Ortogonalizare Gram-Schmidt

În matematică și în special în algebră liniară , ortogonalizarea Gram-Schmidt este un algoritm care permite obținerea unui set de vectori ortogonali pornind de la un set generic de vectori liniar independenți într-un spațiu vectorial cu un produs scalar pozitiv definit . ^[1]

fundal

Procedura este denumită în onoarea matematicianului danez Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) și a matematicianului german Erhard Schmidt (1876-1959); cu toate acestea, a fost introdus mai devreme în studiile lor și se găsește în lucrările lui Laplace și Cauchy .

Când se implementează ortogonalizarea pe un computer , transformarea Householder este de obicei preferată procesului Gram-Schmidt, deoarece acesta este mai stabil din punct de vedere numeric, adică erorile cauzate de rotunjire sunt mai puține.

Algoritmul

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial real cu un produs scalar pozitiv definit . Lasa-i sa fie $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf {v}} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {v}} _ {n}$ vectori liniar independenți în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Se întoarce algoritmul Gram-Schmidt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori liniar independenți $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n}}$ ${\ mathbf {e}} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {e}} _ {n}$ astfel încât:

{\mbox{Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i})={\mbox{Span}}(\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{i})\qquad \forall i

{\ displaystyle {\ mbox {Span}} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {i}) = {\ mbox {Span}} (\ mathbf {e} _ { 1}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {i}) \ qquad \ forall i}

{\ mbox {Span}} ({\ mathbf {v}} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {v}} _ {i}) = {\ mbox {Span}} ({\ mathbf {e} } _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {e}} _ {i}) \ qquad \ forall i

Și:

\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle ={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}\qquad \|{e_{i}}\|=1\qquad \forall i

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {e} _ {i}, \ mathbf {e} _ {j} \ rangle = {\ begin {cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ neq j \ end {cases }} \ qquad \ | {e_ {i}} \ | = 1 \ qquad \ forall i}

\ langle {\ mathbf {e}} _ {i}, {\ mathbf {e}} _ {j} \ rangle = {\ begin {cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ neq j \ end { cazuri}} \ qquad \ | {e_ {i}} \ | = 1 \ qquad \ forall i

Cu alte cuvinte, vectorii returnați sunt ortonormali , iar primii $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ generează același sub spațiu ca primul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ vectori inițiali. ^[1]

Metodă

Proiecția ortogonală este funcția care „proiectează” vectorul $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ ortogonal pe $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ : ^[2]

\mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,(\mathbf {v} )={\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle  \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u} ,

{\ displaystyle \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \, (\ mathbf {v}) = {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle \ over \ langle \ mathbf {u }, \ mathbf {u} \ rangle} \ mathbf {u},}

\ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u}} \, (\ mathbf {v}) = {\ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {u} \ rangle \ over \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {u} \ rangle} \ mathbf {u},

Procedura Gram - Schmidt permite construirea unei baze ortogonale $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {u} _ {n}}$ ${\ mathbf u} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf u} _ {n}$ plecând de la o bază generică $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf v} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf v} _ {n}$ . A calcula $\mathbf {u} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ mathbf u} _ {i}$ este proiectat $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ ortogonal pe subspațiu $U_{i-1}$ ${\ displaystyle U_ {i-1}}$ $U _ {{i-1}}$ generat de $\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{i-1}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {u} _ {1}, \ mathbf {u} _ {2}, \ dots, \ mathbf {u} _ {i-1} \}}$ $\ {{\ mathbf u} _ {1}, {\ mathbf u} _ {2}, \ dots, {\ mathbf u} _ {{i-1}} \}$ . Se definește atunci $\mathbf {u} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ mathbf u} _ {i}$ ca diferență între $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ și această proiecție, astfel încât să se garanteze că este ortogonală la toți vectorii din subspațiu $U_{i-1}$ ${\ displaystyle U_ {i-1}}$ $U _ {{i-1}}$ . Apoi normalizarea bazei ortogonale (adică împărțirea fiecărui vector $\mathbf {u} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ mathbf u} _ {i}$ care o compune pentru propria sa normă $\|\mathbf {u} _{i}\|$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {u} _ {i} \ |}$ $\ | {\ mathbf u} _ {i} \ |$ ) se obține o bază ortonormală a spațiului. ^[3]

În special:

Primii doi pași ai algoritmului.

