Orizont

Linia Horizon peste mare

Orizontul este linia aparentă care separă pământul de cer , linia care împarte toate direcțiile vizibile în două categorii: cele care intersectează suprafața pământului și cele care nu îl intersectează. În multe locații, adevăratul orizont este ascuns de copaci , clădiri , munți etc. iar intersecția rezultată dintre pământ și cer este numită orizont vizibil . Cuvântul orizont provine din grecul horizōn (kyklos) , „( cerc ) care delimitează”.

Aspect și utilizare

Orizontul Pământului, așa cum a fost văzut de la Space Shuttle Endeavour în 2002

Distanța orizontului vizibil deasupra mării a fost întotdeauna foarte importantă, deoarece a reprezentat gama maximă de comunicații și vizibilitate înainte de dezvoltarea radio și telegraf . Chiar și astăzi, pentru a controla o aeronavă în zbor cu regulile de zbor vizuale, pilotul folosește relația vizuală dintre vârful aeronavei și orizont. Mai mult, un pilot își poate menține orientarea spațială făcând referire la orizont.

În multe contexte, în special în desenul în perspectivă , curbura Pământului este ignorată și orizontul este considerat linia teoretică către care converg punctele fiecărui plan orizontal (atunci când sunt proiectate pe planul imaginii) pe măsură ce distanța lor de observator crește. Pentru observatorii de la nivelul mării, diferența dintre acest orizont geometric (care presupune, la nivelul solului, un plan infinit și perfect plat) și orizontul adevărat (care presupune o suprafață sferică a Pământului ) este imperceptibilă cu ochiul liber (dar pentru cineva care privește marea de la o înălțime de 1.000 de metri, adevăratul orizont va fi cu aproximativ un grad sub o linie orizontală).

În astronomie, orizontul este planul orizontal care trece prin (ochii) observatorului. Este planul fundamental al sistemului de coordonate orizontale , locusul punctelor care au o înălțime de zero grade. În timp ce orizontul astronomic este oarecum similar cu cel geometric, în acest context ar putea fi considerat un plan în spațiu, mai degrabă decât o linie pe planul imaginii.

Distanța până la orizont

Ignorând efectul refracției atmosferice , distanța până la orizont pentru un observator lângă suprafața pământului, exprimată în kilometri, este de aproximativ ^[1]

d(km)\approx 112,9{\sqrt {h(km)}}\,,

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 112,9 {\ sqrt {h (km)}} \ ,,}

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 112,9 {\ sqrt {h (km)}} \ ,,}

unde h este înălțimea deasupra nivelului mării în kilometri.

Dacă, pe de altă parte, h este exprimat în metri, avem:

d(km)\approx 3,57{\sqrt {h(m)}}\,.

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 3,57 {\ sqrt {h (m)}} \,.}

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 3,57 {\ sqrt {h (m)}} \,.}

Exemple (ignorarea refracției):

Pentru un observator care stă pe pământ cu h = 1,70 m (înălțimea medie a ochilor), orizontul se află la o distanță de 4,7 km.
Pentru un observator care stă pe pământ cu h = 2 metri, orizontul se află la o distanță de 5 km.
Pentru un observator pe un deal sau turn de 100 de metri înălțime, orizontul se află la o distanță de 35,7 kilometri .
Pentru un observator din vârful Burj Khalifa (828 metri înălțime), orizontul se află la o distanță de 102 kilometri.

Model geometric

Model geometric pentru a calcula distanța până la orizont, teorema secant-tangentă

Distanța geometrică a orizontului, teorema lui Pitagora

Orizont vizibil, orizont adevărat și orizont astronomic.

Considerând Pământul ca o sferă fără atmosferă, distanța până la orizont poate fi ușor calculată (trebuie avut în vedere că raza de curbură a Pământului nu este aceeași peste tot).

Teorema secant-tangentă afirmă că

\mathrm {OC} ^{2}=\mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \,.

