Mișcare armonică

În fizică , mișcarea armonică este mișcarea diferită descrisă de un oscilator armonic , adică un sistem mecanic care reacționează la o perturbare a echilibrului cu o accelerație de rechemare $a_{x}=d^{2}x/dt^{2}$ ${\ displaystyle a_ {x} = d ^ {2} x / dt ^ {2}}$ $a_ {x} = d ^ {2} x / dt ^ {2}$ proporțional cu mișcarea suferită $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Constanta proporționalității este întotdeauna negativă și, prin urmare, poate fi înțeleasă, ca orice număr real negativ, ca opusul unui pătrat cu un alt număr constant $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , numită pulsație , atât de indicată, deoarece este similară din punct de vedere dimensional cu viteza unghiulară . Prin urmare, ecuația mișcării unui oscilator armonic este:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} x}

{\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} x

La nivel dinamic , o cauză posibilă este forța lui Hooke :

F_{H}=-kx\,

{\ displaystyle F_ {H} = - kx \,}

F_ {H} = - kx \,

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este o constantă pozitivă (numită rigiditate sau constantă elastică) care rezultă, luând în considerare principiul proporționalității lui Newton, din relația:

k=m\omega ^{2}

{\ displaystyle k = m \ omega ^ {2}}

k = m \ omega ^ {2}

De sine $F_{H}$ ${\ displaystyle F_ {H}}$ $F_ {H}$ este singura forță de acțiune, sistemul se numește oscilator armonic simplu (sau natural) cu ecuație de mișcare egală cu cea menționată mai sus: mișcare armonică simplă are oscilații sinusoidale în jurul punctului de echilibru, cu amplitudine și frecvență constante (numite naturale ).

Exemple mecanice de oscilatoare armonice simple sunt pendulul simplu (pentru unghiuri mici de oscilație) și masa legată de un arc . Exemple de sisteme analoage, în afara mecanicii, sunt sistemele acustice vibrante și oscilatoarele armonice electrice, inclusiv circuitele RLC .

Trebuie amintit că există și alte tipuri de oscilatoare anarmonice sau neliniare, printre care cel al lui Van der Pol are o importanță deosebită.

Mișcare armonică liberă simplă

Spring în mișcare: oscilator armonic simplu

Mișcarea armonică liberă simplă se mai numește mișcare armonică naturală : este o oscilație sinusoidală cu pulsație $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ . Această mișcare este periodică . Poziția unui corp care oscilează în funcție de mișcare armonică simplă, cu originea sistemului de referință poziționat în punctul în jurul căruia se produce oscilația, poate fi descrisă printr-o funcție sinusoidală de amplitudine și fază constantă: ^[1]

x(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \right)

{\ displaystyle x (t) = A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right)}

x (t) = A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right)

(legea orară pentru mișcarea unidimensională de-a lungul axei

X

{\ displaystyle x}

X

)

Perioada leagănului este $T={\frac {2\pi }{\omega }}$ ${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}}$ $T = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}}$ (adică intervalul de timp dintre două oscilații), ^{[2] în} timp ce $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt respectiv amplitudinea oscilației și constanta de fază (care depind de poziție $x(0)$ ${\ displaystyle x (0)}$ $x (0)$ și viteza inițială $v_{x}(0)$ ${\ displaystyle v_ {x} (0)}$ $v_ {x} (0)$ mişcare).

Viteza și accelerația sunt respectiv prima și a doua derivată a legii orare , adică: ^[2]

v_{x}(t)=-\omega A\sin \left(\omega t+\phi \right)=\omega A\cos \left(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}}\right)

{\ displaystyle v_ {x} (t) = - \ omega A \ sin \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega A \ cos \ left (\ omega t + \ phi + {\ frac {\ pi} {2}} \ right)}

{\ displaystyle v_ {x} (t) = - \ omega A \ sin \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega A \ cos \ left (\ omega t + \ phi + {\ frac {\ pi} {2}} \ right)}

(derivat înainte de legea orară)

a_{x}(t)=-\omega ^{2}A\cos \left(\omega t+\phi \right)=\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi +\pi )

{\ displaystyle a_ {x} (t) = - \ omega ^ {2} A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega ^ {2} A \ cos (\ omega t + \ phi + \ pi)}