${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {v} _{1},&\mathbf {e} _{1}&={\mathbf {u} _{1} \over \|\mathbf {u} _{1}\|}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2}),&\mathbf {e} _{2}&={\mathbf {u} _{2} \over \|\mathbf {u} _{2}\|}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{3})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{3}),&\mathbf {e} _{3}&={\mathbf {u} _{3} \over \|\mathbf {u} _{3}\|}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{4})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{4})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{3}}\,(\mathbf {v} _{4}),&\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\,(\mathbf {v} _{k}),&\mathbf {e} _{k}&={\mathbf {u} _{k} \over \|\mathbf {u} _{k}\|}.\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} _ {1} & = \ mathbf {v} _ {1}, & \ mathbf {e} _ {1} & = {\ mathbf {u} _ { 1} \ over \ | \ mathbf {u} _ {1} \ |} \\\ mathbf {u} _ {2} & = \ mathbf {v} _ {2} - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {1}} \, (\ mathbf {v} _ {2}), & \ mathbf {e} _ {2} & = {\ mathbf {u} _ {2} \ over \ | \ mathbf {u} _ {2} \ |} \\\ mathbf {u} _ {3} & = \ mathbf {v} _ {3} - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {1}} \, (\ mathbf {v} _ {3}) - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {2}} \, (\ mathbf {v} _ {3}), și \ mathbf {e } _ {3} & = {\ mathbf {u} _ {3} \ over \ | \ mathbf {u} _ {3} \ |} \\\ mathbf {u} _ {4} & = \ mathbf {v } _ {4} - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {1}} \, (\ mathbf {v} _ {4}) - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {2}} \, (\ mathbf {v} _ {4}) - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {3}} \, (\ mathbf {v} _ {4}) și \ mathbf {e} _ {4} & = {\ mathbf {u} _ {4} \ over \ | \ mathbf {u} _ {4} \ |} \\ & {} \ \ \ vdots && {} \ \ \ vdots \\\ mathbf {u} _ {k} & = \ mathbf {v} _ {k} - \ sum _ {j = 1} ^ {k-1} \ mathrm {proj} _ {\ mathbf { u} _ {j}} \, (\ mathbf {v} _ {k}), & \ mathbf {e} _ {k} & = {\ mathbf {u} _ {k} \ over \ | \ mathbf { u} _ {k} \ |}. \ end {align}}}$ $\ begin {align} \ mathbf {u} _1 & = \ mathbf {v} _1, & \ mathbf {e} _1 & = {\ mathbf {u} _1 \ over \ | \ mathbf {u} _1 \ |} \ \ \ mathbf {u} _2 & = \ mathbf {v} _2- \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _1} \, (\ mathbf {v} _2), & \ mathbf {e} _2 & = {\ mathbf {u} _2 \ over \ | \ mathbf {u} _2 \ |} \\ \ mathbf {u} _3 & = \ mathbf {v} _3- \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _1 } \, (\ mathbf {v} _3) - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _2} \, (\ mathbf {v} _3), & \ mathbf {e} _3 & = {\ mathbf { u} _3 \ over \ | \ mathbf {u} _3 \ |} \\ \ mathbf {u} _4 & = \ mathbf {v} _4- \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _1} \, ( \ mathbf {v} _4) - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _2} \, (\ mathbf {v} _4) - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _3} \, ( \ mathbf {v} _4), & \ mathbf {e} _4 & = {\ mathbf {u} _4 \ over \ | \ mathbf {u} _4 \ |} \\ & {} \ \ \ vdots & & {} \ \ \ vdots \\ \ mathbf {u} _k & = \ mathbf {v} _k- \ sum_ {j = 1} ^ {k-1} \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _j} \, (\ mathbf {v} _k), & \ mathbf {e} _k & = {\ mathbf {u} _k \ over \ | \ mathbf {u} _k \ |}. \ end {align}$

unde este $\{\mathbf {e} _{i}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i} \}}$ $\ {{\ mathbf e} _ {i} \}$ este baza normalizată.

O verificare imediată a corectitudinii procedurii efectuate sau că a fost obținut un set de vectori ortogonali reciproc, este calculul produsului scalar între $\mathbf {u} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ mathbf u} _ {i}$ Și $\mathbf {e} _{j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$ ${\ mathbf e} _ {j}$ .