{\ displaystyle \ mathrm {OC} ^ {2} = \ mathrm {OA} \ times \ mathrm {OB} \,.}

{\ displaystyle \ mathrm {OC} ^ {2} = \ mathrm {OA} \ times \ mathrm {OB} \,.}

Efectuați următoarele înlocuiri:

d = OC = distanța până la orizont
D = AB = diametrul Pământului
h = OB = înălțimea observatorului deasupra nivelului mării
D + h = OA = diametrul Pământului plus înălțimea observatorului deasupra nivelului mării

Formula devine acum

d^{2}=h(D+h)

{\ displaystyle d ^ {2} = h (D + h)}

{\ displaystyle d ^ {2} = h (D + h)}

sau

d={\sqrt {h(D+h)}}={\sqrt {h(2R+h)}}\,,

{\ displaystyle d = {\ sqrt {h (D + h)}} = {\ sqrt {h (2R + h)}} \ ,,}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {h (D + h)}} = {\ sqrt {h (2R + h)}} \ ,,}

unde R este raza Pământului.

Ecuația poate fi derivată și folosind teorema lui Pitagora . Deoarece linia de vedere este tangentă la Pământ, este perpendiculară pe raza de la orizont. Aceasta creează un triunghi dreptunghiular, cu hipotenuză egală cu suma razei și a înălțimii. Cu

d = distanța până la orizont
h = înălțimea observatorului deasupra nivelului mării
R = raza Pământului

referindu-ne la a doua figură din dreapta, ajungem la:

(R+h)^{2}=R^{2}+d^{2}

{\ displaystyle (R + h) ^ {2} = R ^ {2} + d ^ {2}}

{\ displaystyle (R + h) ^ {2} = R ^ {2} + d ^ {2}}

R^{2}+2Rh+h^{2}=R^{2}+d^{2}

{\ displaystyle R ^ {2} + 2Rh + h ^ {2} = R ^ {2} + d ^ {2}}

{\ displaystyle R ^ {2} + 2Rh + h ^ {2} = R ^ {2} + d ^ {2}}

d={\sqrt {h(2R+h)}}\,.

{\ displaystyle d = {\ sqrt {h (2R + h)}} \,.}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {h (2R + h)}} \,.}

O altă relație implică distanța s de -a lungul suprafeței curbate a Pământului până la orizont, cu γ în radiani ,

s=R\gamma \,;

{\ displaystyle s = R \ gamma \,;}

{\ displaystyle s = R \ gamma \,;}

atunci

\cos \gamma =\cos {\frac {s}{R}}={\frac {R}{R+h}}\,.

{\ displaystyle \ cos \ gamma = \ cos {\ frac {s} {R}} = {\ frac {R} {R + h}} \,.}

{\ displaystyle \ cos \ gamma = \ cos {\ frac {s} {R}} = {\ frac {R} {R + h}} \,.}

din care putem deriva

s=R\cos ^{-1}{\frac {R}{R+h}}\

{\ displaystyle s = R \ cos ^ {- 1} {\ frac {R} {R + h}} \}

{\ displaystyle s = R \ cos ^ {- 1} {\ frac {R} {R + h}} \}

sau, prin formula inversă,

h={\frac {R}{cos({\frac {s}{R}})}}-R\,.

{\ displaystyle h = {\ frac {R} {cos ({\ frac {s} {R}})}} - R \,.}

{\ displaystyle h = {\ frac {R} {cos ({\ frac {s} {R}})}} - R \,.}

Distanța s poate fi exprimată și în termeni de distanță a liniei de vedere d , de la a doua figură din dreapta,

\tan \gamma ={\frac {d}{R}}\,;

{\ displaystyle \ tan \ gamma = {\ frac {d} {R}} \,;}

{\ displaystyle \ tan \ gamma = {\ frac {d} {R}} \,;}

substituind γ și reamenajând avem

s=R\tan ^{-1}{\frac {d}{R}}\,.

{\ displaystyle s = R \ tan ^ {- 1} {\ frac {d} {R}} \,.}

{\ displaystyle s = R \ tan ^ {- 1} {\ frac {d} {R}} \,.}

Distanțele d și s sunt aproape egale atunci când înălțimea obiectului este neglijabilă în raport cu raza (adică h ≪ R ).

Formule geometrice aproximative

Dacă observatorul este aproape de suprafața Pământului, atunci h poate fi neglijat în expresia (2 R + h ), iar formula devine

d={\sqrt {2Rh}}\,.

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2Rh}} \,.}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2Rh}} \,.}

Folosind unități metrice zecimale și având în vedere raza Pământului 6371 km, distanța până la orizont este

d\approx {\sqrt {(12740\ km)\cdot h}}\,,

{\ displaystyle d \ approx {\ sqrt {(12740 \ km) \ cdot h}} \ ,,}

{\ displaystyle d \ approx {\ sqrt {(12740 \ km) \ cdot h}} \ ,,}

de la care

d(km)\approx 112,9{\sqrt {h(km)}}\,,

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 112,9 {\ sqrt {h (km)}} \ ,,}

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 112,9 {\ sqrt {h (km)}} \ ,,}

unde d este în kilometri și h este înălțimea ochilor observatorului de la sol sau nivelul mării în kilometri.

Dacă, pe de altă parte, h este exprimat în metri, avem:

h(km)={\frac {1}{1000}}h(m)\Rightarrow d(km)\approx 112,9{\sqrt {{\frac {1}{1000}}h(m)}}=112,9\cdot 0,03162{\sqrt {h(m)}}\,,

{\ displaystyle h (km) = {\ frac {1} {1000}} h (m) \ Rightarrow d (km) \ approx 112,9 {\ sqrt {{\ frac {1} {1000}} h (m)} } = 112,9 \ cdot 0,03162 {\ sqrt {h (m)}} \ ,,}

{\ displaystyle h (km) = {\ frac {1} {1000}} h (m) \ Rightarrow d (km) \ approx 112,9 {\ sqrt {{\ frac {1} {1000}} h (m)} } = 112,9 \ cdot 0,03162 {\ sqrt {h (m)}} \ ,,}

de la care

d(km)\approx 3,57{\sqrt {h(m)}}\,.

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 3,57 {\ sqrt {h (m)}} \,.}

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 3,57 {\ sqrt {h (m)}} \,.}

Aceste formule pot fi folosite atunci când h este mult mai mică decât raza Pământului (6371 km), incluzând toate câmpurile vizuale de pe vârfurile de munte, avioane sau baloane la altitudini mari. Cu constantele de mai sus, formulele sunt corecte până la 1% (consultați secțiunea următoare pentru a afla cum să obțineți o precizie mai mare).

Formula exactă pentru un Pământ sferic

Dacă h este semnificativ în ceea ce privește R , ca în cazul majorității sateliților , atunci aproximarea permisă anterior nu mai este valabilă și, prin urmare, este necesară formula exactă:

d={\sqrt {2Rh+h^{2}}}\,,

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2Rh + h ^ {2}}} \ ,,}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2Rh + h ^ {2}}} \ ,,}

unde R este raza Pământului ( R și h trebuie să fie în aceeași unitate). De exemplu, dacă un satelit se află la o înălțime de 2.000 km, distanța până la orizont este de 5.430 km (3.370 mile), neglijând al doilea termen între paranteze, am avea o distanță de 5.048 km (3.137 mile), cu un 7 % eroare.

Obiecte deasupra orizontului

Distanța geometrică până la orizont

Pentru a calcula înălțimea unui obiect vizibil deasupra orizontului, calculăm distanța până la orizont pentru un observator ipotetic deasupra acelui obiect și îl adăugăm la distanța orizontului de la observatorul real. De exemplu, pentru un observator cu o înălțime de 1,70 m de la sol, orizontul este la 4,65 km distanță. Pentru un turn cu o înălțime de 100 m, distanța până la orizont este de 35,7 km. Astfel, un observator pe o plajă poate vedea turnul atâta timp cât distanța sa nu depășește 40,35 km. Dimpotrivă, dacă un observator pe o barcă ( h = 1,70m) abia poate vedea vârfurile copacilor pe o plajă din apropiere ( h = 10m), atunci arborii sunt probabil la aproximativ 16 km distanță.

Referindu-ne la figura din dreapta, farul va fi vizibil de pe barcă dacă

D_{\mathrm {BL} }(km)<3,57\,\left({\sqrt {h_{\mathrm {B} }(m)}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }(m)}}\ \right)\,,

{\ displaystyle D _ {\ mathrm {BL}} (km) <3,57 \, \ left ({\ sqrt {h _ {\ mathrm {B}} (m)}} + {\ sqrt {h _ {\ mathrm {L}} (m)}} \ \ right) \ ,,}

{\ displaystyle D _ {\ mathrm {BL}} (km) <3,57 \, \ left ({\ sqrt {h _ {\ mathrm {B}} (m)}} + {\ sqrt {h _ {\ mathrm {L}} (m)}} \ \ right) \ ,,}

unde D _BL este în kilometri și h _B și h _L sunt în metri. Având în vedere refracția atmosferică, condiția vizibilității devine

D_{\mathrm {BL} }(km)<3,86\,\left({\sqrt {h_{\mathrm {B} }(m)}}+{\sqrt {h_{\mathrm {L} }(m)}}\ \right)\,.

{\ displaystyle D _ {\ mathrm {BL}} (km) <3,86 \, \ left ({\ sqrt {h _ {\ mathrm {B}} (m)}} + {\ sqrt {h _ {\ mathrm {L}} (m)}} \ \ right) \,.}

{\ displaystyle D _ {\ mathrm {BL}} (km) <3,86 \, \ left ({\ sqrt {h _ {\ mathrm {B}} (m)}} + {\ sqrt {h _ {\ mathrm {L}} (m)}} \ \ right) \,.}

Efectul refracției atmosferice

Datorită refracției atmosferice a razelor de lumină, distanța reală până la orizont este puțin mai mare decât distanța calculată cu formule geometrice. În condiții atmosferice standard, diferența este de aproximativ 8%. Cu toate acestea, refracția este puternic influențată de gradienții de temperatură care, în special deasupra apei, pot varia foarte mult de la o zi la alta, astfel încât valorile calculate pentru refracție trebuie considerate aproximative. ^[1]

Metoda riguroasă a lui Sweer
Distanța de la orizont este dată de ^[2]

d={{R}_{\text{E}}}\left(\psi +\delta \right)\,,

{\ displaystyle d = {{R} _ {\ text {E}}} \ left (\ psi + \ delta \ right) \ ,,}

{\ displaystyle d = {{R} _ {\ text {E}}} \ left (\ psi + \ delta \ right) \ ,,}

unde R _E este raza Pământului, ψ este coborârea orizontului și δ este refracția orizontului. Coborârea este determinată destul de simplu de

\cos \psi ={\frac {{{R}_{\text{E}}}{{\mu }_{0}}}{\left({{R}_{\text{E}}}+h\right)\mu }}\,,

{\ displaystyle \ cos \ psi = {\ frac {{{R} _ {\ text {E}}} {{\ mu} _ {0}}} {\ left ({{R} _ {\ text {E }}} + h \ dreapta) \ mu}} \ ,,}

{\ displaystyle \ cos \ psi = {\ frac {{{R} _ {\ text {E}}} {{\ mu} _ {0}}} {\ left ({{R} _ {\ text {E }}} + h \ dreapta) \ mu}} \ ,,}

unde h este înălțimea observatorului față de Pământ, μ este indicele de refracție al aerului la înălțimea observatorului, iar μ ₀ este indicele de refracție al aerului de pe suprafața pământului.

Refracția trebuie găsită prin integrarea

\delta =-\int _{0}^{h}{\tan \phi {\frac {{\text{d}}\mu }{\mu }}}\,,

{\ displaystyle \ delta = - \ int _ {0} ^ {h} {\ tan \ phi {\ frac {{\ text {d}} \ mu} {\ mu}}} \ ,,}

{\ displaystyle \ delta = - \ int _ {0} ^ {h} {\ tan \ phi {\ frac {{\ text {d}} \ mu} {\ mu}}} \ ,,}

unde este $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este unghiul dintre rază și o linie care traversează centrul Pământului. Unghiurile ψ și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt legate de

\phi =90{}^{\circ }-\psi \,.

{\ displaystyle \ phi = 90 {} ^ {\ circ} - \ psi \,.}

{\ displaystyle \ phi = 90 {} ^ {\ circ} - \ psi \,.}

Metoda simplă a lui Young
O abordare mult mai simplă folosește modelul geometric, dar cu o rază R ^' = 7/6 R _E. Prin urmare, distanța până la orizont este ^[1]

d={\sqrt {2R^{\prime }h}}\,.

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2R ^ {\ prime} h}} \,.}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2R ^ {\ prime} h}} \,.}

Cu raza Pământului de 6371 km, cu d în km și h în km,

d(km)\approx 121,9{\sqrt {h(km)}}\,.

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 121,9 {\ sqrt {h (km)}} \,.}

{\ displaystyle d (km) \ aproximativ 121,9 {\ sqrt {h (km)}} \,.}

Rezultatele metodei Young sunt foarte apropiate de cele ale metodei Sweer și sunt suficient de exacte pentru o varietate de scopuri.

Curbura orizontului

Un scafandru și, în fundal, linia orizontului

Dintr-un punct deasupra suprafeței Pământului, orizontul apare ușor curbat (la urma urmei este un cerc). Există o relație geometrică fundamentală între această curbură vizuală $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ , altitudinea și raza Pământului, adică

\kappa ={\sqrt {\left({\frac {R+h}{R}}\right)^{2}-1}}\ .

{\ displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ left ({\ frac {R + h} {R}} \ right) ^ {2} -1}} \.}

{\ displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ left ({\ frac {R + h} {R}} \ right) ^ {2} -1}} \.}

Curbura este reciprocă a razei curburii unghiulare în radiani . O curbură de 1 apare ca un cerc cu o rază unghiulară de 45 ° care corespunde unei înălțimi de aproximativ 2.640 km deasupra suprafeței terestre. La o înălțime de 10 km (33.000 de picioare, înălțimea tipică de croazieră a unui avion de linie), curbura matematică a orizontului este de aproximativ 0,056, aceeași curbură ca un cerc cu o rază de 10 m, observată de la 56 cm. Cu toate acestea, curbura aparentă este mai mică decât cea datorată refracției luminii în atmosferă; în plus, orizontul este adesea mascat de straturi înalte de nori care reduc înălțimea deasupra suprafeței vizuale.

Notă

^ ^a ^b ^c Andrew T. Young, „Distanța până la orizont” . Accesat la 16 aprilie 2011.
^ John Sweer, „The Path of a Ray of Light Tangent to the Surface of the Earth” , Journal of the Optical Society of America , 28 (septembrie 1938): 327–29. Disponibil cu descărcare cu plată.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate despre orizonturi
Wikționarul conține dicționarul lema « orizont »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere la orizont

linkuri externe

Derivarea distanței până la orizont . Steve Sque.
Scufundarea Orizontului . Andrew T. Young.
Orizont , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 61255 · LCCN (EN) sh89005124 · GND (DE) 4245653-8 · BNF (FR) cb13183491c (data)

[ATYoungDistToHoriz-1] Andrew T. Young, „Distanța până la orizont” . Accesat la 16 aprilie 2011.

[Sweer1938-2] John Sweer, „The Path of a Ray of Light Tangent to the Surface of the Earth” , Journal of the Optical Society of America , 28 (septembrie 1938): 327–29. Disponibil cu descărcare cu plată.

[1]

[2]