{\ displaystyle a_ {x} (t) = - \ omega ^ {2} A \ cos \ left (\ omega t + \ phi \ right) = \ omega ^ {2} A \ cos (\ omega t + \ phi + \ pi)}

(al doilea derivat al legii orare)

Constantele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt determinate prin impunerea condițiilor inițiale și rezolvarea sistemului de ecuații

x(0)=A\cos \phi \qquad v_{x}(0)=-A\omega \sin \phi

{\ displaystyle x (0) = A \ cos \ phi \ qquad v_ {x} (0) = - A \ omega \ sin \ phi}

{\ displaystyle x (0) = A \ cos \ phi \ qquad v_ {x} (0) = - A \ omega \ sin \ phi}

care admite soluții

A^{2}=x(0)^{2}+{\frac {v_{x}(0)^{2}}{\omega ^{2}}}\qquad \tan \phi =-{\frac {v_{x}(0)}{x(0)\omega }}

{\ displaystyle A ^ {2} = x (0) ^ {2} + {\ frac {v_ {x} (0) ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ qquad \ tan \ phi = - {\ frac {v_ {x} (0)} {x (0) \ omega}}}

{\ displaystyle A ^ {2} = x (0) ^ {2} + {\ frac {v_ {x} (0) ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ qquad \ tan \ phi = - {\ frac {v_ {x} (0)} {x (0) \ omega}}}

Mișcare circulară și mișcare armonică

Energia cinetică $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ a sistemului instantaneu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ' Și:

K(t)={\frac {1}{2}}mv_{x}(t)^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi ),

{\ displaystyle K (t) = {\ frac {1} {2}} mv_ {x} (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} A ^ { 2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi) = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi),}

K (t) = {\ frac {1} {2}} mv_ {x} (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} A ^ {2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi) = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ sin ^ {2} (\ omega t + \ phi),

în timp ce energia potențială poate fi scrisă ca:

U(t)={\frac {1}{2}}kx(t)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi ).

{\ displaystyle U (t) = {\ frac {1} {2}} kx (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ cos ^ {2} (\ omega t + \ phi).}

U (t) = {\ frac {1} {2}} kx (t) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2} \ cos ^ {2} (\ omega t + \ phi).

Prin urmare, energia mecanică totală a sistemului este o primă integrală a mișcării , adică constanta sa:

E=K+U={\frac {1}{2}}kA^{2}.

{\ displaystyle E = K + U = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2}.}

E = K + U = {\ frac {1} {2}} kA ^ {2}.

Mișcarea armonică simplă poate fi generalizată prin compunerea ei într-un mod multidimensional: în special rezultă pe orice pereche de axe cartesiene care compun mișcarea circulară uniformă în plan :

\left\{{\begin{array}{l}x=-{\frac {a_{x}}{\omega ^{2}}}\\\quad \\y=-{\frac {a_{y}}{\omega ^{2}}}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x^{2}={\frac {a_{x}^{2}}{\omega ^{4}}}\\\quad \\y^{2}={\frac {a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}\end{array}}\right.\Rightarrow r^{2}=x^{2}+y^{2}={\frac {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}={\frac {a^{2}}{\omega ^{4}}}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x = - {\ frac {a_ {x}} {\ omega ^ {2}}} \\\ quad \\ y = - {\ frac { a_ {y}} {\ omega ^ {2}}} \ end {array}} \ right. \ Rightarrow \ left \ {{\ begin {array} {l} x ^ {2} = {\ frac {a_ { x} ^ {2}} {\ omega ^ {4}}} \\\ quad \\ y ^ {2} = {\ frac {a_ {y} ^ {2}} {\ omega ^ {4}}} \ end {array}} \ right. \ Rightarrow r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {a_ {x} ^ {2} + a_ {y} ^ {2} } {\ omega ^ {4}}} = {\ frac {a ^ {2}} {\ omega ^ {4}}}}

\ left \ {{\ begin {array} {l} x = - {{\ frac {a _ {{x}}} {\ omega ^ {{2}}}}} \\\ quad \\ y = - {{\ frac {a _ {{y}}} {\ omega ^ {{2}}}}} \ end {array}} \ right. \ Rightarrow \ left \ {{\ begin {array} {l} x ^ {{2}} = {{\ frac {a _ {{x}} ^ {{2}}} {\ omega ^ {{4}}}}} \\\ quad \\ y ^ {{2} } = {{\ frac {a _ {{y}} ^ {{2}}} {\ omega ^ {{4}}}}} \ end {array}} \ right. \ Rightarrow r ^ {{2} } = x ^ {{2}} + y ^ {{2}} = {{\ frac {a _ {{x}} ^ {{2}} + a _ {{y}} ^ {{2}} } {\ omega ^ {{4}}}}} = {{\ frac {a ^ {{2}}} {\ omega ^ {{4}}}}}

Această ultimă relație este valabilă tocmai pentru o mișcare circulară uniformă (și nu pentru orice mișcare circulară ).

O demonstrație analogă pe care nu o prezentăm aici poate fi făcută pentru a generaliza această mișcare tridimensională prin compunerea ei cu trei mișcări armonice simple pe axele carteziene ale spațiului tridimensional și făcând amplitudinea diferită una de cealaltă, cu rezultatul o mișcare eliptică .

Mișcare armonică liberă amortizată

Arc primar

Mișcarea armonică liberă amortizată se mai numește mișcare armonică amortizată . În studiul fenomenelor fizice reale, corpurile în mișcare sunt de obicei supuse amortizării, de obicei direct proporționale cu viteza $F_{S}=-c{\frac {dx}{dt}}$ ${\ displaystyle F_ {S} = - c {\ frac {dx} {dt}}}$ ${\ displaystyle F_ {S} = - c {\ frac {dx} {dt}}}$ (amortizare vâscoasă).

Prin plasare $\omega _{S}={c \over m}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S} = {c \ peste m}}$ $\ omega _ {S} = {c \ peste m}$ Și $\omega _{N}={\sqrt {k \over m}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {N} = {\ sqrt {k \ peste m}}}$ $\ omega _ {N} = {\ sqrt {k \ peste m}}$ , avem:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{S}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{N}^{2}x=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {S} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = 0}

{\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {S} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = 0

Pentru a obține soluția unei ecuații diferențiale liniare este necesar în primul rând să rezolvăm ecuația de gradul doi cu valorile proprii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ asociat:

\lambda ^{2}+\omega _{S}\lambda +\omega _{N}^{2}=0\

{\ displaystyle \ lambda ^ {2} + \ omega _ {S} \ lambda + \ omega _ {N} ^ {2} = 0 \}

\ lambda ^ {2} + \ omega _ {S} \ lambda + \ omega _ {N} ^ {2} = 0 \

obținerea $\Delta =\omega _{S}^{2}-4\omega _{N}^{2}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}$ $\ Delta = \ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}$

care dă cele două rădăcini (valori proprii):

\lambda _{1}=-{\omega _{S}-{\sqrt {\Delta }} \over 2}=-{\omega _{S} \over 2}-{1 \over 2}{\sqrt {\omega _{S}^{2}-4\omega _{N}^{2}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = - {\ omega _ {S} - {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} - {1 \ over 2 } {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}}

\ lambda _ {1} = - {\ omega _ {S} - {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} - {1 \ over 2} {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}

\lambda _{2}=-{\omega _{S}+{\sqrt {\Delta }} \over 2}=-{\omega _{S} \over 2}+{1 \over 2}{\sqrt {\omega _{S}^{2}-4\omega _{N}^{2}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {2} = - {\ omega _ {S} + {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} + {1 \ over 2 } {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}}

\ lambda _ {2} = - {\ omega _ {S} + {\ sqrt {\ Delta}} \ over 2} = - {\ omega _ {S} \ over 2} + {1 \ over 2} {\ sqrt {\ omega _ {S} ^ {2} -4 \ omega _ {N} ^ {2}}}

Rețineți că ambele soluții au o parte reală negativă.

Distingem trei cazuri:

subamortizare $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ $\ Delta <0$
amortizare critică $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$
supra-amortizare $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ $\ Delta> 0$

Subamortizare $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ $\ Delta <0$

Este cazul care apare dacă $\omega _{S}<2\omega _{N}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S} <2 \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {S} <2 \ omega _ {N}$ ; sistemul reușește să facă oscilații în jurul poziției de echilibru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ . Într-adevăr, în acest caz rădăcinile $\lambda _{1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ Și $\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$ sunt complexe (argumentul rădăcină fiind negativ); aceasta implică faptul că soluția ecuației diferențiale conține un termen cu exponențială complexă, care folosind identitatea lui Euler reprezintă un termen "oscilant". Termenul real al rădăcinii, ca negativ, se referă la amortizarea oscilației.

Plasarea pulsației efective $\omega ={\frac {1}{2}}{\sqrt {4\omega _{N}^{2}-\omega _{S}^{2}}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4 \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {S} ^ {2}}}}$ $\ omega = {\ frac 12} {\ sqrt {4 \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {S} ^ {2}}}$ soluția este legea orară:

x(t)=e^{-{\omega _{S} \over 2}t}(A_{1}\cos \omega t+A_{2}\sin \omega t)

{\ displaystyle x (t) = e ^ {- {\ omega _ {S} \ over 2} t} (A_ {1} \ cos \ omega t + A_ {2} \ sin \ omega t)}

x (t) = e ^ {{- {\ omega _ {S} \ over 2} t}} (A_ {1} \ cos \ omega t + A_ {2} \ sin \ omega t)

Deci este în mod clar o oscilație de frecvență $\omega \over 2\pi$ ${\ displaystyle \ omega \ over 2 \ pi}$ ${\ omega \ over 2 \ pi}$ , a cărei amplitudine scade exponențial în timp: vezi și graficul.

Rețineți din nou că pulsația de oscilație în cazul amortizării mici este întotdeauna mai mică decât pulsația naturală, adică la care sistemul ar oscila neafectat de frecare vâscoasă. Pe de altă parte, aceasta are un sens fizic evident: prezența vâscozității încetinește continuu mișcarea oscilatorului.

Amortizare critică $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$

Apare când $\omega _{S}=2\omega _{N}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S} = 2 \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {S} = 2 \ omega _ {N}$ ; în acest caz de când $\lambda _{1}=\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}$ (ceea ce vom spune pur și simplu $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ) soluția ecuației diferențiale a mișcării dă legea orară:

x(t)=(A_{1}+A_{2}t)e^{-{\omega _{S} \over 2}t}

{\ displaystyle x (t) = (A_ {1} + A_ {2} t) și ^ {- {\ omega _ {S} \ over 2} t}}

x (t) = (A_ {1} + A_ {2} t) și ^ {{- {\ omega _ {S} \ over 2} t}}

și încă o dată constantele $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ acestea trebuie determinate de condițiile inițiale, în analogie cu cazul supra-amortizării; legea orară devine astfel, prin impunerea condițiilor inițiale adecvate:

x(t)=\left(x_{0}+v_{0}t+{\omega _{S}x_{0}t \over 2}\right)e^{-{\omega _{S} \over 2}t}

{\ displaystyle x (t) = \ left (x_ {0} + v_ {0} t + {\ omega _ {S} x_ {0} t \ over 2} \ right) și ^ {- {\ omega _ { S} \ peste 2} t}}

x (t) = \ left (x_ {0} + v_ {0} t + {\ omega _ {S} x_ {0} t \ over 2} \ right) și ^ {{- {\ omega _ {S} \ peste 2} t}}

După cum se poate vedea din figură, sistemul, deși este capabil să inițieze prima oscilație, îl vede diminuând, completându-l doar la infinit.

\lim _{t\to \infty }x=0

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} x = 0}

\ lim _ {{t \ to \ infty}} x = 0

Este un caz remarcabil, deoarece returnează rata maximă de amortizare și este utilizat ca atare în instrumentele de măsurare analogice, cum ar fi galvanometrele .

Supraamortizare $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ $\ Delta> 0$

Apare când $\omega _{S}>2\omega _{N}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S}> 2 \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {S}> 2 \ omega _ {N}$ ; în acest caz, soluția ecuației diferențiale a mișcării oferă legea orară:

x(t)=A_{1}e^{-|\lambda _{1}|t}+A_{2}e^{-|\lambda _{2}|t}

{\ displaystyle x (t) = A_ {1} e ^ {- | \ lambda _ {1} | t} + A_ {2} e ^ {- | \ lambda _ {2} | t}}

x (t) = A_ {1} e ^ {{- | \ lambda _ {1} | t}} + A_ {2} e ^ {{- | \ lambda _ {2} | t}}

Constantele $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ sunt determinate prin impunerea că soluția îndeplinește condițiile inițiale

x(0)=x_{0}\

{\ displaystyle x (0) = x_ {0} \}

x (0) = x_ {0} \

Și

{\dot {x}}(0)=v_{0}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = v_ {0}}

