]: = O_ {p_ {1}} (\ sigma _ {p_ {1}}) O_ {p_ {2}} (\ sigma _ {p_ {2}}) \ dots O_ {p_ {N} } (\ sigma _ {p_ {N}}).}

Unde este $p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}$ ${\ displaystyle p: \ {1,2, \ dots, N \} \ to \ {1,2, \ dots, N \}}$ ${\ displaystyle p: \ {1,2, \ dots, N \} \ to \ {1,2, \ dots, N \}}$ este o permutare care sortează parametrii:

\sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \dots \leq \sigma _{p_{N}}.

{\ displaystyle \ sigma _ {p_ {1}} \ leq \ sigma _ {p_ {2}} \ leq \ dots \ leq \ sigma _ {p_ {N}}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {p_ {1}} \ leq \ sigma _ {p_ {2}} \ leq \ dots \ leq \ sigma _ {p_ {N}}.}

De exemplu:

{\mathcal {P}}\left[O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right]:=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left [O_ {1} (4) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {4} (1) \ right]: = O_ {4} (1) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {1} (4).}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left [O_ {1} (4) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {4} (1) \ right]: = O_ {4} (1) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {1} (4).}

Ordonarea temporală

În teoria câmpului cuantic este util să luăm produsul comandat de T al operatorilor. Această operațiune este notată de operator ${\mathcal {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ . Pentru doi operatori $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $B(y)$ ${\ displaystyle B (y)}$ ${\ displaystyle B (y)}$ care depind de puncte din spațiu-timp $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ este definit:

{\mathcal {T}}\left[A(x)B(y)\right]:=\left\{{\begin{matrix}A(x)B(y)&{\textrm {se}}&x_{0}>y_{0}\\B(y)A(x)&{\textrm {se}}&x_{0}<y_{0}.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ left [A (x) B (y) \ right]: = \ left \ {{\ begin {matrix} A (x) B (y) & {\ textrm {if }} & x_ {0}> y_ {0} \\ B (y) A (x) & {\ textrm {se}} & x_ {0} <y_ {0}. \ end {matrix}} \ right. }

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ left [A (x) B (y) \ right]: = \ left \ {{\ begin {matrix} A (x) B (y) & {\ textrm {if }} & x_ {0}> y_ {0} \\ B (y) A (x) & {\ textrm {se}} & x_ {0} <y_ {0}. \ end {matrix}} \ right. }

Unde este $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ indicați coordonatele de timp ale punctelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Avem în mod explicit:

{\mathcal {T}}\left[A(x)B(y)\right]:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ left [A (x) B (y) \ right]: = \ theta (x_ {0} -y_ {0}) A (x) B (y) \ pm \ theta (y_ {0} -x_ {0}) B (y) A (x),}

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ left [A (x) B (y) \ right]: = \ theta (x_ {0} -y_ {0}) A (x) B (y) \ pm \ theta (y_ {0} -x_ {0}) B (y) A (x),}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ denotă funcția Heaviside și a $\pm$ ${\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ depinde de natura bosonică sau fermionică a operatorului. Dacă este bosonic, atunci se alege întotdeauna semnul +, dacă este fermionic atunci semnul depinde de numărul de schimburi necesare pentru a obține ordonarea temporală. Rețineți că factorii combinatori nu intră în această definiție.

Deoarece operatorul depinde de punctele din spațiul cu patru dimensiuni (nu doar de timp), această operație de ordonare temporală este independentă de coordonate numai dacă operatorii sunt evaluați în puncte separate de un comutator de distanță de tip spațiu.

Matricea S în teoria câmpului cuantic este un exemplu de produs T-comandat, de fapt transformă o stare a $t=-\infty$ ${\ displaystyle t = - \ infty}$ ${\ displaystyle t = - \ infty}$ într-una a $t=+\infty$ ${\ displaystyle t = + \ infty}$ ${\ displaystyle t = + \ infty}$ .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica