Orthocenter

Orthocentre ( H )

Codul ETC	4
Conjugat izogonal	circumcenter
Conjugat ciclocevian	centrul de greutate
Complementar	circumcenter
Anticomplementare	punctul Longchamps
Coordonatele baricentrice
λ ₁	tan A
λ ₂	bronz B
λ ₃	bronz C
Coordonate triliniare
X	cos B cos C
y	cos C cos A
z	cos A cos B
Manual

În geometrie , ortocentrul (simbolul H , pe ETC X ₄ ) este punctul de întâlnire al înălțimilor unui triunghi .

Fig.1 - Dovada că orthocenter H al triunghiului ABC cu coincide circumscris triunghiului A'B'C“.

Pentru a demonstra că toate cele trei înălțimi ale triunghiului se intersectează într-un anumit punct H, având în vedere triunghiul ABC din Fig.1, paralelele cu laturile opuse sunt trase din fiecare vârf, creând astfel un triunghi mai mare A'B'C '.
În cadrul noului triunghi putem recunoaște cele trei paralelograme ABA'C - BCB'A - CAC'B.
Având în vedere că în fiecare paralelogram laturile opuse sunt de lungime egală, vedem că laturile noului triunghi sunt de două ori lungimea laturilor triunghiului original și sunt împărțite în jumătate de vârfurile acestuia.
Vedem apoi că înălțimile triunghiului original corespund axelor (liniilor perpendiculare din punctul de mijloc) ale laturilor noului triunghi. Deoarece cele trei axe ale laturilor noului triunghi trebuie să se intersecteze într-un punct care este centrul cercului circumscris (vezi circumcentrul ), acest lucru trebuie să se aplice și înălțimilor triunghiului inițial.
Prin urmare, punctul de întâlnire al înălțimilor H (ortocentrul) este unic, așa cum am vrut să demonstrăm.

Proprietăți remarcabile

Conjugatul său izogonal este circumcentrul și împreună cu acesta se află pe linia Euler și sunt în același timp interne perimetrului poligonal dacă triunghiul este acut , pe perimetru dacă dreptunghi (exact pe vârf în unghi drept ), extern dacă triunghiul este obtuz .
În triunghiurile acute este punctul care minimizează simultan atât distanța totală față de vârfuri, cât și de laturile triunghiului, deoarece înălțimile exprimă distanța minimă a unui vârf de lateral.
Acesta este singurul punct în care ceviană triunghiul și pedala de triunghi coincid, iar acestea sunt în triunghiul urzica .
Cercul său cevian corespunde cercului Feuerbach .

Ortocentrul unui triunghi dreptunghi coincide cu vârful unghiului drept. În schimb, un triunghi al cărui ortocentru coincide cu un vârf (sau în mod echivalent aparține perimetrului) este un dreptunghi. Din nou ortocentrul triunghiului $\Delta (XYZ)$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ coincide cu centrul triunghiului format de picioarele înălțimilor triunghiului $\Delta (XYZ)$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ .

Pentru triunghiurile acute, se menține următoarea relație:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {HX}{\cos \alpha }}={\frac {HY}{\cos \beta }}={\frac {HZ}{\cos \gamma }}=2R$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX } {\ cos \ alpha}} = {\ frac {HY} {\ cos \ beta}} = {\ frac {HZ} {\ cos \ gamma}} = 2R}$ ${\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX} {\ cos \ alpha}} = {\ frac {HY} {\ cos \ beta}} = {\ frac {HZ} {\ cos \ gamma}} = 2R$

în timp ce pentru triunghiurile obtuse (valoarea absolută este necesară deoarece a priori nu se știe care unghi este obtuz) se aplică următoarele:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {HX}{\left\vert \cos \alpha \right\vert }}={\frac {HY}{\left\vert \cos \beta \right\vert }}={\frac {HZ}{\left\vert \cos \gamma \right\vert }}=2R$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX } {\ left \ vert \ cos \ alpha \ right \ vert}} = {\ frac {HY} {\ left \ vert \ cos \ beta \ right \ vert}} = {\ frac {HZ} {\ left \ vert \ cos \ gamma \ right \ vert}} = 2R}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX } {\ left \ vert \ cos \ alpha \ right \ vert}} = {\ frac {HY} {\ left \ vert \ cos \ beta \ right \ vert}} = {\ frac {HZ} {\ left \ vert \ cos \ gamma \ right \ vert}} = 2R}$

unde este $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma$ sunt unghiurile corespunzătoare vârfurilor $X, Da, Z$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ respectiv în timp ce $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ sunt lungimile laturilor opuse vârfurilor $X, Da, Z$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ respectiv și $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ raza circumcercului .

Ortocentrul unui triunghi este extern triunghiului dacă și numai dacă este un triunghi obtuz .

Relația cu circumcentrul

Orthocenter și circumscris sunt isogonal conjugate și în geometria triunghiului acestea au caracteristici diferite , care le leagă:

În roșu ortocentrul și picioarele înălțimilor, în purpuriu punctele medii de pe înălțimi, în verde punctele medii ale laturilor, în albastru centrul celor nouă puncte și în negru circumcentrul

Imaginile ortocentrului cu privire la picioarele înălțimilor laterale și la punctele medii ale laturilor, toate se află pe circumcercul triunghiului care are ca centru circumcentrul ; dar dacă ne uităm profund în această proprietate, este posibil să observăm că punctele medii ale unor asemenea și ale înălțimilor, în realitate, sunt altele decât punctele în care cercul Feuerbach sau, în acest caz, mai bine spus despre cele nouă puncte , intersectează triunghiul și că chiar și în punctele de intersecție cu înălțimile ^{[1] se} pare, la o inspecție mai atentă, că întotdeauna imaginea ortocentrului față de aceste puncte se află pe circumferința circumscrisă , de fapt este posibil să se arate că cercul Feuerbach și „setul punctelor medii ale distanțelor dintre circumcerc și ortocentru, pentru care fiecare dintre imaginile sale în raport cu orice punct al circumferinței sale este proiectată direct pe circumferința circumscrisă.
Din cele de mai sus se poate vedea, de asemenea, cum circumcentrul, centrul celor nouă puncte și ortocentrul sunt întotdeauna și în această succesiune pe aceeași linie și distribuite pe el echidistant.

Cele trei imagini ale circumcentrului, în raport cu punctele medii ale laturilor, sunt centrele celor trei cercuri Johnson care, pentru două dintre vârfurile triunghiului și pentru teorema omonimă , se intersectează în ortocentru, cu o rază egală cu cea a circumcercului : circumradius . Mai mult, prin unirea celor trei puncte este posibil să se obțină un triunghi A'B'C ' congruent cu triunghiul de referință - având centrul de rotație în centrul celor nouă puncte - cu privire la care cele două puncte au răsturnat roluri, adică circumcentrul este ortocentrul triunghiului A'B'C 'și invers.

În geometrie descriptivă

Cu referire la spațiu , ortocentrul unui triunghi obținut ca o secțiune dreaptă a unui tetraedru K , este piciorul ortogonalului față de planul alfa al acestei secțiuni, condus de vârful V al lui K. Adică: proiecția ortogonală a lui V pe alfa .

Notă

^ Cercul Feuerbach a fost numit inițial cele nouă puncte, deoarece a intersectat punctele medii ale laturilor, picioarele înălțimilor și punctele medii pe înălțimea distanței dintre ortocentru și vârfurile triunghiului,

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « ortocentro »

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Ortocentro , în MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) Clark Kimberling, X ₄ , în Enciclopedia Centrelor de Triunghi , Universitatea din Evansville, 22 octombrie 2013.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Cercul Feuerbach a fost numit inițial cele nouă puncte, deoarece a intersectat punctele medii ale laturilor, picioarele înălțimilor și punctele medii pe înălțimea distanței dintre ortocentru și vârfurile triunghiului,

[1] se