{\ dot x} (0) = v_ {0}

sau că în momentul inițial punctul se află în poziția de alungire și cu o viteză egală cu cele inițiale cunoscute. Primesti:

A_{1}={v_{0}+x_{0}|\lambda _{1}| \over |\lambda _{1}|-|\lambda _{2}|}

{\ displaystyle A_ {1} = {v_ {0} + x_ {0} | \ lambda _ {1} | \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}}

A_ {1} = {v_ {0} + x_ {0} | \ lambda _ {1} | \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}

A_{2}={-x_{0}|\lambda _{2}|-v_{0} \over |\lambda _{1}|-|\lambda _{2}|}

{\ displaystyle A_ {2} = {- x_ {0} | \ lambda _ {2} | -v_ {0} \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}}

A_ {2} = {- x_ {0} | \ lambda _ {2} | -v_ {0} \ over | \ lambda _ {1} | - | \ lambda _ {2} |}

Din punct de vedere fizic, această soluție indică faptul că amortizarea vâscoasă este atât de mare încât să prevină orice oscilație a punctului în jurul poziției de echilibru. $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

Mișcare armonică forțată simplă

Mișcarea armonică forțată simplă se mai numește mișcare armonică rezonantă . Vrem acum să demonstrăm modul în care o accelerație cu variație temporală sinusoidală $~a_{F}=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)$ ${\ displaystyle ~ a_ {F} = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t)}$ $~ a_ {F} = a _ {{F0}} \ cos (\ omega _ {F} t)$ provoacă un leagăn forțat. Ecuația mișcării este deci:

{\ddot {x}}=a_{F}+a_{H}=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)-\omega _{N}^{2}x\quad \rightarrow \quad {\ddot {x}}+\omega _{N}^{2}x=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)

{\ displaystyle {\ ddot {x}} = a_ {F} + a_ {H} = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t) - \ omega _ {N} ^ {2} x \ quad \ rightarrow \ quad {\ ddot {x}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t)}

{\ ddot x} = a_ {F} + a_ {H} = a _ {{F0}} \ cos (\ omega _ {F} t) - \ omega _ {N} ^ {2} x \ quad \ rightarrow \ quad {\ ddot x} + \ omega _ {N} ^ {2} x = a _ {{F0}} \ cos (\ omega _ {F} t)

Amplitudinea oscilațiilor este determinată de:

A={\frac {a_{F0}}{\omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {a_ {F0}} {\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}}}}

A = {\ frac {a _ {{F0}}} {\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}}}

Forțarea afectează prin doi parametri:

așa-numita deplasare statică , variația amplitudinii inițiale care ar fi singura dacă accelerația ar fi constant la _F0 :

A_{N}={\frac {a_{F0}}{\omega _{N}^{2}}}

{\ displaystyle A_ {N} = {\ frac {a_ {F0}} {\ omega _ {N} ^ {2}}}}

A_ {N} = {\ frac {a _ {{F0}}} {\ omega _ {N} ^ {2}}}

,

amplificarea dinamică , care reprezintă creșterea relativă suferită de deplasarea statică datorită variației forței în timp.

La început, corpul își menține frecvența naturală de oscilație $\omega _{N}$ ${\ displaystyle \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {N}$ , dar este treptat obligat să urmeze frecvența $\omega _{F}$ ${\ displaystyle \ omega _ {F}}$ $\ omega _ {F}$ impuse de forța externă și, prin urmare, dobândește amplitudinea și legea orară la ciclul limită :

A_{F}={\frac {a_{F0}}{\omega _{F}^{2}}}

{\ displaystyle A_ {F} = {\ frac {a_ {F0}} {\ omega _ {F} ^ {2}}}}

A_ {F} = {\ frac {a _ {{F0}}} {\ omega _ {F} ^ {2}}}

,

x=A\cos(\omega _{F}t)

{\ displaystyle x = A \ cos (\ omega _ {F} t)}

x = A \ cos (\ omega _ {F} t)

substituind în ecuația mișcării:

-A\omega _{F}^{2}\cos(\omega _{F}t)+\omega _{N}^{2}A\cos(\omega _{F}t)=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)

{\ displaystyle -A \ omega _ {F} ^ {2} \ cos (\ omega _ {F} t) + \ omega _ {N} ^ {2} A \ cos (\ omega _ {F} t) = a_ {F0} \ cos (\ omega _ {F} t)}

-A \ omega _ {F} ^ {2} \ cos (\ omega _ {F} t) + \ omega _ {N} ^ {2} A \ cos (\ omega _ {F} t) = a _ { {F0}} \ cos (\ omega _ {F} t)

-A\omega _{F}^{2}+A\omega _{N}^{2}=a_{F0}

{\ displaystyle -A \ omega _ {F} ^ {2} + A \ omega _ {N} ^ {2} = a_ {F0}}

-A \ omega _ {F} ^ {2} + A \ omega _ {N} ^ {2} = a _ {{F0}}

A\left(\omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2}\right)=a_{F0}

{\ displaystyle A \ left (\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2} \ right) = a_ {F0}}

A \ left (\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2} \ right) = a _ {{F0}}

qed

Din această relație este evident că există și trei comportamente pentru mișcarea forțată, de această dată pe baza relației dintre frecvențe.

Sub forțare

$\omega _{F}\ll \omega _{N}\quad \Rightarrow \quad A\to A_{N}$ ${\ displaystyle \ omega _ {F} \ ll \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to A_ {N}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {F} \ ll \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to A_ {N}}$ ( rezonanță armonică defazată : distrugătoare descrescătoare cu raportul)

Forțare critică

$\omega _{F}=\omega _{N}\quad \Rightarrow \quad A\to \infty$ ${\ displaystyle \ omega _ {F} = \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to \ infty}$ $\ omega _ {F} = \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to \ infty$ (rezonanță de amortizare armonică)

Surmenaj

$\omega _{F}\gg \omega _{N}\quad \Rightarrow \quad A\to 0$ ${\ displaystyle \ omega _ {F} \ gg \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to 0}$ $\ omega _ {F} \ gg \ omega _ {N} \ quad \ Rightarrow \ quad A \ to 0$ (rezonanță armonică în fază: creștere constructivă cu raportul)

Mișcare armonică forțată amortizată

Mișcarea armonică forțată amortizată este, de asemenea, numită mișcare armonică generică , deoarece este cel mai general caz. Acesta este cazul văzut în secțiunea anterioară, în plus cu un termen oscilant care depinde sinusoidal de timp și, furnizând energie sistemului, se opune revenirii sale la poziția de echilibru. $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ :

{\ddot {x}}+\omega _{S}{\dot {x}}+\omega _{N}^{2}x={a_{0F}}\cos(\omega _{F}t)

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ omega _ {S} {\ dot {x}} + \ omega _ {N} ^ {2} x = {a_ {0F}} \ cos (\ omega _ { F} t)}

{\ ddot x} + \ omega _ {S} {\ dot x} + \ omega _ {N} ^ {2} x = {a _ {{0F}}} \ cos (\ omega _ {F} t)

Încă o dată ne referim la teoria ecuațiilor diferențiale de ordinul doi pentru soluție: următoarea este legea orară a alungirii $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

x(t)=Ae^{-{\omega _{S} \over 2}t}\cos(\omega _{S}t+\phi )+B\cos(\omega _{F}t-\delta )

{\ displaystyle x (t) = Ae ^ {- {\ omega _ {S} \ over 2} t} \ cos (\ omega _ {S} t + \ phi) + B \ cos (\ omega _ {F} t - \ delta)}

x (t) = Ae ^ {{- {\ omega _ {S} \ over 2} t}} \ cos (\ omega _ {S} t + \ phi) + B \ cos (\ omega _ {F} t - \ delta)

unde este:

\delta =\arctan \left({\omega _{S}\omega _{F} \over \omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2}}\right)

{\ displaystyle \ delta = \ arctan \ left ({\ omega _ {S} \ omega _ {F} \ over \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}} \ right )}}

\ delta = \ arctan \ left ({\ omega _ {S} \ omega _ {F} \ over \ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}} \ right)

B={a_{0} \over {\sqrt {(\omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2})^{2}+\omega _{S}^{2}\omega _{F}^{2}}}}

{\ displaystyle B = {a_ {0} \ over {\ sqrt {(\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}) ^ {2} + \ omega _ {S} ^ {2} \ omega _ {F} ^ {2}}}}}

{\ displaystyle B = {a_ {0} \ over {\ sqrt {(\ omega _ {N} ^ {2} - \ omega _ {F} ^ {2}) ^ {2} + \ omega _ {S} ^ {2} \ omega _ {F} ^ {2}}}}}

Observați că mișcarea totală este suma celor două mișcări discutate mai sus: una oscilantă amortizată cu o anumită pulsație $\omega _{S}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ și unul forțat de amplitudine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și pulsație $\omega _{F}$ ${\ displaystyle \ omega _ {F}}$ $\ omega _ {F}$ .
Prin urmare, sistemul are un tranzitoriu oscilant inițial care dispare exponențial în timp, dând loc unei oscilații pure cu amplitudine constantă; această oscilație este în esență determinată de forța externă și prezintă o schimbare de fază cu aceasta. Dacă rezistență vâscoasă $\omega _{S}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ devine din ce în ce mai mică, amplitudinea maximă $B_{max}$ ${\ displaystyle B_ {max}}$ $B _ {{max}}$ crește din ce în ce mai mult (având tendința la infinit pentru $\omega _{S}$ ${\ displaystyle \ omega _ {S}}$ $\ omega _ {S}$ care tinde spre zero). Vorbim apoi de o schimbare de fază .

Curba de fază spre dreapta (curba funcției $\delta \left(\omega _{f}\right)$ ${\ displaystyle \ delta \ left (\ omega _ {f} \ right)}$ $\ delta \ left (\ omega _ {f} \ right)$ ) arată că alungirea și accelerația nu sunt niciodată în fază decât în cazul degenerat în care $\omega _{F}=0$ ${\ displaystyle \ omega _ {F} = 0}$ $\ omega _ {F} = 0$ adică a mișcării armonice amortizate). Pentru $\omega _{F}=\omega _{N}$ ${\ displaystyle \ omega _ {F} = \ omega _ {N}}$ $\ omega _ {F} = \ omega _ {N}$ (în rezonanță ), alungirea se spune că se află în cvadratură de fază cu forța externă.

Sisteme echivalente

Oscilatoarele armonice apar într-o vastitate de zone fizice: aici prezentăm un tabel care prezintă analogiile dintre cantitățile a patru oscilatoare armonice mecanice și electronice . Prin urmare, dacă au cantități corespunzătoare egale, atunci comportamentele lor vor fi aceleași, adică frecvența de rezonanță, factorul de amortizare etc.

Mecanic translațional ^[3]	Mecanic de rotație ^[3]	Circuit RLC în serie	Circuitul RLC în paralel
Poziţie $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$	Unghi $\theta \,\!$ ${\ displaystyle \ theta \, \!}$ $\ theta \, \!$	Sarcină $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$	Tensiunea electrică ${\mathcal {V}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ mathcal {V}}$
Viteză $v={\frac {dx}{dt}}$ ${\ displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}$ ${\ displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}$	Viteza unghiulară $\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}}$ ${\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}}}$	Intensitatea curentului $i={\frac {dq}{dt}}$ ${\ displaystyle i = {\ frac {dq} {dt}}}$ ${\ displaystyle i = {\ frac {dq} {dt}}}$	Schimbarea tensiunii ${\frac {d{\mathcal {V}}}{dt}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {V}}} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {V}}} {dt}}}$
Masa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$	Moment de inerție $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$	Inductanţă $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$	Capacitate $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$
Constanta elastică longitudinală $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$	Constanta elastică de torsiune $k_{\tau }$ ${\ displaystyle k _ {\ tau}}$ ${\ displaystyle k _ {\ tau}}$	Elante $\Pi =C^{-1}$ ${\ displaystyle \ Pi = C ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ Pi = C ^ {- 1}}$	Disuadare $\Lambda =L^{-1}$ ${\ displaystyle \ Lambda = L ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ Lambda = L ^ {- 1}}$
Coeficient de amortizare $\gamma ={\frac {m}{\tau }}$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {m} {\ tau}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {m} {\ tau}}}$	Coeficient de amortizare a rotației $\Gamma ={\frac {I}{\tau }}$ ${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {I} {\ tau}}}$ ${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {I} {\ tau}}}$	Rezistență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$	Conductanța $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$
Forța motrice $F_{(t)}=F_{0}\cos \omega t$ ${\ displaystyle F _ {(t)} = F_ {0} \ cos \ omega t}$ ${\ displaystyle F _ {(t)} = F_ {0} \ cos \ omega t}$	Momentul de conducere $M_{(t)}=M_{0}\cos \omega t$ ${\ displaystyle M _ {(t)} = M_ {0} \ cos \ omega t}$ ${\ displaystyle M _ {(t)} = M_ {0} \ cos \ omega t}$	Tensiunea electrică ${\mathcal {V}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ mathcal {V}}$	Variația curentă ${\frac {di}{dt}}$ ${\ displaystyle {\ frac {di} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {di} {dt}}}$
Frecvență rezonantă neamortizată $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ :
${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k_{\tau }}{I}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k _ {\ tau}} {I}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k _ {\ tau}} {I}}}}$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}}}$ $\ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {1} {LC}}$
Ecuație diferențială:
$m{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+kx=F_{(t)}$ ${\ displaystyle m {\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + kx = F _ {(t)}}$ ${\ displaystyle m {\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + kx = F _ {(t)}}$	$I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+k_{\tau }\theta =M_{(t)}$ ${\ displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + \ Gamma {\ dot {\ theta}} + k _ {\ tau} \ theta = M _ {(t)}}$ ${\ displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + \ Gamma {\ dot {\ theta}} + k _ {\ tau} \ theta = M _ {(t)}}$	$L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+\Pi q={\mathcal {V}}$ ${\ displaystyle L {\ ddot {q}} + R {\ dot {q}} + \ Pi q = {\ mathcal {V}}}$ ${\ displaystyle L {\ ddot {q}} + R {\ dot {q}} + \ Pi q = {\ mathcal {V}}}$	$C{\ddot {\mathcal {V}}}+G{\dot {\mathcal {V}}}+\Lambda {\mathcal {V}}={\dot {(i)}}$ ${\ displaystyle C {\ ddot {\ mathcal {V}}} + G {\ dot {\ mathcal {V}}} + \ Lambda {\ mathcal {V}} = {\ dot {(i)}}}$ ${\ displaystyle C {\ ddot {\ mathcal {V}}} + G {\ dot {\ mathcal {V}}} + \ Lambda {\ mathcal {V}} = {\ dot {(i)}}}$