Generalizări

Procesul Gram-Schmidt se aplică și unei succesiuni infinite $\{\mathbf {v} _{i}\}_{i}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {i} \} _ {i}}$ $\ {{\ mathbf v} _ {i} \} _ {i}$ a vectorilor liniar independenți. Rezultatul este întotdeauna o succesiune $\{\mathbf {e} _{i}\}_{i}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i} \} _ {i}}$ $\ {{\ mathbf e} _ {i} \} _ {i}$ de vectori ortogonali și cu normă unitară, astfel încât:

{\mbox{Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i})={\mbox{Span}}(\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{i})\qquad \forall i

{\ displaystyle {\ mbox {Span}} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {i}) = {\ mbox {Span}} (\ mathbf {e} _ { 1}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {i}) \ qquad \ forall i}

{\ mbox {Span}} ({\ mathbf {v}} _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {v}} _ {i}) = {\ mbox {Span}} ({\ mathbf {e} } _ {1}, \ ldots, {\ mathbf {e}} _ {i}) \ qquad \ forall i

Scrierea prin intermediul determinantului

Rezultatul procedurii Gram-Schmidt poate fi exprimat nerecursiv folosind determinantul :

\mathbf {u} _{j}={\frac {1}{\sqrt {D_{j-1}D_{j}}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\dots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\dots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\dots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\dots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {j} = {\ frac {1} {\ sqrt {D_ {j-1} D_ {j}}}} {\ begin {vmatrix} \ langle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ rangle & \ langle \ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {1} \ rangle & \ dots & \ langle \ mathbf {v} _ {j}, \ mathbf {v} _ {1} \ rangle \\\ langle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2} \ rangle & \ langle \ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {2} \ rangle & \ dots & \ langle \ mathbf {v} _ {j}, \ mathbf {v} _ {2} \ rangle \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ langle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {j-1} \ rangle & \ langle \ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {j-1} \ rangle & \ dots & \ langle \ mathbf {v} _ {j}, \ mathbf {v} _ {j-1} \ rangle \\\ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ dots & \ mathbf {v} _ {j} \ end {vmatrix}}}

{\ mathbf {u}} _ {j} = {\ frac {1} {{\ sqrt {D _ {{j-1}} D_ {j}}}}} {\ begin {vmatrix} \ langle {\ mathbf {v}} _ {1}, {\ mathbf {v}} _ {1} \ rangle & \ langle {\ mathbf {v}} _ {2}, {\ mathbf {v}} _ {1} \ rangle & \ dots & \ langle {\ mathbf {v}} _ {j}, {\ mathbf {v}} _ {1} \ rangle \\\ langle {\ mathbf {v}} _ {1}, {\ mathbf {v}} _ {2} \ rangle & \ langle {\ mathbf {v}} _ {2}, {\ mathbf {v}} _ {2} \ rangle & \ dots & \ langle {\ mathbf {v }} _ {j}, {\ mathbf {v}} _ {2} \ rangle \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ langle {\ mathbf {v}} _ {1}, { \ mathbf {v}} _ {{j-1}} \ rangle & \ langle {\ mathbf {v}} _ {2}, {\ mathbf {v}} _ {{j-1}} \ rangle & \ dots & \ langle {\ mathbf {v}} _ {j}, {\ mathbf {v}} _ {{j-1}} \ rangle \\ {\ mathbf {v}} _ {1} & {\ mathbf {v}} _ {2} & \ dots & {\ mathbf {v}} _ {j} \ end {vmatrix}}

unde este $D_{0}=1$ ${\ displaystyle D_ {0} = 1}$ $D_ {0} = 1$ , si pentru $j\geq 1$ ${\ displaystyle j \ geq 1}$ $j \ geq 1$ matricea $D_{j}$ ${\ displaystyle D_ {j}}$ $D_ {j}$ este matricea Gram :

D_{j}={\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\dots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\dots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j}\rangle &\dots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j}\rangle \end{vmatrix}}

{\ displaystyle D_ {j} = {\ begin {vmatrix} \ langle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {1} \ rangle & \ langle \ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {1} \ rangle & \ dots & \ langle \ mathbf {v} _ {j}, \ mathbf {v} _ {1} \ rangle \\\ langle \ mathbf {v} _ {1 }, \ mathbf {v} _ {2} \ rangle & \ langle \ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {2} \ rangle & \ dots & \ langle \ mathbf {v} _ { j}, \ mathbf {v} _ {2} \ rangle \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ langle \ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {j} \ rangle & \ langle \ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {j} \ rangle & \ dots & \ langle \ mathbf {v} _ {j}, \ mathbf {v} _ {j } \ rangle \ end {vmatrix}}}

