Orientare

În geometrie, orientarea unui spațiu este o alegere cu care unele configurații de vectori sunt identificate ca „pozitive” și altele ca „negative”. Aceste configurații pozitive și negative sunt obținute unele de altele prin reflexie , ca într-o oglindă.

Noțiunea de orientare este prezentă în toată geometria modernă și are numeroase aplicații în fizică (de exemplu în electromagnetism și simetrie CP ) și în chimie (de exemplu, în conceptul de chiralitate ).

Orientarea unui spațiu vectorial

Conceptul de bază al orientării este definit într-un spațiu vectorial real , cum ar fi planul cartezian sau un spațiu euclidian mai generic. Definiția se extinde ulterior la alte tipuri de spații, cum ar fi suprafețele sau soiurile .

Bazele pozitive și bazele negative

O transformare liniară a planului descrisă de o matrice

2\times 2

{\ displaystyle 2 \ times 2}

2 \ ori 2

. Deoarece matricea are determinant negativ, transformarea transformă o bază

(x_{1},x_{2})

{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}

(x_ {1}, x_ {2})

într-o bază

(f(x_{1}),f(x_{2}))

{\ displaystyle (f (x_ {1}), f (x_ {2}))}

(f (x_ {1}), f (x_ {2}))

cu orientare opusă.

O bază pentru un spațiu vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un set ordonat $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ${\ displaystyle (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$ $(v_ {1}, \ ldots, v_ {n})$ de vectori independenți care generează totul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Un spațiu vector are două tipuri de baze: alegerea unei orientări de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ constă în a numi bazele unui tip „pozitive” și celelalte „negative”.

Mai precis, este definit pe setul de baze pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ o relație de echivalență în felul următor. Pentru fiecare pereche de baze există o transformare liniară care trimite prima bază în a doua. Determinantul acestei transformări este un număr real și este diferit de zero deoarece o transformare de acest tip este un izomorfism . Două baze sunt echivalente dacă determinantul transformării care le leagă este pozitiv. Pentru proprietățile determinantului, aceasta este de fapt o relație de echivalență. ^[1]

Această relație de echivalență împarte setul de baze în două clase. Cu toate acestea, nu există nici un argument a priori care să ne permită identificarea elementelor unei clase ca „pozitive” și pe celelalte ca „negative”: orientarea spațiului $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ constă tocmai în alegerea arbitrară a unei clase pozitive. Deoarece există două clase, există două alegeri posibile: prin urmare $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are două orientări posibile.

Exemple

Spațiul euclidian este considerat în mod normal un spațiu deja orientat: de obicei o bază $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ $v_ {1}, \ ldots, v_ {n}$ este considerat pozitiv dacă și numai dacă determinantul

\det(v_{1}|\ldots |v_{n})

{\ displaystyle \ det (v_ {1} | \ ldots | v_ {n})}

\ det (v_ {1} | \ ldots | v_ {n})

a matricei pătrate obținute prin alinierea vectorilor coloanei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$ $v_ {1}, \ ldots, v_ {n}$ este pozitiv. În acest fel baza canonică este întotdeauna pozitivă: de fapt matricea obținută este matricea identității , care are întotdeauna determinantul 1. De exemplu, în dimensiunea a doua, baza canonică este

e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\ e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle e_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ e_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

e_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ e_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}

și acest lucru este bun pentru că

\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1>0

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = 1> 0}

\ det {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = 1> 0

Pe de altă parte, baza

v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\ v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, \ v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, \ v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}

este negativ, deoarece

\det {\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}=-1<0.

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} = - 1 <0.}

\ det {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} = - 1 <0.

În spațiul tridimensional, elementele de bază ale vectorilor care se formează sunt considerate o triadă bună pentru stângaci , în timp ce cele negative care formează o triază pentru stângaci . Alegerea „pozitiv” și „negativ” este totuși convențională în toate aceste cazuri: nu există nimic care să împiedice atribuirea orientării opuse planului cartezian sau spațiului euclidian. Regula din dreapta este un instrument util pentru a determina dacă un triplet dat de vectori este pozitiv sau negativ.

Orientarea unui soi

Torul este o suprafață orientabilă.

Banda Möbius este o suprafață neorientabilă.

Reglabilitate

O varietate (de exemplu, o curbă sau o suprafață ) este un obiect care este similar local cu un spațiu euclidian. Noțiunea de orientare există deci la nivel local: totuși, aceasta nu poate fi întotdeauna extinsă de la local la global. Când acest lucru este posibil, soiul se numește orientabil : în acest caz „bazele” centrate în toate punctele soiului sunt efectiv împărțite în două clase și se poate alege o orientare , adică să atribuie termenul „pozitiv” una dintre acestea și „negativă” pentru cealaltă.

Posibilitatea extinderii acestei proprietăți locale la nivel global este legată de următorul fapt: există posibilitatea ca un obiect care călătorește de-a lungul unei căi din colector să se găsească cu o orientare inversată la întoarcerea la punctul său de plecare? Dacă există această posibilitate, este imposibil să atribuiți o orientare globală și, prin urmare, varietatea este numită neorientabilă . În schimb, dacă această posibilitate nu există, este posibil să se atribuie o orientare soiului și, astfel, să se facă distincția globală între „bazele” pozitive și negative.

Exemple

Pentru o curbă, orientarea este pur și simplu alegerea unei direcții pentru a parcurge curba. O alegere de acest tip este întotdeauna posibilă, cu alte cuvinte o curbă este întotdeauna orientabilă .

Suprafețele precum sfera și torul sunt orientabile. Cel mai cunoscut exemplu de suprafață neorientabilă este fâșia Möbius : desenarea unei mâini drepte pe fâșie și transformarea desenului într-un cerc complet, rezultă într-o mână stângă! Din acest motiv, este material imposibil să distingem mâinile drepte de mâinile stângi sau să împărțim bazele în pozitive și negative.

Această proprietate a benzii Möbius este legată de următorul fapt: un observator care merge de-a lungul benzii se va găsi cu capul în jos pe partea opusă după o revoluție completă.

Notă

^ Proprietățile simetrice și tranzitive descind din teorema lui Binet .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Orientare , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 17111

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Proprietățile simetrice și tranzitive descind din teorema lui Binet .

[1]