Notă

^ Mazzoldi , p. 18 .
^ ^a ^b Mazzoldi , p. 19 .
^ ^a ^b Aceste modele pot fi valabile și în cazul pendulului simplu cu șir lung $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Pentru a obține ecuația diferențială asociată în cazul translațional, trebuie să se ia în considerare faptul că acolo unde există ${\ddot {x}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ este situat $l{\ddot {\vartheta }}$ ${\ displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ ${\ displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ , in loc de ${\dot {x}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}}$ da ai $l{\dot {\vartheta }}$ ${\ displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ ${\ displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ și în loc de ${\frac {k}{m}}x$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ există $g\vartheta$ ${\ displaystyle g \ vartheta}$ ${\ displaystyle g \ vartheta}$ , în timp ce în cazul rotației trebuie amintit că brațul forței este $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ .

Bibliografie

Richard Feynman , The physics of Feynman , Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8 . :
- Vol I, cap. 21: Oscilatorul armonic
- Vol I, cap. 23: Rezonanță
- Vol I, cap. 24: Tranzitorii
Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics , vol. 1, ediția a II-a, Edises, 2000, ISBN 88-7959-137-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe oscilatorul armonic

linkuri externe

( EN ) Mișcare armonică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Simulator de oscilație forțată neamortizat , pe walter-fendt.de . Adus la 19 februarie 2011 (arhivat din original la 19 august 2010) .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21909 · LCCN (EN) sh85058945 · GND (DE) 4159128-8

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Mazzoldi , p. 18 .

[Maz19-2] Mazzoldi , p. 19 .

[:0-3] Aceste modele pot fi valabile și în cazul pendulului simplu cu șir lung $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Pentru a obține ecuația diferențială asociată în cazul translațional, trebuie să se ia în considerare faptul că acolo unde există ${\ddot {x}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ este situat $l{\ddot {\vartheta }}$ ${\ displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ ${\ displaystyle l {\ ddot {\ vartheta}}}$ , in loc de ${\dot {x}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}}}$ da ai $l{\dot {\vartheta }}$ ${\ displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ ${\ displaystyle l {\ dot {\ vartheta}}}$ și în loc de ${\frac {k}{m}}x$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {m}} x}$ există $g\vartheta$ ${\ displaystyle g \ vartheta}$ ${\ displaystyle g \ vartheta}$ , în timp ce în cazul rotației trebuie amintit că brațul forței este $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ .

[1]

[2] în

[3]