D_ {j} = {\ begin {vmatrix} \ langle {\ mathbf {v}} _ {1}, {\ mathbf {v}} _ {1} \ rangle & \ langle {\ mathbf {v}} _ { 2}, {\ mathbf {v}} _ {1} \ rangle & \ dots & \ langle {\ mathbf {v}} _ {j}, {\ mathbf {v}} _ {1} \ rangle \\\ langle {\ mathbf {v}} _ {1}, {\ mathbf {v}} _ {2} \ rangle & \ langle {\ mathbf {v}} _ {2}, {\ mathbf {v}} _ { 2} \ rangle & \ dots & \ langle {\ mathbf {v}} _ {j}, {\ mathbf {v}} _ {2} \ rangle \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ \ langle {\ mathbf {v}} _ {1}, {\ mathbf {v}} _ {j} \ rangle & \ langle {\ mathbf {v}} _ {2}, {\ mathbf {v}} _ {j} \ rangle & \ dots & \ langle {\ mathbf {v}} _ {j}, {\ mathbf {v}} _ {j} \ rangle \ end {vmatrix}}

Exemplu

Având în vedere vectorii $\mathbf {v} _{1}=(3,1)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = (3,1)}$ ${\ mathbf {v}} _ {1} = (3,1)$ Și $\mathbf {v} _{2}=(2,2)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = (2,2)}$ ${\ mathbf {v}} _ {2} = (2,2)$ în planul euclidian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ echipat cu produsul scalar standard, aplicând procedura Gram-Schmidt avem:

\mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} = \ mathbf {v} _ {1}}

{\ mathbf {u}} _ {1} = {\ mathbf {v}} _ {1}

\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2})=(2,2)-\mathrm {proj} _{(3,1)}\,{(2,2)}=(-2/5,6/5)

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {2} = \ mathbf {v} _ {2} - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {1}} (\ mathbf {v} _ {2} ) = (2,2) - \ mathrm {proj} _ {(3,1)} \, {(2,2)} = (- 2 / 5,6 / 5)}

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {2} = \ mathbf {v} _ {2} - \ mathrm {proj} _ {\ mathbf {u} _ {1}} (\ mathbf {v} _ {2} ) = (2,2) - \ mathrm {proj} _ {(3,1)} \, {(2,2)} = (- 2 / 5,6 / 5)}

obținerea vectorilor $\mathbf {u} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1}}$ ${\ mathbf {u}} _ {1}$ Și $\mathbf {u} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {2}}$ ${\ mathbf {u}} _ {2}$ care sunt ortogonale între ele, așa cum arată produsul lor cu puncte:

\langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle (3,1),(-2/5,6/5)\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {u} _ {1}, \ mathbf {u} _ {2} \ rangle = \ left \ langle (3,1), (- 2 / 5,6 / 5) \ right \ rangle = - {\ frac {6} {5}} + {\ frac {6} {5}} = 0}

\ langle {\ mathbf {u}} _ {1}, {\ mathbf {u}} _ {2} \ rangle = \ left \ langle (3,1), (- 2 / 5,6 / 5) \ right \ rangle = - {\ frac 65} + {\ frac 65} = 0

Notă

^ ^a ^b Hoffman, Kunze , p . 280 .
^ S. Lang , pagina 152 .
^ S. Lang , pagina 154 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
( EN ) FR Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, retipărire (1977)
(EN) AG Kurosh, Algebra superioară, MIR (1972)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) IV Proskuryakov, Orthogonalization , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Tutorial de matematică Harvey Mudd College pe algoritmul Gram-Schmidt (PDF) pe math.hmc.edu. Adus la 18 februarie 2015 (arhivat din original la 2 aprilie 2016) .
(EN) Cele mai vechi utilizări cunoscute ale unora dintre cuvintele matematicii: G , din jeff560.tripod.com.
( EN ) Applet de ortogonalizare Gram-Schmidt , pe math.ucla.edu .
( EN ) NAG Gram - Schmidt ortogonalizarea a n vectori de ordin m rutină , la nag.co.uk.
(EN) Dovadă: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. „dovada algoritmului de ortogonalizare Gram-Schmidt” (versiunea 8). PlanetMath.org.
( EN ) Procesul Gram Schmidt în plan , pe bigsigma.com . Adus la 18 februarie 2015 (arhivat din original la 7 mai 2009) .
( EN ) Procesul Gram Schmidt în spațiu , pe bigsigma.com . Adus la 18 februarie 2015 (arhivat din original la 7 mai 2009) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[inner-1] Hoffman, Kunze , p . 280 .

[2] S. Lang , pagina 152 .

[3] S. Lang , pagina 154 .

[1]

[2]

[3]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema